🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Temel orantı, Pisagor, veri analizi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Temel orantı, Pisagor, veri analizi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Temel Orantı Teoremi:
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğrusu AB kenarını D noktasında, AC kenarını E noktasında kesmektedir.
\( AD = 6 \) birim, \( DB = 3 \) birim ve \( AE = 8 \) birim olduğuna göre, \( EC = x \) kaç birimdir? 💡
Bir ABC üçgeninde, BC kenarına paralel olan bir DE doğrusu AB kenarını D noktasında, AC kenarını E noktasında kesmektedir.
\( AD = 6 \) birim, \( DB = 3 \) birim ve \( AE = 8 \) birim olduğuna göre, \( EC = x \) kaç birimdir? 💡
Çözüm:
Temel orantı teoremine göre, bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen doğru, kestiği kenarları orantılı parçalara ayırır.
- Kural: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
- Verileri Yerine Yazalım: \( \frac{6}{3} = \frac{8}{x} \)
- İçler Dışlar Çarpımı: \( 6 \times x = 3 \times 8 \)
- \( 6x = 24 \)
- Sonuç: \( x = 4 \) birim olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
Pisagor Teoremi:
Bir ABC dik üçgeninde B açısı \( 90^\circ \) derecedir.
Dik kenar uzunlukları \( AB = 8 \) cm ve \( BC = 15 \) cm olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu olan \( AC = x \) kaç cm'dir? 📐
Bir ABC dik üçgeninde B açısı \( 90^\circ \) derecedir.
Dik kenar uzunlukları \( AB = 8 \) cm ve \( BC = 15 \) cm olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu olan \( AC = x \) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Hesaplama: \( 8^2 + 15^2 = x^2 \)
- \( 64 + 225 = x^2 \)
- \( 289 = x^2 \)
- \( \sqrt{289} = 17 \)
- Sonuç: Hipotenüs uzunluğu \( x = 17 \) cm'dir. (Bu bir 8-15-17 özel üçgenidir.) 🌟
Örnek 3:
Veri Analizi (Merkezi Eğilim Ölçüleri):
Bir öğrencinin matematik yazılılarından aldığı notlar şu şekildedir: 70, 85, 85, 90, 100.
Bu veri grubunun aritmetik ortalamasını, modunu ve medyanını bulunuz. 📊
Bir öğrencinin matematik yazılılarından aldığı notlar şu şekildedir: 70, 85, 85, 90, 100.
Bu veri grubunun aritmetik ortalamasını, modunu ve medyanını bulunuz. 📊
Çözüm:
Verileri analiz etmek için sırasıyla şu işlemleri yapalım:
- Aritmetik Ortalama: Verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür.
\( \frac{70 + 85 + 85 + 90 + 100}{5} = \frac{430}{5} = 86 \) - Mod (Tepe Değer): En çok tekrar eden veridir.
Bu grupta 85 puanı 2 kez tekrar ettiği için Mod = 85. - Medyan (Ortanca): Veriler küçükten büyüye sıralandığında tam ortadaki değerdir.
Sıralama: 70, 85, 85, 90, 100.
Ortadaki değer 85 olduğu için Medyan = 85.
Örnek 4:
Üçgende Benzerlik ve Orantı:
Boyu 1.8 metre olan bir gencin, güneşli bir günde gölge boyu 1.2 metre olarak ölçülmüştür.
Aynı anda yanındaki elektrik direğinin gölge boyu 4 metre olduğuna göre, elektrik direğinin gerçek boyu kaç metredir? ☀️
Boyu 1.8 metre olan bir gencin, güneşli bir günde gölge boyu 1.2 metre olarak ölçülmüştür.
Aynı anda yanındaki elektrik direğinin gölge boyu 4 metre olduğuna göre, elektrik direğinin gerçek boyu kaç metredir? ☀️
Çözüm:
Güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için nesnelerin boyları ile gölge boyları arasında doğru orantı (benzerlik) vardır.
- Orantı Kurulumu: \( \frac{Gencin Boyu}{Gencin Gölgesi} = \frac{Direğin Boyu}{Direğin Gölgesi} \)
- Denklem: \( \frac{1.8}{1.2} = \frac{x}{4} \)
- Sadeleştirme: \( \frac{1.8}{1.2} \) oranı \( \frac{3}{2} \) değerine eşittir.
- \( \frac{3}{2} = \frac{x}{4} \)
- \( 2x = 12 \)
- Sonuç: Direğin boyu \( x = 6 \) metredir. ⚡
Örnek 5:
Pisagor Teoremi Uygulaması:
Bir itfaiye merdiveni, yerden yüksekliği 12 metre olan bir pencereye ulaşmak için duvardan 5 metre uzağa yerleştirilmiştir.
