🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Temel Orantı Teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Temel Orantı Teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir E noktası işaretlenmiştir. 💡
DE doğru parçası, BC kenarına paraleldir. Bu durumda, Temel Orantı Teoremi geçerlidir.
Verilen uzunluklar:
* AD = \(4\) cm * DB = \(6\) cm * AE = \(5\) cm
Buna göre, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
DE doğru parçası, BC kenarına paraleldir. Bu durumda, Temel Orantı Teoremi geçerlidir.
Verilen uzunluklar:
* AD = \(4\) cm * DB = \(6\) cm * AE = \(5\) cm
Buna göre, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu problemde Temel Orantı Teoremi'ni uygulayacağız. Teorem der ki: Bir üçgende bir kenara paralel olan bir doğru, diğer iki kenarı kestiğinde, bu kenarlar üzerinde orantılı parçalar ayırır.
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 📌 Teoremi Uygulama: DE // BC olduğu için, AD'nin DB'ye oranı, AE'nin EC'ye oranına eşit olmalıdır.
- \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]
- 👉 Verilenleri Yerine Koyma: Şimdi verilen uzunlukları formülde yerine yazalım.
- \[ \frac{4}{6} = \frac{5}{EC} \]
- ✅ Denklemi Çözme: İçler dışlar çarpımı yaparak EC uzunluğunu bulalım.
- \( 4 \times EC = 6 \times 5 \)
- \( 4 \times EC = 30 \)
- \( EC = \frac{30}{4} \)
- \( EC = 7.5 \) cm
Örnek 2:
Bir KLM üçgeninde, KL kenarı üzerinde bir P noktası ve KM kenarı üzerinde bir R noktası bulunmaktadır. 📐
PR doğru parçası, LM kenarına paraleldir. Bu durum, Temel Orantı Teoremi için bir zemin oluşturur.
Verilen uzunluklar:
* KP = \(x\) cm * PL = \(x+2\) cm * KR = \(6\) cm * RM = \(9\) cm
Buna göre, \(x\) değeri kaçtır? 🤔
PR doğru parçası, LM kenarına paraleldir. Bu durum, Temel Orantı Teoremi için bir zemin oluşturur.
Verilen uzunluklar:
* KP = \(x\) cm * PL = \(x+2\) cm * KR = \(6\) cm * RM = \(9\) cm
Buna göre, \(x\) değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Yine Temel Orantı Teoremi'ni kullanarak \(x\) değerini bulacağız. PR // LM olduğu için kenarlar üzerinde ayrılan parçalar orantılıdır.
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 📌 Orantıyı Kurma: KP'nin PL'ye oranı, KR'nin RM'ye oranına eşit olmalıdır.
- \[ \frac{KP}{PL} = \frac{KR}{RM} \]
- 👉 Verilenleri Yerine Yazma: Verilen cebirsel ifadeleri ve sayıları formülde yerine koyalım.
- \[ \frac{x}{x+2} = \frac{6}{9} \]
- 💡 Basitleştirme: Sağ tarafı sadeleştirebiliriz: \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \).
- \[ \frac{x}{x+2} = \frac{2}{3} \]
- ✅ Denklemi Çözme: İçler dışlar çarpımı yaparak \(x\) değerini bulalım.
- \( 3 \times x = 2 \times (x+2) \)
- \( 3x = 2x + 4 \)
- \( 3x - 2x = 4 \)
- \( x = 4 \)
Örnek 3:
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğruları, O noktasında kesişen iki doğru tarafından kesilmektedir. Bu durum, genellikle "Kelebek Teoremi" olarak bilinen orantı prensibini ortaya çıkarır. 🦋
* d1 doğrusu, O noktasından geçen doğruları A ve B noktalarında kesmektedir. * d2 doğrusu ise C ve D noktalarında kesmektedir.
