💡 9. Sınıf Matematik: Temel benzerlik Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir ABC üçgeninde DE doğrusu BC kenarına paraleldir. A noktası ile D noktası arasındaki uzaklık 6 cm, D noktası ile B noktası arasındaki uzaklık 3 cm'dir. A noktası ile E noktası arasındaki uzaklık 8 cm olduğuna göre, E noktası ile C noktası arasındaki uzaklık kaç cm'dir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, temel benzerlik teoreminin bir uygulamasıdır. DE // BC olduğunda, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. 💡
Benzerlik oranını kullanarak çözüme ulaşacağız:
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
Bu durumda, AD / AB = AE / AC olur.
Verilen değerleri yerine koyalım: AB = AD + DB = 6 + 3 = 9 cm.
AC = AE + EC.
Denklemimiz şu hale gelir: 6 / 9 = 8 / AC.
İçler dışlar çarpımı yaparsak: 6 AC = 9 8.
6 * AC = 72.
AC'yi bulmak için her iki tarafı 6'ya böleriz: AC = 72 / 6 = 12 cm.
Bizden istenen EC uzaklığıdır: EC = AC - AE = 12 - 8 = 4 cm.
Sonuç olarak, E noktası ile C noktası arasındaki uzaklık 4 cm'dir. ✅
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
İki benzer dikdörtgenin alanları oranı 9/16'dır. Küçük dikdörtgenin çevresi 24 cm olduğuna göre, büyük dikdörtgenin çevresi kaç cm'dir? 📏
Çözüm ve Açıklama
Benzer şekillerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. 📌
Alanlar oranı 9/16 ise, benzerlik oranı √(9/16) = 3/4 olur.
Bu, kenar uzunlukları oranının 3/4 olduğu anlamına gelir.
Çevreler oranı da kenar uzunlukları oranına eşittir.
Küçük dikdörtgenin çevresi 24 cm ise, büyük dikdörtgenin çevresini bulmak için şu oranı kullanırız: Çevre_küçük / Çevre_büyük = 3/4.
Büyük dikdörtgenin çevresini bulmak için her iki tarafı 3'e böleriz: Çevre_büyük = 96 / 3 = 32 cm.
Büyük dikdörtgenin çevresi 32 cm'dir. ✨
3
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir fotoğrafçı, elindeki bir fotoğrafı büyütmek istiyor. Fotoğrafın orijinal boyutları 10 cm'ye 15 cm'dir. Fotoğrafçının büyütmek istediği yeni boyutlar, orijinal boyutlarla benzer olmalıdır. Eğer yeni fotoğrafın kısa kenarı 25 cm olursa, uzun kenarı kaç cm olur? 📸
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, orijinal fotoğraf ile büyütülmüş fotoğrafın benzer dikdörtgenler olduğunu biliyoruz. Benzerlik oranını kullanarak yeni uzun kenarı bulacağız. 👉
Orijinal fotoğrafın kenarları 10 cm ve 15 cm.
Yeni fotoğrafın kısa kenarı 25 cm.
Benzerlik oranını kısa kenarlar üzerinden hesaplayalım: Yeni_kısa_kenar / Orijinal_kısa_kenar = 25 / 10 = 2.5.
Bu benzerlik oranı, uzun kenarlar için de geçerli olacaktır.
Yeni_uzun_kenar / Orijinal_uzun_kenar = 2.5.
Yeni_uzun_kenar / 15 = 2.5.
Yeni uzun kenarı bulmak için 15 ile 2.5'i çarparız: Yeni_uzun_kenar = 15 * 2.5 = 37.5 cm.
Büyütülmüş fotoğrafın uzun kenarı 37.5 cm olur. 🖼️
4
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 5 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:200.000'dir. Gerçekte A ve B şehirleri arasındaki uzaklık kaç km'dir? 🗺️
Çözüm ve Açıklama
Bu, ölçekli çizimlerde temel benzerlik prensibinin bir uygulamasıdır. Ölçek, haritadaki uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranını verir. 🌍
Harita üzerindeki uzaklık: 5 cm.
Ölçek: 1:200.000. Bu şu anlama gelir: Haritadaki 1 birim, gerçekte 200.000 birime karşılık gelir.
Gerçek uzaklığı bulmak için harita üzerindeki uzaklığı ölçekle çarparız: Gerçek Uzaklık = Harita Uzaklığı * Ölçek Faktörü.
Gerçek Uzaklık = 5 cm * 200.000 = 1.000.000 cm.
Şimdi bu uzaklığı kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
1 kilometre = 100.000 cm.
Gerçek Uzaklık (km) = 1.000.000 cm / 100.000 cm/km = 10 km.
Gerçekte A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 10 km'dir. 🛣️
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden BC kenarına bir yükseklik çizilmiştir ve bu yükseklik H noktasında BC'yi keser. AH = 6 cm, BH = 4 cm ve HC = 9 cm'dir. Bu üçgenin çevresini ve alanını hesaplayınız. (Not: Bu üçgenin dik üçgen olup olmadığını kontrol ediniz.) 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda, yükseklik çizildiğinde oluşan iki dik üçgenin benzerliğini ve Pisagor teoremini kullanacağız. 💡
Öncelikle, ABC üçgeninin dik üçgen olup olmadığını kontrol edelim. Eğer ABC dik üçgen ise, A açısı 90 derece olmalıdır. Bu durumda Pisagor teoremine göre AB² + AC² = BC² olmalıdır.
