🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Thales, Öklid Ve Pisagor Teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Thales, Öklid Ve Pisagor Teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Örnek 1: Pisagor Teoremi 📐
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz.
Bir dik üçgende, dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi açıklayan Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Teorem der ki: "Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir."
- 👉 Dik kenarlar \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm olarak verilmiştir.
- 👉 Hipotenüs uzunluğunu \(c\) ile gösterelim.
- 👉 Pisagor Teoremi formülü: \(a^2 + b^2 = c^2\).
- 👉 Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \(6^2 + 8^2 = c^2\).
- 👉 Karelerini alalım: \(36 + 64 = c^2\).
- 👉 Toplayalım: \(100 = c^2\).
- 👉 Her iki tarafın karekökünü alarak \(c\) değerini bulalım: \(c = \sqrt{100}\).
- ✅ Sonuç: Hipotenüs uzunluğu \(c = 10\) cm'dir.
Örnek 2:
Örnek 2: Pisagor Teoremi Uygulaması 🏞️
Bir dikdörtgenin kısa kenarı 5 cm, uzun kenarı 12 cm'dir. Bu dikdörtgenin köşegen uzunluğunu bulunuz.
Bir dikdörtgenin kısa kenarı 5 cm, uzun kenarı 12 cm'dir. Bu dikdörtgenin köşegen uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Dikdörtgenin köşegeni, dikdörtgeni iki adet dik üçgene ayırır. Bu dik üçgenlerin dik kenarları dikdörtgenin kenarlarıdır ve hipotenüsü de dikdörtgenin köşegenidir. Dolayısıyla yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
- 👉 Dikdörtgenin kısa kenarı \(a = 5\) cm.
- 👉 Dikdörtgenin uzun kenarı \(b = 12\) cm.
- 👉 Köşegen uzunluğunu \(c\) ile gösterelim.
- 👉 Pisagor Teoremi formülü: \(a^2 + b^2 = c^2\).
- 👉 Değerleri yerine yazalım: \(5^2 + 12^2 = c^2\).
- 👉 Karelerini alalım: \(25 + 144 = c^2\).
- 👉 Toplayalım: \(169 = c^2\).
- 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{169}\).
- ✅ Sonuç: Dikdörtgenin köşegen uzunluğu \(c = 13\) cm'dir.
Örnek 3:
Örnek 3: Öklid Teoremi (Yükseklik Bağıntısı) 📏
Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçaların uzunlukları 4 cm ve 9 cm'dir. Bu yüksekliğin uzunluğunu bulunuz.
Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçaların uzunlukları 4 cm ve 9 cm'dir. Bu yüksekliğin uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğunu bulmak için Öklid Teoremi'nin yükseklik bağıntısını kullanacağız. Bu bağıntı der ki: "Yüksekliğin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir."
- 👉 Hipotenüsün ayırdığı parçalar \(p = 4\) cm ve \(k = 9\) cm olarak verilmiştir.
- 👉 Yüksekliğin uzunluğunu \(h\) ile gösterelim.
- 👉 Öklid'in yükseklik bağıntısı formülü: \(h^2 = p \cdot k\).
- 👉 Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \(h^2 = 4 \cdot 9\).
- 👉 Çarpma işlemini yapalım: \(h^2 = 36\).
- 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \(h = \sqrt{36}\).
- ✅ Sonuç: Yüksekliğin uzunluğu \(h = 6\) cm'dir.
Örnek 4:
Örnek 4: Öklid Teoremi (Dik Kenar Bağıntısı) 📐
Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik hipotenüsü 3 cm ve 12 cm uzunluğunda iki parçaya ayırmıştır. Hipotenüse ait 3 cm'lik parçaya komşu olan dik kenarın uzunluğunu bulunuz.
Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik hipotenüsü 3 cm ve 12 cm uzunluğunda iki parçaya ayırmıştır. Hipotenüse ait 3 cm'lik parçaya komşu olan dik kenarın uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, dik üçgenin dik kenar uzunluğunu bulmak için Öklid Teoremi'nin dik kenar bağıntısını kullanacağız. Bu bağıntı der ki: "Bir dik kenarın karesi, hipotenüsün tamamı ile bu dik kenara komşu olan hipotenüs parçasının çarpımına eşittir."
- 👉 Hipotenüsün ayırdığı parçalar \(p = 3\) cm ve \(k = 12\) cm'dir.
- 👉 Hipotenüsün tamamı \(a = p + k = 3 + 12 = 15\) cm'dir.
- 👉 3 cm'lik parçaya komşu olan dik kenarı \(c\) ile gösterelim.
- 👉 Öklid'in dik kenar bağıntısı formülü: \(c^2 = p \cdot a\).
- 👉 Değerleri yerine yazalım: \(c^2 = 3 \cdot 15\).
- 👉 Çarpma işlemini yapalım: \(c^2 = 45\).
- 👉 Her iki tarafın karekökünü alalım: \(c = \sqrt{45}\).
- 👉 Karekök içindeki ifadeyi sadeleştirelim: \(c = \sqrt{9 \cdot 5}\).
