🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Thales Öklid Pisagor Teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Thales Öklid Pisagor Teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır (\(m(\hat{A}) = 90^\circ\)).
Kenar uzunlukları \(|AB| = 6\) cm ve \(|AC| = 8\) cm olduğuna göre, hipotenüs \(|BC|\) kaç cm'dir? 🤔
Kenar uzunlukları \(|AB| = 6\) cm ve \(|AC| = 8\) cm olduğuna göre, hipotenüs \(|BC|\) kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.
- 📌 Adım 1: Teoremi Uygula
Dik kenarlar \(|AB| = 6\) cm ve \(|AC| = 8\) cm'dir. Hipotenüs \(|BC|\)'yi bulmak istiyoruz.
Pisagor Teoremi'ne göre: \(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\) - 💡 Adım 2: Değerleri Yerine Koy
\[ 6^2 + 8^2 = |BC|^2 \] \[ 36 + 64 = |BC|^2 \] \[ 100 = |BC|^2 \] - ✅ Adım 3: Sonucu Bul
Her iki tarafın karekökünü alarak \(|BC|\)'yi buluruz:
\[ |BC| = \sqrt{100} \] \[ |BC| = 10 \] Buna göre, hipotenüs 10 cm'dir.
Örnek 2:
Bir ABCD dikdörtgeninde, \(|AB| = 12\) cm ve \(|BC| = 5\) cm'dir. Bu dikdörtgenin köşegen uzunluğu olan \(|AC|\) kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Dikdörtgenin köşegen uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremi'nden faydalanacağız. Bir dikdörtgenin köşegeni, dikdörtgeni iki adet dik üçgene ayırır. Örneğin, \(\triangle ABC\) bir dik üçgendir ve B köşesi dik açıdır (\(m(\hat{B}) = 90^\circ\)).
- 📌 Adım 1: Dik Üçgeni Belirle
\(\triangle ABC\) dik üçgeninde dik kenarlar \(|AB| = 12\) cm ve \(|BC| = 5\) cm'dir. Aradığımız köşegen \(|AC|\) ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür. - 💡 Adım 2: Pisagor Teoremini Uygula
\[ |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \] \[ 12^2 + 5^2 = |AC|^2 \] \[ 144 + 25 = |AC|^2 \] \[ 169 = |AC|^2 \] - ✅ Adım 3: Köşegen Uzunluğunu Bul
Her iki tarafın karekökünü alalım:
\[ |AC| = \sqrt{169} \] \[ |AC| = 13 \] Buna göre, dikdörtgenin köşegen uzunluğu 13 cm'dir.
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \(90^\circ\)dir. A köşesinden hipotenüs \(BC\)'ye indirilen dikme ayağı D olsun.
\(|BD| = 4\) cm ve \(|DC| = 9\) cm olduğuna göre, \(|AD|\) yüksekliği kaç cm'dir? 📐
\(|BD| = 4\) cm ve \(|DC| = 9\) cm olduğuna göre, \(|AD|\) yüksekliği kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruda dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliği bulmamız isteniyor. Bu durumda Öklid Teoremleri'nden yükseklik bağıntısını kullanırız.
- 📌 Adım 1: Öklid Yükseklik Bağıntısını Hatırla
Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Yani, \(|AD|^2 = |BD| \cdot |DC|\) - 💡 Adım 2: Verilen Değerleri Yerine Koy
\(|BD| = 4\) cm ve \(|DC| = 9\) cm olarak verilmiştir.
\[ |AD|^2 = 4 \cdot 9 \] \[ |AD|^2 = 36 \] - ✅ Adım 3: Yüksekliği Hesapla
Her iki tarafın karekökünü alalım:
\[ |AD| = \sqrt{36} \] \[ |AD| = 6 \] Buna göre, \(|AD|\) yüksekliği 6 cm'dir.
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \(90^\circ\)dir. A'dan hipotenüs \(BC\)'ye çizilen dikme \(AD\)'dir.
\(|AC| = 6\) cm ve \(|DC| = 4\) cm olduğuna göre, \(|BC|\) hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 🔍
\(|AC| = 6\) cm ve \(|DC| = 4\) cm olduğuna göre, \(|BC|\) hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 🔍
Çözüm:
Bu problemde bir dik kenar ve bu kenara yakın olan hipotenüs parçasının uzunlukları verilmiş. Öklid Teoremleri'nden dik kenar bağıntısını kullanarak hipotenüsün tamamını bulabiliriz.
- 📌 Adım 1: Öklid Dik Kenar Bağıntısını Kullan
Bir dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüsün tamamı ile bu dik kenara yakın olan hipotenüs parçasının çarpımına eşittir.