Buna göre, açılan itfaiye merdiveninin uzunluğu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Bir itfaiye merdiveni, yerden yüksekliği 12 metre olan bir pencereye ulaşmak için duvardan 5 metre uzağa yerleştirilmiştir.
Buna göre, açılan itfaiye merdiveninin uzunluğu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Çözüm:
Duvar ile zemin arasındaki açı \( 90^\circ \) kabul edildiğinde, burada bir dik üçgen oluşur.
- Dik Kenar 1 (Yükseklik): 12 metre
- Dik Kenar 2 (Uzaklık): 5 metre
- Hipotenüs (Merdiven): x metre
- Pisagor Uygulaması: \( 5^2 + 12^2 = x^2 \)
- \( 25 + 144 = x^2 \)
- \( 169 = x^2 \)
- \( x = 13 \)
- Cevap: Merdivenin uzunluğu 13 metre olmalıdır. 🪜
Örnek 6:
Veri Analizi (Grafik Yorumlama):
Bir çiftçinin bahçesinden topladığı ürünlerin dağılımı bir daire grafiği ile gösterilmektedir. Elma üretimi \( 120^\circ \), Armut üretimi \( 90^\circ \) ve geri kalan miktar ise Kiraz üretimidir.
Toplam ürün miktarı 3600 kg olduğuna göre, Kiraz miktarı kaç kg'dır? 🍒
Bir çiftçinin bahçesinden topladığı ürünlerin dağılımı bir daire grafiği ile gösterilmektedir. Elma üretimi \( 120^\circ \), Armut üretimi \( 90^\circ \) ve geri kalan miktar ise Kiraz üretimidir.
Toplam ürün miktarı 3600 kg olduğuna göre, Kiraz miktarı kaç kg'dır? 🍒
Çözüm:
Daire grafiğinin tamamı \( 360 = 360^\circ \) derecedir.
- Kirazın Derecesini Bulalım: \( 360 - (120 + 90) = 360 - 210 = 150^\circ \)
- Orantı Kuralım:
\( 360^\circ \) tamamı 3600 kg ise,
\( 150^\circ \) kiraz miktarı x kg'dır. - Hesaplama: \( x = \frac{150 \times 3600}{360} \)
- \( x = 150 \times 10 \)
- Sonuç: Kiraz miktarı 1500 kg olarak bulunur. 🍏
Örnek 7:
Pisagor ve Orantı Karma:
Bir ABC dik üçgeninde \( AB \perp BC \) dir. Hipotenüs üzerinde bir D noktası işaretleniyor. \( AB = 9 \) birim ve \( BC = 12 \) birimdir.
D noktası AC kenarının orta noktası olduğuna göre, B ile D noktası arasındaki mesafe (kenarortay uzunluğu) kaç birimdir? 🔍
Bir ABC dik üçgeninde \( AB \perp BC \) dir. Hipotenüs üzerinde bir D noktası işaretleniyor. \( AB = 9 \) birim ve \( BC = 12 \) birimdir.
D noktası AC kenarının orta noktası olduğuna göre, B ile D noktası arasındaki mesafe (kenarortay uzunluğu) kaç birimdir? 🔍
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce hipotenüsü bulup sonra muhteşem üçlü kuralını hatırlayalım.
- Hipotenüs Hesaplama: \( 9^2 + 12^2 = AC^2 \)
\( 81 + 144 = 225 \Rightarrow AC = 15 \) birim. - Bilgi: Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem Üçlü).
- Hesaplama: \( BD = \frac{AC}{2} \)
- \( BD = \frac{15}{2} = 7.5 \)
- Sonuç: B ile D arasındaki mesafe 7.5 birimdir. 🎯
Örnek 8:
Veri Analizi (Standart Sapma ve Açıklık):
Bir basketbolcunun son 4 maçta attığı sayılar: 10, 12, 14, 16 şeklindedir.
Bu veri grubunun açıklığını (range) ve standart sapmasını hesaplamak için gerekli olan aritmetik ortalamayı bulunuz. 🏀
Bir basketbolcunun son 4 maçta attığı sayılar: 10, 12, 14, 16 şeklindedir.
Bu veri grubunun açıklığını (range) ve standart sapmasını hesaplamak için gerekli olan aritmetik ortalamayı bulunuz. 🏀
Çözüm:
Veri grubunu analiz edelim:
- Açıklık (Range): En büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.
\( 16 - 10 = 6 \) - Aritmetik Ortalama:
\( \frac{10 + 12 + 14 + 16}{4} = \frac{52}{4} = 13 \) - Standart Sapma Mantığı: Verilerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösterir. Ortalamaya yakın verilerin sapması düşüktür, bu da istikrarı gösterir.
- Bu örnekte sporcu her maçta ortalamaya yakın (istikrarlı) bir performans sergilemiştir. 📈
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-temel-oranti-pisagor-veri-analizi/sorular