🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Temel Orantı Teoremi Test Soruları ve Örnekler Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Temel Orantı Teoremi Test Soruları ve Örnekler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, DE doğru parçası BC kenarına paraleldir. AD = 4 cm, DB = 6 cm ve AE = 5 cm ise, EC kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruda Temel Orantı Teoremi'ni kullanacağız. Teorem, bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğrunun, diğer iki kenarı orantılı böldüğünü söyler.
- Teoremi Uygulama: DE || BC olduğundan, AD/DB = AE/EC oranı geçerlidir.
- Değerleri Yerine Koyma: \( \frac{4}{6} = \frac{5}{EC} \)
- Orantıyı Çözme: İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 4 \times EC = 6 \times 5 \)
- EC'yi Bulma: \( 4 \times EC = 30 \) \( \implies EC = \frac{30}{4} \)
- Sonuç: \( EC = 7.5 \) cm'dir. ✅
Örnek 2:
Şekildeki d1, d2 ve d3 doğruları birbirine paraleldir. AB doğrusunu kestiği noktalar A, C, E; BC doğrusunu kestiği noktalar B, D, F olarak adlandırılmıştır. AC = 8 birim, CE = 12 birim ve BD = 6 birim ise, DF kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Paralel doğrular ve kesenler söz konusu olduğunda, Tales Teoremi'nin bir uygulaması olan temel orantı prensibi geçerlidir.
- Tales Teoremi Prensibi: Paralel doğrular, onları kesen doğruları orantılı olarak böler. Bu durumda \( \frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF} \) olur.
- Verilenleri Yerleştirme: \( \frac{8}{12} = \frac{6}{DF} \)
- Orantıyı Sadeleştirme: \( \frac{2}{3} = \frac{6}{DF} \)
- DF'yi Hesaplama: İçler dışlar çarpımı ile: \( 2 \times DF = 3 \times 6 \) \( \implies 2 \times DF = 18 \) \( \implies DF = \frac{18}{2} \)
- Sonuç: \( DF = 9 \) birimdir. 👉
Örnek 3:
Bir parkta, doğrusal bir yol boyunca üç bank bulunmaktadır. En soldaki banktan en ortadaki banka olan mesafe 15 metre, en ortadaki banktan en sağdaki banka olan mesafe ise 20 metredir. Yol boyunca bu üç bankla aynı doğrultuda ve paralel olacak şekilde bir bisiklet yolu yapılacaktır. Eğer bisiklet yolunun en solundaki başlangıç noktası ile ilk bank arasındaki mesafe 12 metre ise, bisiklet yolunun en sağındaki bitiş noktası ile son bank arasındaki mesafe kaç metre olur? 🚴♀️
Çözüm:
Bu problem, paralel doğruların bir kesen tarafından orantılı bölündüğü Temel Orantı Teoremi'nin bir uygulamasıdır. Banklar paralel doğruları, yol ise bu doğruları kesen bir doğruyu temsil eder.
- Orantıyı Kurma: Yol üzerindeki mesafeler banklar arasındaki mesafelerle orantılıdır. Başlangıç noktası (Bitiş Noktası 1), ilk bank (Bank 1), ortanca bank (Bank 2) ve son bank (Bank 3) arasındaki mesafeleri düşünelim.
- Verilen Mesafeler: Bank 1 ile Bank 2 arası = 15 m, Bank 2 ile Bank 3 arası = 20 m.
- Bisiklet Yolu Mesafeleri: Başlangıç noktası ile Bank 1 arası = 12 m. Bitiş noktası ile Bank 3 arası soruluyor.
- Orantısal İlişki: \( \frac{\text{Başlangıç-Bank 1}}{\text{Bank 1-Bank 2}} = \frac{\text{Bank 3-Bitiş}}{\text{Bank 2-Bank 3}} \) (Burada dikkatli olmalıyız, kesenler farklı yönlerde de orantı kurabilir ancak burada mantıksal olarak aynı yönde ilerleyen mesafeleri oranlıyoruz.)