Yani, \(|AC|^2 = |DC| \cdot |BC|\) - 💡 Adım 2: Değerleri Yerine Koy
\(|AC| = 6\) cm ve \(|DC| = 4\) cm olarak verilmiştir.
\[ 6^2 = 4 \cdot |BC| \] \[ 36 = 4 \cdot |BC| \] - ✅ Adım 3: Hipotenüs Uzunluğunu Bul
Her iki tarafı 4'e bölerek \(|BC|\)'yi bulalım:
\[ |BC| = \frac{36}{4} \] \[ |BC| = 9 \] Buna göre, \(|BC|\) hipotenüs uzunluğu 9 cm'dir.
Örnek 5:
Birbirine paralel \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) doğruları, iki kesen doğru tarafından kesilmektedir.
Birinci kesen doğru üzerinde \(d_1\) ile \(d_2\) arasındaki parça 4 cm, \(d_2\) ile \(d_3\) arasındaki parça 6 cm'dir.
İkinci kesen doğru üzerinde \(d_1\) ile \(d_2\) arasındaki parça 8 cm olduğuna göre, \(d_2\) ile \(d_3\) arasındaki parça kaç cm'dir? ↔️
Birinci kesen doğru üzerinde \(d_1\) ile \(d_2\) arasındaki parça 4 cm, \(d_2\) ile \(d_3\) arasındaki parça 6 cm'dir.
İkinci kesen doğru üzerinde \(d_1\) ile \(d_2\) arasındaki parça 8 cm olduğuna göre, \(d_2\) ile \(d_3\) arasındaki parça kaç cm'dir? ↔️
Çözüm:
Bu problemde Thales Teoremi'nin paralel doğrular ve kesenler bağıntısını kullanacağız. Bu teorem, paralel doğrular tarafından kesilen iki kesen doğru üzerinde oluşan karşılıklı parçaların oranlarının birbirine eşit olduğunu belirtir.
- 📌 Adım 1: Oranları Yaz
Birinci kesen üzerindeki parçalar \(A_1A_2 = 4\) cm ve \(A_2A_3 = 6\) cm olsun.
İkinci kesen üzerindeki parçalar \(B_1B_2 = 8\) cm ve \(B_2B_3 = x\) cm olsun (aradığımız parça).
Thales Teoremi'ne göre:
\[ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} \] - 💡 Adım 2: Değerleri Yerine Koy
\[ \frac{4}{6} = \frac{8}{x} \] - ✅ Adım 3: \(x\) Değerini Bul
İçler dışlar çarpımı yaparak \(x\)'i bulalım:
\[ 4 \cdot x = 6 \cdot 8 \] \[ 4x = 48 \] Her iki tarafı 4'e bölelim:
\[ x = \frac{48}{4} \] \[ x = 12 \] Buna göre, ikinci kesen doğru üzerinde \(d_2\) ile \(d_3\) arasındaki parça 12 cm'dir.
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, \(DE // BC\) olacak şekilde D noktası \(AB\) üzerinde ve E noktası \(AC\) üzerindedir.
\(|AD| = 3\) cm, \(|DB| = 6\) cm ve \(|AE| = 4\) cm olduğuna göre, \(|EC|\) kaç cm'dir? 🔺
\(|AD| = 3\) cm, \(|DB| = 6\) cm ve \(|AE| = 4\) cm olduğuna göre, \(|EC|\) kaç cm'dir? 🔺
Çözüm:
Bu problemde paralel doğruların bir üçgenin kenarlarını kestiği durumu görüyoruz. Bu durum, Temel Orantı Teoremi (Thales Teoremi'nin bir uygulaması) ile çözülür. Bu teorem, bir üçgenin bir kenarına paralel olan bir doğrunun diğer iki kenarı kestiğinde, bu kenarları orantılı parçalara ayırdığını söyler.
- 📌 Adım 1: Orantıyı Kur
\(DE // BC\) olduğu için, Thales Teoremi'ne göre kenarlar orantılı olarak bölünecektir:
\[ \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \] - 💡 Adım 2: Bilinen Değerleri Yerine Koy
\(|AD| = 3\) cm, \(|DB| = 6\) cm ve \(|AE| = 4\) cm olarak verilmiştir. Aradığımız \(|EC|\)'ye \(x\) diyelim.
\[ \frac{3}{6} = \frac{4}{x} \] - ✅ Adım 3: \(x\) Değerini Hesapla
Kesri sadeleştirelim ve içler dışlar çarpımı yapalım:
\[ \frac{1}{2} = \frac{4}{x} \] \[ 1 \cdot x = 2 \cdot 4 \] \[ x = 8 \] Buna göre, \(|EC|\) uzunluğu 8 cm'dir.