- ✅ Sonuç: Dik kenarın uzunluğu \(c = 3\sqrt{5}\) cm'dir.
Örnek 5:
Örnek 5: Thales Teoremi (Temel Orantı) 📏
ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir (DE // BC). AD = 4 cm, DB = 6 cm ve AE = 3 cm ise, EC uzunluğunu bulunuz.
ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir (DE // BC). AD = 4 cm, DB = 6 cm ve AE = 3 cm ise, EC uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, paralel doğruların bir üçgenin kenarlarını orantılı böldüğünü ifade eden Thales Teoremi'nin (Temel Orantı Teoremi) bir uygulamasını kullanacağız.
- 👉 DE // BC olduğu için Thales Teoremi'ni uygulayabiliriz.
- 👉 Teoreme göre, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) oranı geçerlidir.
- 👉 Verilen değerleri yerine yazalım: \( \frac{4}{6} = \frac{3}{EC} \).
- 👉 Kesri sadeleştirelim: \( \frac{2}{3} = \frac{3}{EC} \).
- 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \cdot EC = 3 \cdot 3 \).
- 👉 Denklemi çözelim: \( 2 \cdot EC = 9 \).
- 👉 EC'yi bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \( EC = \frac{9}{2} \).
- ✅ Sonuç: EC uzunluğu \( EC = 4.5 \) cm'dir.
Örnek 6:
Örnek 6: Thales Teoremi (Kelebek Benzerliği) 🦋
A ve B noktaları arasında dikey olarak duran bir direk ve bu direğe paralel olarak duran daha kısa bir direk vardır. Büyük direğin tepesinden (A) küçük direğin tabanına (D) ve küçük direğin tepesinden (C) büyük direğin tabanına (B) iki ip çekilmiştir. Bu iplerin kesiştiği nokta E'dir. AB = 10 metre, CD = 4 metre ve CD // AB ise, E noktasının AB direğine olan uzaklığına x dersek, x'i bulunuz. (Burada kelebek benzerliği oluşmaktadır.)
A ve B noktaları arasında dikey olarak duran bir direk ve bu direğe paralel olarak duran daha kısa bir direk vardır. Büyük direğin tepesinden (A) küçük direğin tabanına (D) ve küçük direğin tepesinden (C) büyük direğin tabanına (B) iki ip çekilmiştir. Bu iplerin kesiştiği nokta E'dir. AB = 10 metre, CD = 4 metre ve CD // AB ise, E noktasının AB direğine olan uzaklığına x dersek, x'i bulunuz. (Burada kelebek benzerliği oluşmaktadır.)
Çözüm:
Bu problemde, iki paralel doğru arasında oluşan benzer üçgenleri (kelebek benzerliği) inceleyerek Thales Teoremi'nin bir uygulamasını yapacağız.
- 👉 CD // AB olduğu için, \(\triangle ABE\) ve \(\triangle CDE\) üçgenleri benzerdir.
- 👉 Benzerlik oranına göre: \( \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE} = \frac{AE}{CE} \).
- 👉 Bize AB = 10 m ve CD = 4 m verilmiş.
- 👉 Yüksekliklerin oranı, kenarların oranına eşittir. E noktasından AB'ye olan uzaklık \(h_1\), CD'ye olan uzaklık \(h_2\) olsun. Toplam yükseklikler (tabanlara olan uzaklıklar) benzerlik oranıyla ilişkilidir.
- 👉 Kelebek benzerliğinde, yükseklikler oranı da kenar uzunlukları oranıyla aynıdır: \( \frac{h_1}{h_2} = \frac{AB}{CD} \).
- 👉 \( \frac{h_1}{h_2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \). Yani \(h_1 = 5k\) ve \(h_2 = 2k\) diyebiliriz.
- 👉 E noktasından AB'ye olan uzaklık \(x\) olarak verilmiş. Bu aslında \(h_1\) değeridir.
- 👉 Bu tip kelebek benzerliği sorularında, kesişim noktasının tabanlara olan uzaklığı için bir formül de kullanılabilir: \( \frac{1}{x} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} \).
- 👉 Değerleri yerine yazalım: \( \frac{1}{x} = \frac{1}{10} + \frac{1}{4} \).
- 👉 Paydaları eşitleyelim (20'de): \( \frac{1}{x} = \frac{2}{20} + \frac{5}{20} \).
- 👉 Toplayalım: \( \frac{1}{x} = \frac{7}{20} \).
- 👉 Her iki tarafın tersini alalım: \( x = \frac{20}{7} \).
- ✅ Sonuç: E noktasının AB direğine olan uzaklığı \( x = \frac{20}{7} \) metredir.
Örnek 7:
Örnek 7: Merdiven Problemi (Pisagor ve Günlük Hayat) 🪜
Bir duvara dayandırılmış 13 metre uzunluğundaki bir merdivenin alt ucu, duvardan 5 metre uzaklıktadır. Merdivenin üst ucu, duvarda yerden kaç metre yüksekliktedir? Eğer merdivenin alt ucu duvardan 3 metre daha uzaklaştırılırsa, merdivenin üst ucu kaç metre aşağı kayar?
