💡 9. Sınıf Matematik: Thales, Öklid Ve Pisagor Teoremleri Çözümlü Örnekler

• فرمül Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• 🔢 Verilen dik kenar uzunluklarını \( a=3 \) cm ve \( b=4 \) cm olarak yerine koyalım:
  \[ 3^2 + 4^2 = c^2 \]
• 셈 Kare alma işlemlerini yapalım:
  \[ 9 + 16 = c^2 \]
• ➕ Toplama işlemini yapalım:
  \[ 25 = c^2 \]
• ✅ Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) değerini bulalım:
  \[ c = \sqrt{25} \]
  \[ c = 5 \] cm.

Buna göre, dik üçgenin hipotenüs uzunluğu \( 5 \) cm'dir. ✅

• 📌 Dikdörtgenin kenar uzunlukları \( |AB| = 8 \) cm ve \( |BC| = 6 \) cm'dir.
• فرمül Köşegen uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz:
  \( |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \)
• 🔢 Değerleri yerine koyalım:
  \[ 8^2 + 6^2 = |AC|^2 \]
• 셈 Kare alma işlemlerini yapalım:
  \[ 64 + 36 = |AC|^2 \]
• ➕ Toplama işlemini yapalım:
  \[ 100 = |AC|^2 \]
• ✅ Her iki tarafın karekökünü alarak \( |AC| \) değerini bulalım:
  \[ |AC| = \sqrt{100} \]
  \[ |AC| = 10 \] cm.

Dikdörtgenin köşegen uzunluğu \( 10 \) cm'dir. ✅

• 👉 Verilen doğru parçaları arasındaki oranı yazalım:
  \[ \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|} \]
• 🔢 Verilen değerleri yerine koyalım:
  \[ \frac{4}{6} = \frac{x}{9} \]
• ✖️ İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi çözelim:
  \( 4 \cdot 9 = 6 \cdot x \)
• 셈 Çarpma işlemini yapalım:
  \( 36 = 6x \)
• ✅ Her iki tarafı \( 6 \) ile bölerek \( x \) değerini bulalım:
  \( x = \frac{36}{6} \)
  \( x = 6 \) cm.

Buna göre, \( x \) değeri \( 6 \) cm'dir. ✅

• فرمül Orantıyı kuralım:
  \[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \]
• 🔢 Verilen değerleri yerine yazalım:
  \[ \frac{3}{2} = \frac{4}{|EC|} \]
• ✖️ İçler dışlar çarpımı yapalım:
  \( 3 \cdot |EC| = 2 \cdot 4 \)
• 셈 Çarpma işlemini yapalım:
  \( 3 \cdot |EC| = 8 \)
• ✅ \( |EC| \) uzunluğunu bulmak için her iki tarafı \( 3 \) ile bölelim:
  \( |EC| = \frac{8}{3} \) cm.

\( |EC| \) uzunluğu \( \frac{8}{3} \) cm'dir. ✅

• 📌 Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik \( h \), hipotenüsü ayırdığı parçalar ise \( p \) ve \( k \) olsun.
  Verilenler: \( p = 2 \) cm ve \( k = 8 \) cm.
• فرمül Öklid'in Yükseklik Bağıntısı:
  \( h^2 = p \cdot k \)
• 🔢 Verilen değerleri yerine koyalım:
  \[ h^2 = 2 \cdot 8 \]
• 셈 Çarpma işlemini yapalım:
  \[ h^2 = 16 \]
• ✅ Her iki tarafın karekökünü alarak \( h \) değerini bulalım:
  \[ h = \sqrt{16} \]
  \[ h = 4 \] cm.

Yüksekliğin uzunluğu \( 4 \) cm'dir. ✅

• 📐 Dik üçgende bir dik kenar \( c \), bu kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümü \( p \) ve hipotenüsün tamamı \( a \) olsun.
  Verilenler: \( c = 6 \) cm ve \( p = 3 \) cm.
• فرمül Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı:
  \( c^2 = p \cdot a \)
• 🔢 Verilen değerleri yerine koyalım:
  \[ 6^2 = 3 \cdot a \]
• 셈 Kare alma işlemini yapalım:
  \[ 36 = 3a \]
• ✅ \( a \) değerini bulmak için her iki tarafı \( 3 \) ile bölelim:
  \( a = \frac{36}{3} \)
  \( a = 12 \) cm.