Verilen uzunluklar:
* OA = \(3\) birim * OC = \(9\) birim * AB = \(4\) birim
Buna göre, CD uzunluğu kaç birimdir? 🤔
* d1 doğrusu, O noktasından geçen doğruları A ve B noktalarında kesmektedir. * d2 doğrusu ise C ve D noktalarında kesmektedir.
Verilen uzunluklar:
* OA = \(3\) birim * OC = \(9\) birim * AB = \(4\) birim
Buna göre, CD uzunluğu kaç birimdir? 🤔
Çözüm:
Bu problem Temel Orantı Teoremi'nin bir uzantısı olan ve halk arasında "Kelebek Teoremi" olarak bilinen benzerlik prensibiyle çözülür. OAB üçgeni ile OCD üçgeni benzerdir.
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 📌 Benzer Üçgenleri Belirleme: d1 // d2 olduğundan, OAB üçgeni ile OCD üçgeni benzerdir. Bu benzerlikten dolayı kenarlar arasında orantı vardır.
- \[ \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} \]
- 👉 İhtiyacımız Olan Orantıyı Kurma: Bize OA, OC ve AB verilmiş, CD isteniyor. Bu yüzden \( \frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD} \) kısmını kullanırız.
- \[ \frac{3}{9} = \frac{4}{CD} \]
- 💡 Basitleştirme: Sol tarafı sadeleştirebiliriz: \( \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \).
- \[ \frac{1}{3} = \frac{4}{CD} \]
- ✅ Denklemi Çözme: İçler dışlar çarpımı yaparak CD uzunluğunu bulalım.
- \( 1 \times CD = 3 \times 4 \)
- \( CD = 12 \)
Örnek 4:
Bir PRS üçgeninde, PR kenarı üzerinde bir T noktası ve PS kenarı üzerinde bir U noktası işaretlenmiştir. 🧐
Verilen uzunluklar:
* PT = \(3\) cm * TR = \(5\) cm * PU = \(4\) cm * US = \(6\) cm
Buna göre, TU doğru parçası RS kenarına paralel midir? Nedenini açıklayınız. 🤔
Verilen uzunluklar:
* PT = \(3\) cm * TR = \(5\) cm * PU = \(4\) cm * US = \(6\) cm
Buna göre, TU doğru parçası RS kenarına paralel midir? Nedenini açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Bu problemde Temel Orantı Teoremi'nin tersini kullanacağız. Teoremin tersi der ki: Eğer bir doğru bir üçgenin iki kenarını orantılı parçalara ayırıyorsa, o doğru üçüncü kenara paraleldir.
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 📌 Oranları Hesaplama: Öncelikle PR kenarı üzerindeki parçaların oranını ve PS kenarı üzerindeki parçaların oranını ayrı ayrı hesaplayalım.
- PR kenarı için oran: \( \frac{PT}{TR} = \frac{3}{5} \)
- PS kenarı için oran: \( \frac{PU}{US} = \frac{4}{6} \)
- 💡 Oranları Karşılaştırma: Şimdi bu oranların eşit olup olmadığını kontrol edelim.
- \( \frac{3}{5} \) ile \( \frac{4}{6} \) oranlarını karşılaştıralım.
- \( \frac{4}{6} \) kesrini sadeleştirirsek \( \frac{2}{3} \) olur.
- Yani, \( \frac{3}{5} \) ve \( \frac{2}{3} \) oranlarını karşılaştırıyoruz.
- Bu iki oran birbirine eşit değildir. (\( 3 \times 3 = 9 \) ve \( 5 \times 2 = 10 \), \( 9 \neq 10 \))
- ✅ Sonuç Çıkarma: Oranlar eşit olmadığı için, TU doğru parçası RS kenarına paralel değildir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerinde ve F noktası BC kenarı üzerindedir. 🧩
Aynı zamanda, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir (\(DE // BC\)) ve EF doğru parçası AB kenarına paraleldir (\(EF // AB\)).
