💡 9. Sınıf Matematik: Teoremler Çözümlü Örnekler

Bu soruda, verilen \( (2, 3) \) noktasının hangi denklemi sağladığını kontrol etmemiz gerekiyor. Yani, \( x=2 \) ve \( y=3 \) değerlerini şıklardaki denklemlerde yerine koyacağız. ✅

• A Şıkkı: \( 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 \). Bu denklem sağlanıyor.
• B Şıkkı: \( 2 - 2(3) = 2 - 6 = -4 \). Bu denklem de sağlanıyor.
• C Şıkkı: \( 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3 \). Bu denklem de sağlanıyor.
• D Şıkkı: \( 2 + 3 = 5 \). Bu denklem de sağlanıyor.

Soruda "denklem sistemini sağlayan denklemlerden biri" denildiği için ve şıklarda birden fazla doğru denklem olduğu için, sorunun orijinalinde bir hata olmuş olabilir veya bizden sadece bir tanesini bulmamız istenmiş olabilir. Ancak, genellikle bu tür sorularda tek bir doğru cevap beklenir. Eğer bu bir çoktan seçmeli soruysa ve sadece bir şıkkı işaretlememiz gerekiyorsa, soruyu tekrar gözden geçirmek faydalı olacaktır. Eğer soruda "doğrusal denklem sistemini oluşturan denklemlerden biri" deniyorsa ve verilen nokta bu sistemi sağlıyorsa, bu noktanın bulunduğu her denklem bu sistemin bir parçası olabilir. 💡

Bu problemi çözmek için öncelikle iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurmalıyız. ✍️

• Adım 1: Bilinmeyenleri Tanımlama
  İki sayıyı \( x \) ve \( y \) ile gösterelim.
• Adım 2: Denklem Sistemini Kurma
  "İki sayının toplamı 15'tir" ifadesi bize ilk denklemi verir: \[ x + y = 15 \] "Bu sayılardan biri diğerinin 2 katından 3 fazladır" ifadesi ise ikinci denklemi verir. Diyelim ki \( x \), \( y \)'nin 2 katından 3 fazladır: \[ x = 2y + 3 \]
• Adım 3: Denklem Sistemini Çözme (Yerine Koyma Metodu)
  İkinci denklemdeki \( x \) değerini ilk denklemde yerine koyalım: \[ (2y + 3) + y = 15 \] Denklemi düzenleyelim: \[ 3y + 3 = 15 \] Her iki taraftan 3 çıkaralım: \[ 3y = 12 \] Her iki tarafı 3'e bölelim: \[ y = 4 \]
• Adım 4: Diğer Bilinmeyeni Bulma
  Bulduğumuz \( y \) değerini ilk denklemde yerine koyarak \( x \) değerini bulalım: \[ x + 4 = 15 \] Her iki taraftan 4 çıkaralım: \[ x = 11 \]

Sonuç olarak, bu iki sayı 11 ve 4'tür. ✅
Kontrol edelim: Toplamları \( 11 + 4 = 15 \) ve 11 sayısı, 4 sayısının 2 katının (8) 3 fazlasıdır (\( 8 + 3 = 11 \)).

Bu soruyu çözmek için her iki kampanyanın da maliyetini hesaplayalım. Gömleklerin etiket fiyatını \( E \) olarak kabul edelim. 💰

• Kampanya 1 Maliyeti:
  Ayşe 2 gömlek alacağı için toplam maliyet şu şekilde hesaplanır:
  Her bir gömlek için indirimli fiyat: \( E - 0.20E = 0.80E \)
  İki gömleğin toplam maliyeti: \( 2 \times (0.80E) = 1.60E \) TL.
• Kampanya 2 Maliyeti:
  İlk gömlek tam fiyattan alınır: \( E \)
  İkinci gömlek %50 indirimli alınır: \( E - 0.50E = 0.50E \)
  İki gömleğin toplam maliyeti: \( E + 0.50E = 1.50E \) TL.

