💡 9. Sınıf Matematik: Temel benzerlik Çözümlü Örnekler

Benzerlik oranını kullanarak çözüme ulaşacağız:

• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
• Bu durumda, AD / AB = AE / AC olur.
• Verilen değerleri yerine koyalım: AB = AD + DB = 6 + 3 = 9 cm.
• AC = AE + EC.
• Denklemimiz şu hale gelir: 6 / 9 = 8 / AC.
• İçler dışlar çarpımı yaparsak: 6 AC = 9 8.
• 6 * AC = 72.
• AC'yi bulmak için her iki tarafı 6'ya böleriz: AC = 72 / 6 = 12 cm.
• Bizden istenen EC uzaklığıdır: EC = AC - AE = 12 - 8 = 4 cm.

Sonuç olarak, E noktası ile C noktası arasındaki uzaklık 4 cm'dir. ✅

Benzer şekillerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. 📌

• Alanlar oranı 9/16 ise, benzerlik oranı √(9/16) = 3/4 olur.
• Bu, kenar uzunlukları oranının 3/4 olduğu anlamına gelir.
• Çevreler oranı da kenar uzunlukları oranına eşittir.
• Küçük dikdörtgenin çevresi 24 cm ise, büyük dikdörtgenin çevresini bulmak için şu oranı kullanırız: Çevre_küçük / Çevre_büyük = 3/4.
• 24 / Çevre_büyük = 3/4.
• İçler dışlar çarpımı yaparsak: 24 4 = 3 Çevre_büyük.
• 96 = 3 * Çevre_büyük.
• Büyük dikdörtgenin çevresini bulmak için her iki tarafı 3'e böleriz: Çevre_büyük = 96 / 3 = 32 cm.

Büyük dikdörtgenin çevresi 32 cm'dir. ✨

Bu problemde, orijinal fotoğraf ile büyütülmüş fotoğrafın benzer dikdörtgenler olduğunu biliyoruz. Benzerlik oranını kullanarak yeni uzun kenarı bulacağız. 👉

• Orijinal fotoğrafın kenarları 10 cm ve 15 cm.
• Yeni fotoğrafın kısa kenarı 25 cm.
• Benzerlik oranını kısa kenarlar üzerinden hesaplayalım: Yeni_kısa_kenar / Orijinal_kısa_kenar = 25 / 10 = 2.5.
• Bu benzerlik oranı, uzun kenarlar için de geçerli olacaktır.
• Yeni_uzun_kenar / Orijinal_uzun_kenar = 2.5.
• Yeni_uzun_kenar / 15 = 2.5.
• Yeni uzun kenarı bulmak için 15 ile 2.5'i çarparız: Yeni_uzun_kenar = 15 * 2.5 = 37.5 cm.

Büyütülmüş fotoğrafın uzun kenarı 37.5 cm olur. 🖼️

Bu, ölçekli çizimlerde temel benzerlik prensibinin bir uygulamasıdır. Ölçek, haritadaki uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranını verir. 🌍

• Harita üzerindeki uzaklık: 5 cm.
• Ölçek: 1:200.000. Bu şu anlama gelir: Haritadaki 1 birim, gerçekte 200.000 birime karşılık gelir.
• Gerçek uzaklığı bulmak için harita üzerindeki uzaklığı ölçekle çarparız: Gerçek Uzaklık = Harita Uzaklığı * Ölçek Faktörü.
• Gerçek Uzaklık = 5 cm * 200.000 = 1.000.000 cm.
• Şimdi bu uzaklığı kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
• 1 kilometre = 100.000 cm.
• Gerçek Uzaklık (km) = 1.000.000 cm / 100.000 cm/km = 10 km.

Gerçekte A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 10 km'dir. 🛣️

Bu soruda, yükseklik çizildiğinde oluşan iki dik üçgenin benzerliğini ve Pisagor teoremini kullanacağız. 💡

Öncelikle, ABC üçgeninin dik üçgen olup olmadığını kontrol edelim. Eğer ABC dik üçgen ise, A açısı 90 derece olmalıdır. Bu durumda Pisagor teoremine göre AB² + AC² = BC² olmalıdır.

Önce AB ve AC kenar uzunluklarını bulalım:

• AB kenarı için ABH dik üçgenini kullanırız: AB² = AH² + BH² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52. Dolayısıyla AB = √52 = 2√13 cm.
• AC kenarı için AHC dik üçgenini kullanırız: AC² = AH² + HC² = 6² + 9² = 36 + 81 = 117. Dolayısıyla AC = √117 = 3√13 cm.
• BC kenarı = BH + HC = 4 + 9 = 13 cm.