Verilen uzunluklar:
* AD = \(4\) cm * DB = \(2\) cm * FC = \(3\) cm
Buna göre, BE uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Aynı zamanda, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir (\(DE // BC\)) ve EF doğru parçası AB kenarına paraleldir (\(EF // AB\)).
Verilen uzunluklar:
* AD = \(4\) cm * DB = \(2\) cm * FC = \(3\) cm
Buna göre, BE uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu problemde iç içe geçmiş iki farklı Temel Orantı Teoremi uygulaması bulunmaktadır. Adım adım çözerek BE uzunluğunu bulacağız.
Adım adım çözüm:
Düzeltilmiş Soru Çözümü (BE istenemez, BF istenebilir):
Problemde BE uzunluğu yerine BF uzunluğu istenmiş olsaydı, çözüm şöyle olurdu:
Adım adım çözüm:
- 1️⃣ İlk Orantıyı Kullanma (\(DE // BC\)):
- 📌 \(DE // BC\) olduğu için, ABC üçgeninde Temel Orantı Teoremi'ni uygulayabiliriz:
- \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]
- 👉 Verilenleri yerine koyalım: \( \frac{4}{2} = \frac{AE}{EC} \). Bu da \( \frac{2}{1} = \frac{AE}{EC} \) anlamına gelir.
- Yani, AE = \(2k\) ve EC = \(k\) diyebiliriz, burada \(k\) bir orantı sabitidir.
- 2️⃣ İkinci Orantıyı Kullanma (\(EF // AB\)):
- 📌 Şimdi de \(EF // AB\) olduğu için, ABC üçgeninde veya daha spesifik olarak CEB üçgeninde Temel Orantı Teoremi'ni (veya Tales'i) uygulayabiliriz.
- Eğer \(EF // AB\) ise, bu durumda CEF üçgeni ile CAB üçgeni benzerdir. Veya, C noktasından başlayarak orantı kurabiliriz:
- \[ \frac{CE}{EA} = \frac{CF}{FB} \]
- 👉 Bulduğumuz AE ve EC oranlarını ve verilen FC'yi yerine koyalım:
- \[ \frac{k}{2k} = \frac{3}{FB} \]
- \( \frac{1}{2} = \frac{3}{FB} \)
- ✅ FB Uzunluğunu Bulma: İçler dışlar çarpımı yapalım.
- \( 1 \times FB = 2 \times 3 \)
- \( FB = 6 \) cm
- 3️⃣ BE Uzunluğunu Bulma:
- BE, BC kenarının bir parçası değildir. Bu problemde BE uzunluğunu bulmak için daha fazla bilgiye ihtiyacımız var gibi görünüyor, çünkü BE bir üçgenin kenarı değil, bir köşegen gibi.
- Yeniden değerlendirme: BE, bir doğru parçasıdır ve doğrudan orantı teoremi ile bulunamaz. Sorunun bu haliyle 9. sınıf seviyesinde çözümü karmaşıklaşır. Muhtemelen yanlış bir segment isteniyor veya ek bilgi gerekiyor. Soruyu BE yerine başka bir kenarı bulacak şekilde değiştirmeliyiz. Örneğin "BF" uzunluğu istenebilir. Ancak soru BE'yi istiyor.
- Tekrar düşünme: \(DE // BC\) ve \(EF // AB\) bilgileriyle paralelkenarlar oluşur. ADE ve EFC üçgenleri ile büyük ABC üçgeni arasındaki ilişkiler kurulabilir. AD = 4, DB = 2 ise AB = 6. AE = 2k, EC = k ise AC = 3k. EF // AB ise CEF ~ CAB. CF/CB = CE/CA = EF/AB. FC = 3, FB = 6 ise BC = 9. CE/CA = k/3k = 1/3. CF/CB = 3/9 = 1/3. Bu oranlar tutarlı.
- BE uzunluğu için, burada direkt Temel Orantı Teoremi ile bir oran kuramayız. Bu tip bir soru genellikle paralelkenar oluşturularak çözülür. Örneğin, D'den AC'ye paralel çizgi çekilirse bir paralelkenar oluşur.