Bir duvara dayandırılmış 13 metre uzunluğundaki bir merdivenin alt ucu, duvardan 5 metre uzaklıktadır. Merdivenin üst ucu, duvarda yerden kaç metre yüksekliktedir? Eğer merdivenin alt ucu duvardan 3 metre daha uzaklaştırılırsa, merdivenin üst ucu kaç metre aşağı kayar?
Çözüm:
Bu problem, merdiven, duvar ve yer arasında oluşan dik üçgeni kullanarak Pisagor Teoremi'ni uygulamamızı gerektirir. İki farklı durumu inceleyeceğiz.
1. Durum: Merdiven ilk konumdayken
1. Durum: Merdiven ilk konumdayken
- 👉 Merdivenin uzunluğu hipotenüstür: \(c = 13\) metre.
- 👉 Merdivenin alt ucunun duvara uzaklığı bir dik kenardır: \(a = 5\) metre.
- 👉 Merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği diğer dik kenardır: \(h_1\).
- 👉 Pisagor Teoremi: \(a^2 + h_1^2 = c^2\).
- 👉 Değerleri yerine yazalım: \(5^2 + h_1^2 = 13^2\).
- 👉 Karelerini alalım: \(25 + h_1^2 = 169\).
- 👉 \(h_1^2 = 169 - 25 = 144\).
- 👉 \(h_1 = \sqrt{144} = 12\) metre.
- 📌 Merdiven ilk durumda yerden 12 metre yüksekliktedir.
- 👉 Merdivenin alt ucu duvardan 3 metre daha uzaklaştırılıyor. Yeni uzaklık: \(a' = 5 + 3 = 8\) metre.
- 👉 Merdivenin uzunluğu değişmez: \(c = 13\) metre.
- 👉 Yeni yükseklik \(h_2\).
- 👉 Pisagor Teoremi: \((a')^2 + h_2^2 = c^2\).
- 👉 Değerleri yerine yazalım: \(8^2 + h_2^2 = 13^2\).
- 👉 Karelerini alalım: \(64 + h_2^2 = 169\).
- 👉 \(h_2^2 = 169 - 64 = 105\).
- 👉 \(h_2 = \sqrt{105}\) metre.
- 📌 Merdiven ikinci durumda yerden \(\sqrt{105}\) metre yüksekliktedir.
- 👉 Kayma miktarı = İlk yükseklik - Yeni yükseklik = \(12 - \sqrt{105}\) metre.
- 👉 Yaklaşık olarak \(\sqrt{105} \approx 10.25\) olduğu için, kayma miktarı \(12 - 10.25 = 1.75\) metre civarındadır.
- ✅ Sonuç: Merdivenin üst ucu yerden \(12\) metre yüksekliktedir. Alt ucu uzaklaştırıldığında ise merdivenin üst ucu \(12 - \sqrt{105}\) metre aşağı kayar.
Örnek 8:
Örnek 8: Gölge Boyu Hesaplama (Thales ve Benzerlik) ☀️
Güneşli bir günde, 1.8 metre boyundaki Ali'nin gölge boyu 2.4 metredir. Aynı anda, Ali'nin yanında duran bir ağacın gölge boyu 16 metredir. Bu ağacın boyu kaç metredir?
Güneşli bir günde, 1.8 metre boyundaki Ali'nin gölge boyu 2.4 metredir. Aynı anda, Ali'nin yanında duran bir ağacın gölge boyu 16 metredir. Bu ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm:
Bu problemde, güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için Ali ve ağacın oluşturduğu üçgenlerin benzer olduğunu fark edeceğiz. Bu benzerlik durumunda Thales Teoremi'nin (benzer üçgenler) prensiplerini kullanabiliriz.
- 👉 Ali'nin boyu ve gölge boyu ile ağacın boyu ve gölge boyu birer dik üçgen oluşturur.
- 👉 Güneş ışınları paralel geldiği için bu iki dik üçgen benzerdir.
- 👉 Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir.
- 👉 Ali'nin boyu \(B_A = 1.8\) metre.
- 👉 Ali'nin gölge boyu \(G_A = 2.4\) metre.
- 👉 Ağacın gölge boyu \(G_T = 16\) metre.
- 👉 Ağacın boyunu \(B_T\) ile gösterelim.
- 👉 Orantıyı kuralım: \( \frac{B_A}{G_A} = \frac{B_T}{G_T} \).
- 👉 Değerleri yerine yazalım: \( \frac{1.8}{2.4} = \frac{B_T}{16} \).
- 👉 Kesri sadeleştirelim. Her iki tarafı 0.6'ya bölebiliriz: \( \frac{3}{4} = \frac{B_T}{16} \).
- 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \cdot B_T = 3 \cdot 16 \).
- 👉 Denklemi çözelim: \( 4 \cdot B_T = 48 \).
- 👉 \( B_T \)'yi bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim: \( B_T = \frac{48}{4} \).
- ✅ Sonuç: Ağacın boyu \( B_T = 12 \) metredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-thales-oklid-ve-pisagor-teoremi/sorular