Karşılaştırma:

• Kampanya 1 maliyeti: \( 1.60E \)
• Kampanya 2 maliyeti: \( 1.50E \)

Görüldüğü gibi, \( 1.50E < 1.60E \) olduğundan, Ayşe Kampanya 2'yi seçerse daha ucuza alır. 👉

Bu problemi, mevcut verime yapılacak artışı hesaplayarak çözebiliriz. 🌿

• Adım 1: Artış Miktarını Hesaplama
  Mevcut verim: 400 kg/dönüm.
  Verim artışı yüzdesi: %15.
  Artış miktarı = Mevcut Verim \( \times \) Artış Yüzdesi
  Artış miktarı = \( 400 \text{ kg} \times \frac{15}{100} \)
  Artış miktarı = \( 400 \times 0.15 = 60 \) kg/dönüm.
• Adım 2: Yeni Verimi Hesaplama
  Yeni Verim = Mevcut Verim + Artış Miktarı
  Yeni Verim = \( 400 \text{ kg} + 60 \text{ kg} \)
  Yeni Verim = 460 kg/dönüm.

Yeni gübre kullanılırsa dönüm başına 460 kg domates alınması beklenir. ✅

Bu problemi çözmek için verilen bilgileri matematiksel denklemlere dökelim. 📝

• Adım 1: Bilinmeyeni Tanımlama
  Aradığımız sayıyı \( x \) ile gösterelim.
• Adım 2: Denklemi Kurma
  "Bir sayının 3 katının 5 eksiği" ifadesi \( 3x - 5 \) şeklinde yazılır.
  "Aynı sayının 2 katının 7 fazlası" ifadesi ise \( 2x + 7 \) şeklinde yazılır.
  Bu iki ifadenin birbirine eşit olduğu belirtilmiş, bu da bize şu denklemi verir:
  \[ 3x - 5 = 2x + 7 \]
• Adım 3: Denklemi Çözme
  \( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım.
  Her iki taraftan \( 2x \) çıkaralım:
  \[ 3x - 2x - 5 = 2x - 2x + 7 \] \[ x - 5 = 7 \] Her iki tarafa 5 ekleyelim:
  \[ x - 5 + 5 = 7 + 5 \] \[ x = 12 \]

Bu sayı 12'dir. ✅
Kontrol edelim: Sayının 3 katının 5 eksiği \( 3 \times 12 - 5 = 36 - 5 = 31 \). Sayının 2 katının 7 fazlası ise \( 2 \times 12 + 7 = 24 + 7 = 31 \). İki sonuç da eşittir.

Bu soruyu çözmek için denklem sistemi kuracağız. 📚

• Adım 1: Bilinmeyenleri Tanımlama
  Kız öğrenci sayısını \( k \), erkek öğrenci sayısını \( e \) ile gösterelim.
• Adım 2: Denklem Sistemini Kurma
  "Toplam öğrenci sayısı 30'dur": \[ k + e = 30 \] "Erkek öğrenci sayısı, kız öğrenci sayısının 2 katından 3 fazladır": \[ e = 2k + 3 \]
• Adım 3: Denklem Sistemini Çözme (Yerine Koyma)
  İkinci denklemdeki \( e \) değerini birinci denklemde yerine koyalım:
  \[ k + (2k + 3) = 30 \] Denklemi düzenleyelim:
  \[ 3k + 3 = 30 \] Her iki taraftan 3 çıkaralım:
  \[ 3k = 27 \] Her iki tarafı 3'e bölelim:
  \[ k = 9 \]
• Adım 4: Diğer Bilinmeyeni Bulma
  Bulduğumuz \( k \) değerini ikinci denklemde yerine koyarak \( e \) değerini bulalım:
  \[ e = 2(9) + 3 \] \[ e = 18 + 3 \] \[ e = 21 \]

Sınıfta 9 kız öğrenci ve 21 erkek öğrenci vardır. ✅
Kontrol edelim: Toplam öğrenci sayısı \( 9 + 21 = 30 \). Erkek öğrenci sayısı \( 21 \), kız öğrenci sayısının \( 9 \) katının 2 fazlası (\( 2 \times 9 + 3 = 18 + 3 = 21 \)).

