🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Thales, Öklid, Pisagor Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Thales, Öklid, Pisagor Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Burada 'a' ve 'b' dik kenarların uzunlukları, 'c' ise hipotenüsün uzunluğudur.
- Verilen dik kenar uzunlukları: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Teoremde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüs uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden BC kenarına indirilen dikme (yükseklik) AD'dir. Eğer \( |AB| = 13 \) cm, \( |AC| = 15 \) cm ve \( |BD| = 5 \) cm ise, \( |CD| \) kaç cm'dir? (İpucu: İki dik üçgen düşünün.) 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için iki farklı dik üçgen üzerinde Pisagor teoremini kullanacağız.
- Birinci Dik Üçgen (ABD):
- Dik kenarlar \( |AD| \) ve \( |BD| \), hipotenüs \( |AB| \)'dir.
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( |AD|^2 + |BD|^2 = |AB|^2 \)
- Verilen değerleri yerine koyalım: \( |AD|^2 + 5^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( |AD|^2 + 25 = 169 \)
- \( |AD|^2 \)'yi bulalım: \( |AD|^2 = 169 - 25 \)
- \( |AD|^2 = 144 \)
- \( |AD| \) uzunluğunu bulalım: \( |AD| = \sqrt{144} = 12 \) cm.
- İkinci Dik Üçgen (ADC):
- Dik kenarlar \( |AD| \) ve \( |CD| \), hipotenüs \( |AC| \)'dir.
- Pisagor teoremini uygulayalım: \( |AD|^2 + |CD|^2 = |AC|^2 \)
- Bulduğumuz \( |AD| \) değerini ve verilen \( |AC| \) değerini kullanalım: \( 12^2 + |CD|^2 = 15^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 144 + |CD|^2 = 225 \)
- \( |CD|^2 \)'yi bulalım: \( |CD|^2 = 225 - 144 \)
- \( |CD|^2 = 81 \)
- \( |CD| \) uzunluğunu bulalım: \( |CD| = \sqrt{81} = 9 \) cm.
Örnek 3:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini atmadan önce zeminin düzgünlüğünü kontrol etmek istiyor. Mühendis, zemine 3 metre uzunluğunda bir ip geriyor ve ipin bir ucunu A noktasına, diğer ucunu B noktasına bağlıyor. Ardından, A noktasından duvara dik olarak 4 metre uzunluğunda bir çubuk yerleştiriyor ve bu çubuğun ucunu C noktası olarak işaretliyor. Eğer C noktasının B noktasına olan uzaklığı 5 metre ise, zeminin düzgün (yani A noktasının duvara dik olduğu) olduğu söylenebilir mi? Thales teoremini düşünün. 🏗️
Çözüm:
Bu soruda Thales teoreminin bir uygulaması olan 'üç-dört-beş' dik üçgeni prensibini sorguluyoruz. Thales'in teoremi, bir çemberin çapını gören açının her zaman dik açı olduğunu söyler, ancak burada daha çok dik üçgenlerin özellikleriyle ilgili bir durum söz konusudur.
- Bir dik üçgende dik kenarlar 3 birim ve 4 birim ise, hipotenüs 5 birim olur. Bu, \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \) eşitliği ile doğrulanır.
- Soruda verilenler:
- İpin uzunluğu (hipotenüs olarak kabul edilebilir): \( |AB| = 5 \) metre.
- Duvara dik çubuğun uzunluğu (bir dik kenar): \( |AC| = 4 \) metre.
- Zemindeki ipin bir ucundan çubuğun ucuna olan uzaklık (diğer dik kenar olarak kabul edilebilir): \( |BC| = 3 \) metre.
- Eğer zemin düzgünse ve A noktası duvara dikse, ABC bir dik üçgen olmalıdır.
- Pisagor teoremini kontrol edelim: \( |AC|^2 + |BC|^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \)
- Hipotenüsün karesi: \( |AB|^2 = 5^2 = 25 \)
- Eşitlik \( |AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2 \) sağlandığı için, ABC bir dik üçgendir ve A açısı dik açıdır.
Örnek 4:
Bir parkta, 12 metre yüksekliğindeki bir direğin tepesine bir ip bağlanmıştır. İpin diğer ucu, direğin tabanından 5 metre uzaklıktaki bir noktaya gergin bir şekilde sabitlenmiştir. Bu ipin uzunluğu kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen oluşturmaktadır. Direk, yer ve ip bu üçgenin kenarlarını oluşturur.
- Dik Üçgenin Kenarları:
- Direğin yüksekliği bir dik kenardır: \( a = 12 \) metre.
- Direğin tabanından ipin sabitlendiği noktaya olan uzaklık diğer dik kenardır: \( b = 5 \) metre.
- İpin uzunluğu ise hipotenüstür: \( c \).
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 12^2 + 5^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 144 + 25 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 169 = c^2 \)
- İpin uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{169} \)
- Sonuç: \( c = 13 \) metre.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 10 \) cm, \( |BC| = 17 \) cm ve \( |AC| = 21 \) cm'dir. Bu üçgenin C köşesinden AB kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulunuz. (İpucu: Öklid teoremlerini veya iki dik üçgen oluşturmayı düşünebilirsiniz.) 🧐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklid'in yükseklik teoremini veya iki dik üçgen oluşturarak Pisagor teoremini kullanabiliriz. İki dik üçgen oluşturma yöntemini kullanalım.
- Üçgenin AB kenarına C'den bir yükseklik indirelim ve bu yüksekliğin AB kenarını kestiği noktaya D diyelim.
- Bu durumda iki dik üçgen oluşur: ADC ve BDC.
- Yüksekliğin uzunluğuna \( h \) diyelim, yani \( |CD| = h \).