- Bu soru 9. sınıf müfredatının temel orantı teoremi kısmından biraz uzaklaşıp paralelkenar veya daha ileri benzerlik konularına giriyor. BE uzunluğu için ya pisagor ya da kosinüs teoremi gerekir, bunlar 9. sınıf değil.
- Düzeltme: Soru, 9. sınıf Temel Orantı Teoremi'nin doğrudan uygulaması olacak şekilde revize edilmeli. BE istenirse çok karmaşık hale geliyor. BF istenirse basit olurdu. BE yerine AF veya DC gibi bir şey istenmeli.
- En iyi düzeltme: Bu soruyu klasik bir "iç içe üçgenler" problemine çevirelim, ancak BE yerine başka bir kenar soralım.
Düzeltilmiş Soru Çözümü (BE istenemez, BF istenebilir):
Problemde BE uzunluğu yerine BF uzunluğu istenmiş olsaydı, çözüm şöyle olurdu:
- 1️⃣ İlk Orantıyı Kullanma (\(DE // BC\)):
- 📌 \(DE // BC\) olduğu için, ABC üçgeninde Temel Orantı Teoremi'ni uygularız:
- \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]
- \[ \frac{4}{2} = \frac{AE}{EC} \implies \frac{AE}{EC} = 2 \]
- Bu bize AE = \(2k\) ve EC = \(k\) oranını verir.
- 2️⃣ İkinci Orantıyı Kullanma (\(EF // AB\)):
- 📌 \(EF // AB\) olduğu için, C noktasından başlayarak Temel Orantı Teoremi'ni (veya Tales'i) uygularız:
- \[ \frac{CE}{EA} = \frac{CF}{FB} \]
- 👉 Bulduğumuz oranları ve verilen FC'yi yerine koyalım:
- \[ \frac{k}{2k} = \frac{3}{FB} \]
- \( \frac{1}{2} = \frac{3}{FB} \)
- ✅ BF Uzunluğunu Bulma: İçler dışlar çarpımı yapalım.
- \( 1 \times FB = 2 \times 3 \)
- \( FB = 6 \) cm
Örnek 6:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini ölçmek için basit bir yöntem kullanmıştır. 🏗️
Yere dik duran bir direğin boyu \(3\) metre ve aynı anda oluşan gölgesinin uzunluğu \(4\) metredir.
Aynı anda, binanın gölgesinin uzunluğu \(20\) metredir. ☀️
Hem direk hem de bina yere dik olduğuna göre, binanın yüksekliği kaç metredir? (Güneş ışınları paralel kabul edilmektedir.)
Yere dik duran bir direğin boyu \(3\) metre ve aynı anda oluşan gölgesinin uzunluğu \(4\) metredir.
Aynı anda, binanın gölgesinin uzunluğu \(20\) metredir. ☀️
Hem direk hem de bina yere dik olduğuna göre, binanın yüksekliği kaç metredir? (Güneş ışınları paralel kabul edilmektedir.)
Çözüm:
Bu problem, Temel Orantı Teoremi'nin günlük hayattaki uygulamalarından biridir. Güneş ışınları paralel kabul edildiği için, direk ve binanın oluşturduğu dik üçgenler benzerdir. Bu benzerlik sayesinde orantı kurabiliriz.
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 📌 Benzer Üçgenleri Oluşturma:
- Direk ve gölgesi bir dik üçgen oluşturur. (Dik kenarlar: Direğin boyu, gölge uzunluğu)
- Bina ve gölgesi de benzer bir dik üçgen oluşturur. (Dik kenarlar: Binanın yüksekliği, gölge uzunluğu)
- Güneş ışınları paralel olduğu için, bu iki dik üçgen benzerdir.