Bu soruda öncelikle elmaların yeni satış fiyatını ve ardından 5 kilogramdan elde edilecek geliri hesaplayacağız. 💰

• Adım 1: Zam Miktarını Hesaplama
  Mevcut fiyat: 10 TL/kg.
  Fiyat artışı yüzdesi: %20.
  Zam miktarı = Mevcut Fiyat \( \times \) Artış Yüzdesi
  Zam miktarı = \( 10 \text{ TL} \times \frac{20}{100} \)
  Zam miktarı = \( 10 \times 0.20 = 2 \) TL/kg.
• Adım 2: Yeni Satış Fiyatını Hesaplama
  Yeni Fiyat = Mevcut Fiyat + Zam Miktarı
  Yeni Fiyat = \( 10 \text{ TL} + 2 \text{ TL} \)
  Yeni Fiyat = 12 TL/kg.
• Adım 3: 5 Kilogramdan Elde Edilecek Geliri Hesaplama
  Gelir = Yeni Fiyat \( \times \) Alınan Miktar
  Gelir = \( 12 \text{ TL/kg} \times 5 \text{ kg} \)
  Gelir = 60 TL.

Eğer elmaların kilogram fiyatı %20 artırılırsa, 5 kilogram elmadan 60 TL gelir elde edilir. ✅

Bu tür problemler işçi-zaman problemleridir ve toplam iş miktarını sabit tutarak çözülür. Toplam iş miktarı, işçi sayısı \( \times \) gün sayısı \( \times \) saat sayısı ile doğru orantılıdır. ⏳

• Adım 1: Toplam İş Miktarını Hesaplama
  Başlangıçta: 10 işçi \( \times \) 6 gün \( \times \) 8 saat/gün = 480 iş-saatlik bir iş.
  Bu, duvarı örmek için gereken toplam iş gücüdür.
• Adım 2: İlk 2 Günde Yapılan İşi Hesaplama
  İlk 2 günde 10 işçi çalıştı. Bu süre zarfında yapılan iş: \( 10 \text{ işçi} \times 2 \text{ gün} \times 8 \text{ saat/gün} = 160 \) iş-saat.
• Adım 3: Kalan İşi Hesaplama
  Toplam işten yapılan işi çıkaralım: \( 480 \) iş-saat \( - 160 \) iş-saat \( = 320 \) iş-saat.
  Kalan işi bitirmek için 320 iş-saatlik bir iş gücü gerekmektedir.
• Adım 4: Kalan İşçi Sayısını ve Gün Sayısını Belirleme
  İşçi sayısı 4 kişi azaltıldı: \( 10 - 4 = 6 \) işçi kaldı.
  İşin tamamlanması için toplam gün sayısı hala 6 gün olmalıydı, ancak ilk 2 gün geçti. Yani kalan işi bitirmek için \( 6 - 2 = 4 \) günleri var.
• Adım 5: Kalan İşçilerin Günde Kaç Saat Çalışması Gerektiğini Hesaplama
  Kalan işi (320 iş-saat) 6 işçi ve 4 gün içinde bitirmeleri gerekiyor. Toplam çalışma süresi: \( 320 \) iş-saat.
  Bu süreyi işçi sayısına bölelim: \( \frac{320 \text{ iş-saat}}{6 \text{ işçi}} = \frac{160}{3} \) saat/işçi.
  Bu süre 4 güne yayılacak. Dolayısıyla, günde çalışılması gereken saat: \( \frac{160/3 \text{ saat}}{4 \text{ gün}} = \frac{160}{12} \) saat/gün.
  Sadeleştirirsek: \( \frac{40}{3} \) saat/gün.

\( \frac{40}{3} \) saat, yaklaşık olarak 13.33 saate denk gelir. Bu, kalan işçilerin günde yaklaşık 13 saat 20 dakika çalışmaları gerektiği anlamına gelir. 🕒

Bu soruda, öğrencinin günlük biriktirdiği parayı ve ardından aylık birikimini hesaplayacağız. 🪙

• Adım 1: Günlük Biriktirilen Para Miktarını Hesaplama
  Günlük harçlık: 5 TL.
  Biriktirilen miktar yüzdesi: %60.
  Günlük birikim = Günlük Harçlık \( \times \) Biriktirilen Yüzde
  Günlük birikim = \( 5 \text{ TL} \times \frac{60}{100} \)
  Günlük birikim = \( 5 \times 0.60 = 3 \) TL.
• Adım 2: Aylık Birikim Miktarını Hesaplama
  Bir ay = 30 gün.
  Aylık Birikim = Günlük Birikim \( \times \) Gün Sayısı
  Aylık Birikim = \( 3 \text{ TL/gün} \times 30 \text{ gün} \)
  Aylık Birikim = 90 TL.

Öğrenci, bir ay sonunda 90 TL biriktirmiş olur. ✅