- AB kenarını D noktasının ayırdığı parçalara \( |AD| = x \) ve \( |DB| = y \) diyelim.
- Biliyoruz ki \( x + y = |AB| = 10 \).
- Birinci Dik Üçgen (ADC):
- Pisagor teoremi: \( x^2 + h^2 = |AC|^2 \)
- \( x^2 + h^2 = 21^2 = 441 \) (Denklem 1)
- İkinci Dik Üçgen (BDC):
- Pisagor teoremi: \( y^2 + h^2 = |BC|^2 \)
- \( y^2 + h^2 = 17^2 = 289 \) (Denklem 2)
- Denklem 1'den \( h^2 = 441 - x^2 \) ve Denklem 2'den \( h^2 = 289 - y^2 \) elde ederiz.
- Bu iki ifadeyi eşitleyelim: \( 441 - x^2 = 289 - y^2 \)
- \( 441 - 289 = x^2 - y^2 \)
- \( 152 = x^2 - y^2 \)
- Burada \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \) özdeşliğini kullanabiliriz.
- Biliyoruz ki \( x+y = 10 \).
- \( 152 = (x-y) \times 10 \)
- \( x-y = \frac{152}{10} = 15.2 \)
- Şimdi elimizde iki denklem var:
- \( x + y = 10 \)
- \( x - y = 15.2 \)
- Bu iki denklemi toplarsak: \( (x+y) + (x-y) = 10 + 15.2 \)
- \( 2x = 25.2 \)
- \( x = \frac{25.2}{2} = 12.6 \)
- Şimdi \( y \)'yi bulalım: \( y = 10 - x = 10 - 12.6 = -2.6 \). Burada bir hata var. Soruda verilen kenar uzunlukları bir üçgen oluşturmuyor olabilir veya D noktası AB kenarı üzerinde olmayabilir.
- Düzeltme ve Alternatif Yaklaşım: Kenar uzunlukları \( a=17, b=21, c=10 \) olan bir üçgenin alanını Heron formülü ile hesaplayıp, sonra alan formülünü kullanarak yüksekliği bulabiliriz.
- Yarı çevre \( s = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24 \)
- Alan \( A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24(24-17)(24-21)(24-10)} \)
- \( A = \sqrt{24 \times 7 \times 3 \times 14} = \sqrt{(2 \times 12) \times 7 \times 3 \times (2 \times 7)} = \sqrt{2 \times 12 \times 7 \times 3 \times 2 \times 7} \)
- \( A = \sqrt{2^2 \times 7^2 \times 3 \times 12} = \sqrt{2^2 \times 7^2 \times 3 \times (3 \times 4)} = \sqrt{2^2 \times 7^2 \times 3^2 \times 2^2} \)
- \( A = 2 \times 7 \times 3 \times 2 = 84 \)
- Şimdi alan formülünü kullanalım: \( A = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \)
- Burada taban \( |AB| = 10 \) ve yükseklik \( h \)'dir.
- \( 84 = \frac{1}{2} \times 10 \times h \)
- \( 84 = 5h \)
- \( h = \frac{84}{5} = 16.8 \) cm.
Örnek 6:
Bir dik üçgende hipotenüs 13 cm'dir. Dik kenarlardan biri 5 cm olduğuna göre, diğer dik kenarın uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Burada \( c \) hipotenüs, \( a \) ve \( b \) ise dik kenarlardır.
- Verilenler: \( c = 13 \) cm, \( a = 5 \) cm. Diğer dik kenarı \( b \) bulacağız.
- Teoremde yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \)'yi bulalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- \( b^2 = 144 \)
- Diğer dik kenarın uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) cm.
Örnek 7:
Bir mimar, 8 metre yüksekliğindeki bir duvarın üzerine yerleştirilecek bir süsleme için 10 metre uzunluğunda bir merdiven kullanacaktır. Merdivenin duvara tam dayanması ve kaymaması için, merdivenin alt ucunun duvardan kaç metre uzakta olması gerektiğini Pisagor teoremini kullanarak hesaplayınız. 🪜
Çözüm:
Bu problem, dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kullanarak çözülebilir.
- Dik Üçgenin Kenarları:
- Merdivenin uzunluğu hipotenüstür: \( c = 10 \) metre.
- Duvarın yüksekliği bir dik kenardır: \( a = 8 \) metre.
- Merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığı diğer dik kenardır: \( b \).
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 8^2 + b^2 = 10^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 64 + b^2 = 100 \)
- \( b^2 \)'yi bulalım: \( b^2 = 100 - 64 \)
- \( b^2 = 36 \)
- Merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığını bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{36} \)
- Sonuç: \( b = 6 \) metre.
Örnek 8:
Bir çiftçi, tarlasının kare şeklindeki bir bölümünün köşegen uzunluğunu ölçmek istiyor. Eğer karenin bir kenar uzunluğu 7 metre ise, çiftçinin ölçtüğü köşegen uzunluğu kaç metre olur? (İpucu: Kare aynı zamanda bir dik üçgendir.) 🌾
Çözüm:
Kare şeklindeki bir tarlanın köşegeni, kenarlarıyla birlikte bir dik üçgen oluşturur.
- Dik Üçgenin Kenarları:
- Karenin iki kenarı dik kenarlardır: \( a = 7 \) metre, \( b = 7 \) metre.
- Köşegen ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür: \( c \).
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 7^2 + 7^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 49 + 49 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 98 = c^2 \)
- Köşegen uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{98} \)
- \( \sqrt{98} \) ifadesini sadeleştirebiliriz: \( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2} \)
- Sonuç: \( c = 7\sqrt{2} \) metre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-thales-oklid-pisagor/sorular