- Doğru Orantı Kurulumu: \( \frac{12}{15} = \frac{\text{Bitiş-Bank 3}}{20} \)
- Sadeleştirme ve Çözüm: \( \frac{4}{5} = \frac{\text{Bitiş-Bank 3}}{20} \) \( \implies 5 \times (\text{Bitiş-Bank 3}) = 4 \times 20 \) \( \implies 5 \times (\text{Bitiş-Bank 3}) = 80 \) \( \implies \text{Bitiş-Bank 3} = \frac{80}{5} \)
- Sonuç: Bitiş noktası ile son bank arasındaki mesafe 16 metredir. 💡
Örnek 4:
Bir inşaat projesinde, birbirine paralel olan iki duvar arasına, bu duvarlara belirli mesafelerde yerleştirilmiş üç kolon bulunmaktadır. En soldaki kolon ile ilk duvar arasındaki mesafe 3 metre, ilk kolon ile ikinci kolon arasındaki mesafe 5 metredir. İkinci kolon ile üçüncü kolon arasındaki mesafe 7 metre ise, üçüncü kolon ile ikinci duvar arasındaki mesafe kaç metre olmalıdır ki, kolonlar duvarlara göre orantılı bir şekilde yerleştirilmiş olsun? 🏗️
Çözüm:
Bu durum, paralel doğruların (duvarlar) onları kesen doğrular (kolonlar ve aralarındaki mesafeler) tarafından orantılı bölündüğü Temel Orantı Teoremi'nin bir örneğidir.
- Model Oluşturma: Duvarları paralel doğrular, kolonları ise bu doğruları kesen noktalar olarak düşünebiliriz.
- Verilen Mesafeler:
- Duvar 1 - Kolon 1: 3 m
- Kolon 1 - Kolon 2: 5 m
- Kolon 2 - Kolon 3: 7 m
- Orantısal İlişki: Duvarlar arasındaki toplam mesafeyi, kolonlar arasındaki mesafelerle orantılı olarak böleceğiz.
- Orantı Kurulumu: \( \frac{\text{Duvar 1 - Kolon 1}}{\text{Kolon 1 - Kolon 2}} = \frac{\text{Kolon 3 - Duvar 2}}{\text{Kolon 2 - Kolon 3}} \)
- Değerleri Yerine Koyma: \( \frac{3}{5} = \frac{\text{Kolon 3 - Duvar 2}}{7} \)
- Çözüm: İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 5 \times (\text{Kolon 3 - Duvar 2}) = 3 \times 7 \) \( \implies 5 \times (\text{Kolon 3 - Duvar 2}) = 21 \) \( \implies \text{Kolon 3 - Duvar 2} = \frac{21}{5} \)
- Sonuç: Üçüncü kolon ile ikinci duvar arasındaki mesafe 4.2 metre olmalıdır. 📏
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel bir DE doğru parçası çizilmiştir. D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası AC kenarı üzerindedir. AD uzunluğu, DB uzunluğunun 2 katıdır. AE uzunluğu 10 cm olduğuna göre, EC uzunluğu kaç cm'dir? ✏️
Çözüm:
Bu problemde Temel Orantı Teoremi'nin bir uzantısı olan Thales Teoremi'ni kullanacağız.
- Teoremi Anlama: DE'nin BC'ye paralel olması, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) oranını sağlar.
- Verilen İlişkiyi Kullanma: AD = 2 * DB denilmiştir. Bu ifadeyi orantıda yerine koyabiliriz.
- Orantıyı Düzenleme: \( \frac{2 \times DB}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
- Sadeleştirme: \( 2 = \frac{AE}{EC} \)
- Verilen AE Değerini Yerine Koyma: \( 2 = \frac{10}{EC} \)
- EC'yi Hesaplama: \( 2 \times EC = 10 \) \( \implies EC = \frac{10}{2} \)
- Sonuç: \( EC = 5 \) cm'dir. ✅
Örnek 6:
İki paralel doğru (d1 ve d2) ve bu doğruları kesen iki farklı doğru (k1 ve k2) veriliyor. k1 doğrusu, d1'i A noktasında, d2'yi C noktasında kesiyor. k2 doğrusu ise d1'i B noktasında, d2'yi D noktasında kesiyor. Eğer AC = 7 birim, CD = 14 birim ve BD = 9 birim ise, AB kaç birimdir? ↔️
Çözüm:
Bu soru, paralel doğruların kesenler tarafından orantılı bölündüğü Temel Orantı Teoremi'nin bir uygulamasıdır.
- Teoremi Uygulama: Paralel doğrular (d1, d2) ve kesenler (k1, k2) olduğunda, kesenler üzerindeki doğru parçaları orantılıdır.