Örnek 7:
Bir inşaat firması, dik açılı bir duvarın karşısına rampasız bir merdiven kurmak istiyor. Duvarın yerden yüksekliği 8 metre ve merdivenin alt ucu duvardan 6 metre uzaklıkta olacak şekilde ayarlanıyor.
Bu merdivenin boyu en az kaç metre olmalıdır? Bu merdivenin güvenli bir şekilde kullanılabilmesi için eğiminin %75'i geçmemesi gerekmektedir. Merdivenin eğimi güvenli midir? (Eğim = Dikey Uzaklık / Yatay Uzaklık) 👷♀️🪜
Bu merdivenin boyu en az kaç metre olmalıdır? Bu merdivenin güvenli bir şekilde kullanılabilmesi için eğiminin %75'i geçmemesi gerekmektedir. Merdivenin eğimi güvenli midir? (Eğim = Dikey Uzaklık / Yatay Uzaklık) 👷♀️🪜
Çözüm:
Bu problem, merdiven, duvar ve yer arasında bir dik üçgen oluşturduğu için Pisagor Teoremi ile çözülür. Eğim kontrolü için ise basit oran hesaplaması yaparız.
- 📌 Adım 1: Merdiven Boyunu Bul (Pisagor Teoremi)
Duvarın yüksekliği (dikey kenar) = 8 m
Duvar ile merdiven altı arası uzaklık (yatay kenar) = 6 m
Merdivenin boyu (hipotenüs) = \(x\) metre olsun.
\[ 8^2 + 6^2 = x^2 \] \[ 64 + 36 = x^2 \] \[ 100 = x^2 \] \[ x = \sqrt{100} \] \[ x = 10 \] Merdivenin boyu en az 10 metre olmalıdır. - 💡 Adım 2: Merdivenin Eğimini Hesapla
Eğim = Dikey Uzaklık / Yatay Uzaklık
Eğim = \( \frac{8}{6} \) \[ \text{Eğim} = \frac{4}{3} \] - ✅ Adım 3: Eğimi Yüzde Olarak Karşılaştır
Eğimi yüzdeye çevirelim:
\[ \frac{4}{3} \approx 1.333... \] Yüzde olarak \(1.333... \times 100 = 133.3...%\)
Merdivenin eğimi yaklaşık %133.3'tür. Güvenli eğim sınırı %75 olduğuna göre, merdivenin eğimi bu sınırı geçmektedir. Bu merdiven güvenli değildir. Merdivenin alt ucu duvardan daha uzak bir mesafeye konulmalıdır.
Örnek 8:
Bir mühendis, nehrin karşı kıyısına geçmek için bir köprü inşa etmek istiyor. Nehrin genişliğini doğrudan ölçemediği için bir yöntem geliştirir. Nehrin bir kıyısında A noktasında durur ve tam karşısındaki B noktasını hedefler. Daha sonra A noktasından nehir kıyısı boyunca 30 metre yürüyerek C noktasına gelir. C noktasından B noktasına baktığında, \(m(\hat{BCA}) = 90^\circ\) olduğunu fark eder.
Eğer C noktasından B noktasına olan uzaklığı 40 metre olarak ölçerse, nehrin genişliği olan \(|AB|\) kaç metredir? 🏞️🌉
Eğer C noktasından B noktasına olan uzaklığı 40 metre olarak ölçerse, nehrin genişliği olan \(|AB|\) kaç metredir? 🏞️🌉
Çözüm:
Bu durum, nehrin genişliği, mühendisin yürüdüğü mesafe ve C noktasından B noktasına olan uzaklık ile bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgeni çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanırız.
- 📌 Adım 1: Dik Üçgeni Tanımla
A noktası nehrin başlangıcı, B noktası karşı kıyıdaki hedef, C noktası ise mühendisin yürüdüğü noktadır.
\(\triangle ABC\) bir dik üçgendir ve C köşesi dik açıdır (\(m(\hat{C}) = 90^\circ\)).
Dik kenarlar: \(|AC| = 30\) m (kıyı boyunca yürüdüğü mesafe) ve \(|CB| = 40\) m (C'den B'ye ölçtüğü mesafe).
Hipotenüs: \(|AB|\) (nehrin genişliği). - 💡 Adım 2: Pisagor Teoremini Uygula
\[ |AC|^2 + |CB|^2 = |AB|^2 \] \[ 30^2 + 40^2 = |AB|^2 \] \[ 900 + 1600 = |AB|^2 \] \[ 2500 = |AB|^2 \] - ✅ Adım 3: Nehrin Genişliğini Hesapla
Her iki tarafın karekökünü alalım:
\[ |AB| = \sqrt{2500} \] \[ |AB| = 50 \] Buna göre, nehrin genişliği 50 metredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-thales-oklid-pisagor-teoremleri/sorular