- 👉 Orantıyı Kurma: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
- \[ \frac{\text{Direğin Boyu}}{\text{Direğin Gölgesi}} = \frac{\text{Binanın Yüksekliği}}{\text{Binanın Gölgesi}} \]
- ✅ Verilenleri Yerine Koyma ve Çözme:
- \[ \frac{3 \text{ metre}}{4 \text{ metre}} = \frac{\text{Binanın Yüksekliği}}{20 \text{ metre}} \]
- Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak binanın yüksekliğini bulalım.
- \( 4 \times \text{Binanın Yüksekliği} = 3 \times 20 \)
- \( 4 \times \text{Binanın Yüksekliği} = 60 \)
- \( \text{Binanın Yüksekliği} = \frac{60}{4} \)
- \( \text{Binanın Yüksekliği} = 15 \) metre
Örnek 7:
Bir marangoz, bir tahta parçasını üç paralel çizgi ile bölmek istiyor. 📏
Bu çizgiler tahtanın bir kenarını (ilk kenar) ve diğer kenarını (ikinci kenar) kesmektedir.
İlk kenar üzerinde ölçülen uzaklıklar (başlangıç noktasından itibaren): * İlk çizgi: \(5\) cm * İkinci çizgi: İlk çizgiden \(10\) cm daha uzakta (yani başlangıçtan \(5+10=15\) cm) * Üçüncü çizgi: İkinci çizgiden \(15\) cm daha uzakta (yani başlangıçtan \(15+15=30\) cm)
İkinci kenar üzerinde, ilk çizginin başlangıç noktasından \(8\) cm uzaklıkta bir nokta işaretliyor.
Buna göre, ikinci ve üçüncü çizginin bu ikinci kenarı kestiği noktaların ilk işaretli noktadan uzaklıkları ne olur? 🤔
Bu çizgiler tahtanın bir kenarını (ilk kenar) ve diğer kenarını (ikinci kenar) kesmektedir.
İlk kenar üzerinde ölçülen uzaklıklar (başlangıç noktasından itibaren): * İlk çizgi: \(5\) cm * İkinci çizgi: İlk çizgiden \(10\) cm daha uzakta (yani başlangıçtan \(5+10=15\) cm) * Üçüncü çizgi: İkinci çizgiden \(15\) cm daha uzakta (yani başlangıçtan \(15+15=30\) cm)
İkinci kenar üzerinde, ilk çizginin başlangıç noktasından \(8\) cm uzaklıkta bir nokta işaretliyor.
Buna göre, ikinci ve üçüncü çizginin bu ikinci kenarı kestiği noktaların ilk işaretli noktadan uzaklıkları ne olur? 🤔
Çözüm:
Bu problem, paralel doğruların kesenleri oranlaması prensibinin bir uygulamasıdır. Üç veya daha fazla paralel doğru, iki keseni orantılı parçalara ayırır.
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 1️⃣ İlk Kenar Üzerindeki Uzaklıkları Belirleme:
- İlk çizgiye kadar uzaklık: \(L_1 = 5\) cm
- İkinci çizgiye kadar uzaklık: \(L_2 = 5 + 10 = 15\) cm
- Üçüncü çizgiye kadar uzaklık: \(L_3 = 15 + 15 = 30\) cm
- 2️⃣ İkinci Kenar Üzerindeki Orantıyı Kurma:
- İlk çizginin ikinci kenarı kestiği noktanın başlangıçtan uzaklığı \(M_1 = 8\) cm olarak verilmiştir.
- İkinci çizginin ikinci kenarı kestiği noktanın başlangıçtan uzaklığına \(M_2\), üçüncü çizgi için ise \(M_3\) diyelim.
- Paralel doğruların kesenleri oranlaması prensibine göre, ilk kenar üzerindeki aralıkların oranı, ikinci kenar üzerindeki aralıkların oranına eşittir.
- 3️⃣ İkinci Çizginin Uzaklığını Bulma:
- İlk ve ikinci çizgi arasındaki mesafe (ilk kenarda): \(10\) cm.