- Orantısal İlişki: \( \frac{AC}{CD} = \frac{AB}{BD} \)
- Verilen Değerleri Yerine Koyma: \( \frac{7}{14} = \frac{AB}{9} \)
- Orantıyı Sadeleştirme: \( \frac{1}{2} = \frac{AB}{9} \)
- AB'yi Hesaplama: İçler dışlar çarpımı ile: \( 2 \times AB = 1 \times 9 \) \( \implies 2 \times AB = 9 \) \( \implies AB = \frac{9}{2} \)
- Sonuç: \( AB = 4.5 \) birimdir. 👉
Örnek 7:
Bir fotoğrafçının stüdyosunda, arka planı oluşturmak için üç adet dikey ve birbirine paralel perde kullanılmaktadır. En soldaki perdeden ortadaki perdeye olan mesafe 1.2 metre, ortadaki perdeden en sağdaki perdeye olan mesafe ise 1.8 metredir. Bir model, bu perdelerin önünde durarak fotoğraf çektirecektir. Modelin sol ayağı ile en soldaki perde arasındaki mesafe 0.8 metre ise, modelin sağ ayağı ile en sağdaki perde arasındaki mesafe kaç metre olmalıdır ki, model perdelerle orantılı bir mesafede durmuş olsun? 📸
Çözüm:
Bu senaryo, paralel doğruların (perdelerin) kesenler (modelin ayakları ve perdeler arasındaki mesafeler) tarafından orantılı bölündüğü Temel Orantı Teoremi'nin bir uygulamasıdır.
- Model Oluşturma: Perdeler paralel doğruları, modelin ayakları ve perdeler arasındaki mesafeler ise bu doğruları kesen bir doğru üzerindeki bölümleri temsil eder.
- Verilen Mesafeler:
- Perde 1 - Perde 2: 1.2 m
- Perde 2 - Perde 3: 1.8 m
- Model Sol Ayak - Perde 1: 0.8 m
- Orantısal İlişki: Modelin ayakları ile perdeler arasındaki mesafeler, perdeler arasındaki mesafelerle orantılıdır.
- Orantı Kurulumu: \( \frac{\text{Model Sol Ayak - Perde 1}}{\text{Perde 1 - Perde 2}} = \frac{\text{Model Sağ Ayak - Perde 3}}{\text{Perde 2 - Perde 3}} \)
- Değerleri Yerine Koyma: \( \frac{0.8}{1.2} = \frac{\text{Model Sağ Ayak - Perde 3}}{1.8} \)
- Sadeleştirme ve Çözüm: \( \frac{8}{12} = \frac{\text{Model Sağ Ayak - Perde 3}}{1.8} \) \( \implies \frac{2}{3} = \frac{\text{Model Sağ Ayak - Perde 3}}{1.8} \) \( \implies 3 \times (\text{Model Sağ Ayak - Perde 3}) = 2 \times 1.8 \) \( \implies 3 \times (\text{Model Sağ Ayak - Perde 3}) = 3.6 \) \( \implies \text{Model Sağ Ayak - Perde 3} = \frac{3.6}{3} \)
- Sonuç: Modelin sağ ayağı ile en sağdaki perde arasındaki mesafe 1.2 metre olmalıdır. 💡
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir E noktası veriliyor. DE doğru parçası BC kenarına paraleldir. Eğer AD = 3 cm, DB = 5 cm ve AE = 6 cm ise, AC uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda Temel Orantı Teoremi'ni ve bu teoremin bir sonucunu kullanacağız.
- Temel Orantı Teoremi: DE || BC olduğundan, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) oranı geçerlidir.
- Değerleri Yerine Koyma: \( \frac{3}{5} = \frac{6}{EC} \)
- EC'yi Bulma: İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 3 \times EC = 5 \times 6 \) \( \implies 3 \times EC = 30 \) \( \implies EC = \frac{30}{3} \) \( \implies EC = 10 \) cm.
- AC Uzunluğunu Hesaplama: AC = AE + EC
- Sonuç: AC = 6 cm + 10 cm = 16 cm'dir. ✅
Örnek 9:
Üç paralel doğru (d1, d2, d3) bir düzlemde yer almaktadır. Bu doğruları kesen iki farklı doğru (k1 ve k2) vardır. k1 doğrusu, doğruları sırasıyla A, B, C noktalarında kesmektedir. k2 doğrusu ise aynı doğruları sırasıyla D, E, F noktalarında kesmektedir. Eğer AB = 4 birim, BC = 6 birim ve DE = 10 birim ise, EF kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Bu problem, paralel doğruların kesenler tarafından orantılı bölündüğü Tales Teoremi'nin bir uygulamasıdır.
- Tales Teoremi Prensibi: Paralel doğrular, onları kesen doğruları orantılı olarak böler. Bu durumda \( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \) oranı geçerlidir.
- Verilenleri Yerine Koyma: \( \frac{4}{6} = \frac{10}{EF} \)
- Orantıyı Sadeleştirme: \( \frac{2}{3} = \frac{10}{EF} \)
- EF'yi Hesaplama: İçler dışlar çarpımı ile: \( 2 \times EF = 3 \times 10 \) \( \implies 2 \times EF = 30 \) \( \implies EF = \frac{30}{2} \)
- Sonuç: \( EF = 15 \) birimdir. 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-temel-oranti-teoremi-test-sorulari-ve-ornekler/sorular