Hipotenüsün tamamının uzunluğu \( 12 \) cm'dir. ✅

• 💡 Adım 1: Problemi Anlama ve Bilgileri Çıkarma
  • Direğin toplam yüksekliği = \( 10 \) metre.
  • Direğin kırılan üst kısmının uzunluğu (yere değen parça) = \( 6 \) metre. Bu, oluşan dik üçgenin hipotenüsüdür.
  • Direğin ayakta kalan kısmı = Toplam yükseklik - Kırılan kısım = \( 10 - 6 = 4 \) metre.
    Bu, direğin kırıldığı noktanın yerden yüksekliğidir ve dik üçgenin bir dik kenarıdır.
• 📐 Adım 2: Dik Üçgeni Oluşturma
  Kırılan direk parçaları ve yer, bir dik üçgen oluşturur:
  • Hipotenüs: Kırılan üst kısmın uzunluğu = \( 6 \) m.
  • Birinci dik kenar: Direğin kırıldığı noktanın yerden yüksekliği = \( 4 \) m.
  • İkinci dik kenar: Kırılan kısmın ucunun direğin alt noktasından uzaklığı (\( x \)) = ?
• فرمül Adım 3: Pisagor Teoremini Uygulama
  Dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:
  \( (\text{yerden yükseklik})^2 + (\text{yerdeki uzaklık})^2 = (\text{kırılan kısım})^2 \)
  \[ 4^2 + x^2 = 6^2 \]
• 🔢 Adım 4: Denklemi Çözme
  • Kare alma işlemlerini yapalım:
    \[ 16 + x^2 = 36 \]
  • \( 16 \) sayısını eşitliğin diğer tarafına atalım:
    \[ x^2 = 36 - 16 \]
    \[ x^2 = 20 \]
• ✅ Adım 5: Sonucu Bulma
  Her iki tarafın karekökünü alarak \( x \) değerini bulalım:
  \[ x = \sqrt{20} \]
  \( \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} \) olduğundan,
  \[ x = 2\sqrt{5} \] metre.

Sonuç olarak:

• Direğin kırıldığı noktanın yerden yüksekliği \( 4 \) metredir.
• Kırılan kısmın ucunun direğin alt noktasından uzaklığı \( 2\sqrt{5} \) metredir. ✅

• 📌 Adım 1: Bilinenleri Yazma
  • Ali'nin boyu = \( 1.8 \) m
  • Ali'nin gölgesi = \( 2.7 \) m
  • Ağacın gölgesi = \( 9 \) m
  • Ağacın boyu = \( x \) m (aranan değer)
• فرمül Adım 2: Orantıyı Kurma
  Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar oranları eşittir:
  \[ \frac{\text{Ali'nin boyu}}{\text{Ali'nin gölgesi}} = \frac{\text{Ağacın boyu}}{\text{Ağacın gölgesi}} \]
• 🔢 Adım 3: Değerleri Yerine Koyma
  \[ \frac{1.8}{2.7} = \frac{x}{9} \]
• ✖️ Adım 4: Denklemi Çözme
  İçler dışlar çarpımı yapalım:
  \( 1.8 \cdot 9 = 2.7 \cdot x \)
  \( 16.2 = 2.7x \)
• ✅ Adım 5: Ağacın Boyunu Bulma
  \( x \) değerini bulmak için her iki tarafı \( 2.7 \) ile bölelim:
  \( x = \frac{16.2}{2.7} \)
  Kesirleri sadeleştirmek için her iki tarafı \( 10 \) ile çarpabiliriz:
  \( x = \frac{162}{27} \)
  \( x = 6 \) metre.

Sonuç olarak, ağacın boyu \( 6 \) metredir. ✅