- İlk ve ikinci çizgi arasındaki mesafe (ikinci kenarda): \(M_2 - M_1\).
- Orantıyı kuralım: \( \frac{\text{İlk çizgiye kadar uzaklık (1. kenar)}}{\text{İlk çizgiye kadar uzaklık (2. kenar)}} = \frac{\text{İlk 2 çizgi arası mesafe (1. kenar)}}{\text{İlk 2 çizgi arası mesafe (2. kenar)}} \) Bu doğru değil.
- Doğru orantı: \( \frac{\text{1. kenarda 1. çizgiye kadar mesafe}}{\text{2. kenarda 1. çizgiye kadar mesafe}} = \frac{\text{1. kenarda 2. çizgiye kadar mesafe}}{\text{2. kenarda 2. çizgiye kadar mesafe}} \)
- \[ \frac{5}{8} = \frac{15}{M_2} \]
- \( 5 \times M_2 = 8 \times 15 \)
- \( 5 \times M_2 = 120 \)
- \( M_2 = \frac{120}{5} = 24 \) cm
- Yani, ikinci çizginin ikinci kenarı kestiği nokta, başlangıçtan \(24\) cm uzaklıktadır.
- İlk işaretli noktadan uzaklığı ise \(M_2 - M_1 = 24 - 8 = 16\) cm'dir.
- 4️⃣ Üçüncü Çizginin Uzaklığını Bulma:
- Aynı orantıyı kullanarak üçüncü çizginin uzaklığını bulalım:
- \[ \frac{5}{8} = \frac{30}{M_3} \]
- \( 5 \times M_3 = 8 \times 30 \)
- \( 5 \times M_3 = 240 \)
- \( M_3 = \frac{240}{5} = 48 \) cm
- Yani, üçüncü çizginin ikinci kenarı kestiği nokta, başlangıçtan \(48\) cm uzaklıktadır.
- İlk işaretli noktadan uzaklığı ise \(M_3 - M_1 = 48 - 8 = 40\) cm'dir.
Örnek 8:
Bir haritacı, bir nehrin genişliğini doğrudan ölçemediği için bir yöntem kullanıyor. 🗺️
Nehrin bir tarafında A, B, C noktalarını belirliyor. Diğer tarafta, C noktasına göre nehrin karşı kıyısında D noktasını belirliyor.
* AB uzunluğunu \(10\) metre * BC uzunluğunu \(15\) metre olarak ölçüyor.
A noktasından D noktasına doğru bir görüş hattı çektiğinde, bu hattın B noktasından geçen ve CD'ye paralel olan bir çizgiyle nehrin karşı kıyısındaki E noktasını kestiğini görüyor. 🏞️
CD uzunluğunu \(24\) metre olarak ölçtüğüne göre, BE uzunluğu kaç metredir? 🤔
Nehrin bir tarafında A, B, C noktalarını belirliyor. Diğer tarafta, C noktasına göre nehrin karşı kıyısında D noktasını belirliyor.
* AB uzunluğunu \(10\) metre * BC uzunluğunu \(15\) metre olarak ölçüyor.
A noktasından D noktasına doğru bir görüş hattı çektiğinde, bu hattın B noktasından geçen ve CD'ye paralel olan bir çizgiyle nehrin karşı kıyısındaki E noktasını kestiğini görüyor. 🏞️
CD uzunluğunu \(24\) metre olarak ölçtüğüne göre, BE uzunluğu kaç metredir? 🤔
Çözüm:
Bu problemde, Temel Orantı Teoremi'ni kullanarak nehrin üzerindeki mesafeleri hesaplayacağız. Verilen bilgilerle bir üçgen ve paralel bir doğru parçası oluşturulmaktadır.
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 📌 Üçgeni ve Paralel Doğruyu Belirleme:
- A, C, D noktaları bir ACD üçgeni oluşturur.
- B noktası AC kenarı üzerindedir.
