🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Thales Öklit Pisagor Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Thales Öklit Pisagor Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğu 6 cm, diğerinin uzunluğu 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 💡
- Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler. Formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Burada \(a\) ve \(b\) dik kenarlar, \(c\) ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenarlar: \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm.
- Formülü uygulayalım:
- \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- \( 36 + 64 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç olarak: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu 4 cm'dir. Bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalardan birinin uzunluğu 2 cm olduğuna göre, diğer parçanın uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Öklit'in Yükseklik Bağıntısı'nı kullanacağız. 📌
- Öklit'in Yükseklik Bağıntısı, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesinin, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşit olduğunu belirtir. Formülü: \( h^2 = p \cdot k \)
- Burada \(h\) yükseklik, \(p\) ve \(k\) ise yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarıdır.
- Verilenler: Yükseklik \(h = 4\) cm, parçalardan biri \(p = 2\) cm. Diğer parça \(k\) 'yi bulmalıyız.
- Formülü uygulayalım:
- \( 4^2 = 2 \cdot k \)
- \( 16 = 2 \cdot k \)
- Her iki tarafı 2'ye bölersek: \( k = \frac{16}{2} \)
- Sonuç olarak: \( k = 8 \) cm.
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, A köşesindeki açı dik açıdır. AB kenarının uzunluğu 6 cm'dir. A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen yükseklik, BC'yi D noktasında kesiyor. BD parçasının uzunluğu 3 cm olduğuna göre, BC hipotenüsünün tamamının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklit'in Dik Kenar Bağıntısı'nı kullanacağız. 💡
- Öklit'in Dik Kenar Bağıntısı, bir dik üçgende bir dik kenarın karesinin, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parça ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşit olduğunu ifade eder. Formülü: \( b^2 = k \cdot c \) veya \( a^2 = p \cdot c \)
- Burada \(a\) veya \(b\) dik kenarlar, \(p\) veya \(k\) dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü (kendi tarafındaki parça), \(c\) ise hipotenüsün tamamıdır.
- Verilenler: Dik kenar \(AB = 6\) cm, bu dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü \(BD = 3\) cm. Hipotenüsün tamamı \(BC\) 'yi bulmalıyız.
- Formülü uygulayalım: \( (AB)^2 = BD \cdot BC \)
- \( 6^2 = 3 \cdot BC \)
- \( 36 = 3 \cdot BC \)
- Her iki tarafı 3'e bölersek: \( BC = \frac{36}{3} \)
- Sonuç olarak: \( BC = 12 \) cm.
Örnek 4:
Şekildeki bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir (\(DE // BC\)).
AD uzunluğu 3 cm, DB uzunluğu 6 cm ve AE uzunluğu 2 cm ise, EC uzunluğu kaç cm'dir? 📐
AD uzunluğu 3 cm, DB uzunluğu 6 cm ve AE uzunluğu 2 cm ise, EC uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu problemi Thales Teoremi'nin temel uygulamalarından biri olan Temel Orantı Teoremi ile çözeceğiz. 📌
- Temel Orantı Teoremi'ne göre, bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen bir doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır.
- Yani, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) bağıntısı geçerlidir.
- Verilenler: \(AD = 3\) cm, \(DB = 6\) cm, \(AE = 2\) cm. EC'yi bulmalıyız.
- Formülü uygulayalım:
- \( \frac{3}{6} = \frac{2}{EC} \)
- Oranı sadeleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{2}{EC} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 1 \cdot EC = 2 \cdot 2 \)
- Sonuç olarak: \( EC = 4 \) cm.
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde, C köşesindeki açı dik açıdır. C noktasından hipotenüs AB'ye indirilen yükseklik CH'dir. AH uzunluğu 4 cm ve HB uzunluğu 9 cm'dir. Buna göre, AC kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda hem Öklit bağıntısını hem de Pisagor'u düşünebiliriz ama Öklit'in Dik Kenar Bağıntısı daha hızlı sonuca ulaştırır. 💡
- Öncelikle hipotenüs AB'nin toplam uzunluğunu bulalım: \( AB = AH + HB \)
- \( AB = 4 + 9 = 13 \) cm.
- Şimdi Öklit'in Dik Kenar Bağıntısı'nı AC kenarı için uygulayalım.
- Bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parça ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
- Yani, \( (AC)^2 = AH \cdot AB \)
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( (AC)^2 = 4 \cdot 13 \)
- \( (AC)^2 = 52 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( AC = \sqrt{52} \)
- \( \sqrt{52} \) sayısını \( \sqrt{4 \cdot 13} \) olarak yazabiliriz.
- Sonuç olarak: \( AC = 2\sqrt{13} \) cm.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir. DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir (\(DE // BC\)).
AD uzunluğu \(x\) cm, DB uzunluğu \(x+2\) cm, AE uzunluğu 4 cm ve EC uzunluğu 6 cm'dir. Buna göre, x değeri kaçtır? 📐
AD uzunluğu \(x\) cm, DB uzunluğu \(x+2\) cm, AE uzunluğu 4 cm ve EC uzunluğu 6 cm'dir. Buna göre, x değeri kaçtır? 📐
Çözüm:
Bu soru, Thales Teoremi'nin (Temel Orantı Teoremi) cebirsel bir uygulamasıdır. 📌
- Temel Orantı Teoremi'ne göre, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) bağıntısı geçerlidir.
- Verilenleri yerine yazalım:
- \( \frac{x}{x+2} = \frac{4}{6} \)
- Öncelikle sağ taraftaki oranı sadeleştirelim: \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
- Şimdi denklemimiz: \( \frac{x}{x+2} = \frac{2}{3} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım:
- \( 3 \cdot x = 2 \cdot (x+2) \)
- Denklemi çözelim:
- \( 3x = 2x + 4 \)
- \( 3x - 2x = 4 \)
- Sonuç olarak: \( x = 4 \) cm.
Örnek 7:
Bir inşaat firması, yüksek bir binanın dış cephesini temizlemek için duvara 15 metre uzunluğunda bir merdiven dayamıştır. Merdivenin alt ucu, duvardan 9 metre uzaklıkta yere sabitlenmiştir. Merdivenin üst ucu, binanın zemininden itibaren kaç metre yükseklikteki bir noktaya ulaşır? 🪜
Çözüm:
Bu bir Pisagor Teoremi uygulamasıdır ve günlük hayatta sıkça karşılaşabileceğimiz bir senaryodur. Merdiven, duvar ve yer, bir dik üçgen oluşturur. 💡
- Merdivenin kendisi hipotenüstür (\(c\)).
- Duvardan uzaklık bir dik kenardır (\(a\)).
- Merdivenin ulaştığı yükseklik diğer dik kenardır (\(b\)).
- Verilenler: Merdiven uzunluğu \(c = 15\) metre, duvardan uzaklık \(a = 9\) metre. Yüksekliği (\(b\)) bulmalıyız.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Formülü uygulayalım:
- \( 9^2 + b^2 = 15^2 \)
- \( 81 + b^2 = 225 \)
- \( b^2 = 225 - 81 \)
- \( b^2 = 144 \)
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç olarak: \( b = 12 \) metre.
Örnek 8:
Bir mühendis, bir köprü inşaatında iki paralel direğin arasına destek kirişleri yerleştirmek istiyor. Bu direkler arasında, belirli oranlarda uzunluklara sahip başka destekler kullanması gerekiyor. Mühendis, bu oranları belirlerken hangi matematiksel prensipten faydalanır? 🌉
Çözüm:
Bu durumda mühendis, Thales Teoremi'nin prensiplerinden faydalanır. 🏗️
- Thales Teoremi (özellikle Temel Orantı Teoremi ve Benzerlik), paralel doğruların kesenler üzerinde orantılı parçalar ayırması ilkesine dayanır.
- Köprü, bina veya yol yapımında, paralel çizgiler (direkler, kirişler, yollar) ve bunları kesen çizgiler (destekler, bağlantı yolları) arasında belirli bir orantı ve denge sağlamak kritik öneme sahiptir.
- Mühendisler, bu prensibi kullanarak:
- 👉 Destek kirişlerinin doğru açılarla yerleştirilmesini,
- 👉 Yapının farklı bölümlerindeki uzunlukların birbirine oranını,
- 👉 Ve benzer üçgenler oluşturarak bilinmeyen mesafeleri veya yükseklikleri hesaplamayı kolaylaştırır.
- Örneğin, iki ana direk arasına yerleştirilecek çapraz desteklerin uzunluklarını ve eğimlerini, direklerin yüksekliği ve aralarındaki mesafe ile orantılı olarak hesaplarken Thales Teoremi'nin sağladığı benzerlik ve oran ilişkilerini kullanır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-thales-oklit-pisagor/sorular