Şimdi Pisagor teoremini kontrol edelim: AB² + AC² = 52 + 117 = 169. Ve BC² = 13² = 169. AB² + AC² = BC² eşitliği sağlandığı için ABC üçgeni bir dik üçgendir ve A açısı 90 derecedir. ✅

Çevre Hesaplama:

• Çevre = AB + AC + BC
• Çevre = 2√13 + 3√13 + 13
• Çevre = 5√13 + 13 cm.

Alan Hesaplama:

• ABC üçgeninin alanı, taban çarpı yükseklik bölü ikidir.
• Alan = (BC * AH) / 2
• Alan = (13 * 6) / 2
• Alan = 78 / 2 = 39 cm².

Sonuç olarak, üçgenin çevresi \( 13 + 5\sqrt{13} \) cm ve alanı 39 cm²'dir. 💯

Bu soruda, "temel benzerlik" kavramının doğrudan bir uygulaması olmasa da, geometrik kesişimlerdeki eşitlikleri anlamak önemlidir. Ancak, verilen bilgiyle bu dört küçük doğru parçasının uzunluklarının eşit olduğunu söyleyemeyiz. ❌

• İki doğru parçasının birbirini kesmesi ve kesişim noktasının her ikisini de ortadan ikiye ayırması demek, kesişen doğru parçalarının birbirini ortaladığı anlamına gelir.
• Bu durumda oluşan dört doğru parçasının uzunlukları, kesişen doğru parçalarının kendi uzunluklarına bağlıdır.
• Eğer kesişen doğru parçalarının uzunlukları farklıysa, oluşan dört küçük doğru parçasının uzunlukları da farklı olacaktır.
• Örneğin, bir doğru parçası 10 cm, diğeri 6 cm uzunluğunda olsun. Kesişim noktası her ikisini de ortalarsa, oluşan dört parça 5 cm, 5 cm, 3 cm ve 3 cm uzunluğunda olur. Bu parçalar eşit değildir.
• Ancak, eğer kesişen doğru parçalarının her ikisi de eşit uzunluktaysa ve birbirini ortalıyorsa, o zaman oluşan dört küçük doğru parçası da birbirine eşit olur.

Soruda bu özel durum belirtilmediği için, genel durumda bu dört küçük doğru parçasının uzunlukları birbirine eşit değildir. 🙅

Bu soru, temel benzerlik teoreminin klasik bir örneğidir. DE'nin BC'ye paralel olması, ADE üçgeni ile ABC üçgeninin benzer olmasını sağlar. 💡

• Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
• Bu durumda, AD / AB = AE / AC ilişkisi geçerlidir.
• Verilen değerleri yerine koyalım: AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 cm.
• AC = AE + EC.
• Denklemimiz şu hale gelir: 4 / 10 = 5 / AC.
• İçler dışlar çarpımı yaparsak: 4 AC = 10 5.
• 4 * AC = 50.
• AC'yi bulmak için her iki tarafı 4'e böleriz: AC = 50 / 4 = 12.5 cm.
• Bizden istenen EC uzunluğudur: EC = AC - AE = 12.5 - 5 = 7.5 cm.

EC uzunluğu 7.5 cm'dir. ✅

Bu problemde, güneş ışınlarının oluşturduğu benzer üçgenler sayesinde binanın yüksekliğini bulacağız. ☀️

• Çubuğun boyu (yükseklik) = 1.5 m
• Çubuğun gölgesi (taban) = 2 m
• Bina gölgesi (taban) = 40 m
• Binanın yüksekliği (yükseklik) = ?

Benzer üçgenlerde, yüksekliklerin oranı tabanların oranına eşittir:

• Çubuk Yüksekliği / Bina Yüksekliği = Çubuk Gölgesi / Bina Gölgesi
• 1.5 / Bina Yüksekliği = 2 / 40
• İçler dışlar çarpımı yaparsak: 1.5 40 = 2 Bina Yüksekliği.
• 60 = 2 * Bina Yüksekliği.
• Bina yüksekliğini bulmak için her iki tarafı 2'ye böleriz: Bina Yüksekliği = 60 / 2 = 30 m.

İnşaat mühendisinin ölçtüğü binanın gerçek yüksekliği 30 metre'dir. 📏