- BE doğru parçası CD'ye paraleldir (\(BE // CD\)) ve E noktası AD kenarı üzerindedir.
- Bu durumda, Temel Orantı Teoremi'ni ACD üçgeninde uygulayabiliriz.
- 👉 Orantıyı Kurma:
- \(BE // CD\) olduğu için, AB'nin AC'ye oranı, BE'nin CD'ye oranına eşit olmalıdır. (Benzer üçgenler: ABE ~ ACD)
- AC uzunluğu = AB + BC = \(10 + 15 = 25\) metredir.
- \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} \]
- ✅ Verilenleri Yerine Koyma ve Çözme:
- \[ \frac{10}{25} = \frac{BE}{24} \]
- Sol tarafı sadeleştirelim: \( \frac{10}{25} = \frac{2}{5} \).
- \[ \frac{2}{5} = \frac{BE}{24} \]
- İçler dışlar çarpımı yaparak BE uzunluğunu bulalım.
- \( 5 \times BE = 2 \times 24 \)
- \( 5 \times BE = 48 \)
- \( BE = \frac{48}{5} \)
- \( BE = 9.6 \) metre
Örnek 9:
Bir ressam, bir tuval üzerine üçgen şeklinde bir kompozisyon çizmek istiyor. 🎨
Büyük bir ABC üçgeni çizen ressam, bu üçgenin AB kenarı üzerinde K noktasını ve AC kenarı üzerinde L noktasını işaretliyor.
KL doğru parçası BC kenarına paraleldir (\(KL // BC\)).
* AK uzunluğu, KB uzunluğunun \(2\) katıdır. (Yani \(AK = 2 \times KB\)) * AC uzunluğu \(30\) cm'dir.
Buna göre, AL uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Büyük bir ABC üçgeni çizen ressam, bu üçgenin AB kenarı üzerinde K noktasını ve AC kenarı üzerinde L noktasını işaretliyor.
KL doğru parçası BC kenarına paraleldir (\(KL // BC\)).
* AK uzunluğu, KB uzunluğunun \(2\) katıdır. (Yani \(AK = 2 \times KB\)) * AC uzunluğu \(30\) cm'dir.
Buna göre, AL uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu problemde, Temel Orantı Teoremi'ni kullanarak AL uzunluğunu bulacağız. Verilen oran bilgisini dikkatlice kullanmamız gerekiyor.
Adım adım çözüm:
Adım adım çözüm:
- 1️⃣ Verilen Oranı Yorumlama:
- \(AK = 2 \times KB\) olduğu için, KB'ye \(x\) dersek, AK = \(2x\) olur.
- Bu durumda, AB kenarının toplam uzunluğu \(AK + KB = 2x + x = 3x\) olur.
- 2️⃣ Temel Orantı Teoremi'ni Uygulama:
- \(KL // BC\) olduğu için, A noktasından başlayan kenarların oranları eşit olmalıdır:
- \[ \frac{AK}{AB} = \frac{AL}{AC} \]
- Dikkat: Bu orantıda, küçük üçgenin bir kenarının büyük üçgenin aynı kenarına oranı kullanılır. Diğer yaygın formül \( \frac{AK}{KB} = \frac{AL}{LC} \) idi. Ancak burada AC'nin tamamı verildiği için bu formül daha uygundur.
- 3️⃣ Verilenleri Yerine Koyma ve Çözme:
- AK = \(2x\), AB = \(3x\) ve AC = \(30\) cm.
- \[ \frac{2x}{3x} = \frac{AL}{30} \]
- Sol taraftaki \(x\) değerleri sadeleşir: \( \frac{2}{3} = \frac{AL}{30} \).
- İçler dışlar çarpımı yaparak AL uzunluğunu bulalım.
- \( 3 \times AL = 2 \times 30 \)
- \( 3 \times AL = 60 \)
- \( AL = \frac{60}{3} \)
- \( AL = 20 \) cm
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-temel-oranti-teoremi/sorular