Önce AB ve AC kenar uzunluklarını bulalım:
AB kenarı için ABH dik üçgenini kullanırız: AB² = AH² + BH² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52. Dolayısıyla AB = √52 = 2√13 cm.
AC kenarı için AHC dik üçgenini kullanırız: AC² = AH² + HC² = 6² + 9² = 36 + 81 = 117. Dolayısıyla AC = √117 = 3√13 cm.
BC kenarı = BH + HC = 4 + 9 = 13 cm.
Şimdi Pisagor teoremini kontrol edelim: AB² + AC² = 52 + 117 = 169. Ve BC² = 13² = 169. AB² + AC² = BC² eşitliği sağlandığı için ABC üçgeni bir dik üçgendir ve A açısı 90 derecedir. ✅
Sonuç olarak, üçgenin çevresi \( 13 + 5\sqrt{13} \) cm ve alanı 39 cm²'dir. 💯
6
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
İki doğru parçası birbirini kesiyor. Bu doğru parçalarının kesişim noktası, her iki doğru parçasını da ortadan ikiye ayırıyor. Bu durumdaki dört küçük doğru parçasının uzunlukları birbirine eşit midir? Neden? 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda, "temel benzerlik" kavramının doğrudan bir uygulaması olmasa da, geometrik kesişimlerdeki eşitlikleri anlamak önemlidir. Ancak, verilen bilgiyle bu dört küçük doğru parçasının uzunluklarının eşit olduğunu söyleyemeyiz. ❌
İki doğru parçasının birbirini kesmesi ve kesişim noktasının her ikisini de ortadan ikiye ayırması demek, kesişen doğru parçalarının birbirini ortaladığı anlamına gelir.
Bu durumda oluşan dört doğru parçasının uzunlukları, kesişen doğru parçalarının kendi uzunluklarına bağlıdır.
Eğer kesişen doğru parçalarının uzunlukları farklıysa, oluşan dört küçük doğru parçasının uzunlukları da farklı olacaktır.
Örneğin, bir doğru parçası 10 cm, diğeri 6 cm uzunluğunda olsun. Kesişim noktası her ikisini de ortalarsa, oluşan dört parça 5 cm, 5 cm, 3 cm ve 3 cm uzunluğunda olur. Bu parçalar eşit değildir.
Ancak, eğer kesişen doğru parçalarının her ikisi de eşit uzunluktaysa ve birbirini ortalıyorsa, o zaman oluşan dört küçük doğru parçası da birbirine eşit olur.
Soruda bu özel durum belirtilmediği için, genel durumda bu dört küçük doğru parçasının uzunlukları birbirine eşit değildir. 🙅
7
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. AD = 4 cm, DB = 6 cm ve AE = 5 cm'dir. EC uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, temel benzerlik teoreminin klasik bir örneğidir. DE'nin BC'ye paralel olması, ADE üçgeni ile ABC üçgeninin benzer olmasını sağlar. 💡
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
Bu durumda, AD / AB = AE / AC ilişkisi geçerlidir.
Verilen değerleri yerine koyalım: AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 cm.
AC = AE + EC.
Denklemimiz şu hale gelir: 4 / 10 = 5 / AC.
İçler dışlar çarpımı yaparsak: 4 AC = 10 5.
4 * AC = 50.
AC'yi bulmak için her iki tarafı 4'e böleriz: AC = 50 / 4 = 12.5 cm.
Bizden istenen EC uzunluğudur: EC = AC - AE = 12.5 - 5 = 7.5 cm.
EC uzunluğu 7.5 cm'dir. ✅
8
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir inşaat mühendisi, bir binanın yüksekliğini ölçmek istiyor. Yanında bulunan 1.5 metre boyundaki bir çubuğu, binanın gölgesinin düştüğü yere dik olarak yerleştiriyor. Çubuğun gölgesi 2 metre, binanın gölgesi ise 40 metre olarak ölçülüyor. Mühendisin kullandığı çubuk ve bina, güneş ışınlarının geliş açısı nedeniyle benzer üçgenler oluşturduğuna göre, binanın gerçek yüksekliği kaç metredir? 🏗️
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, güneş ışınlarının oluşturduğu benzer üçgenler sayesinde binanın yüksekliğini bulacağız. ☀️
Çubuğun boyu (yükseklik) = 1.5 m
Çubuğun gölgesi (taban) = 2 m
Bina gölgesi (taban) = 40 m
Binanın yüksekliği (yükseklik) = ?
Benzer üçgenlerde, yüksekliklerin oranı tabanların oranına eşittir:
Çubuk Yüksekliği / Bina Yüksekliği = Çubuk Gölgesi / Bina Gölgesi
1.5 / Bina Yüksekliği = 2 / 40
İçler dışlar çarpımı yaparsak: 1.5 40 = 2 Bina Yüksekliği.
60 = 2 * Bina Yüksekliği.
Bina yüksekliğini bulmak için her iki tarafı 2'ye böleriz: Bina Yüksekliği = 60 / 2 = 30 m.
İnşaat mühendisinin ölçtüğü binanın gerçek yüksekliği 30 metre'dir. 📏
9. Sınıf Matematik: Temel benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde DE doğrusu BC kenarına paraleldir. A noktası ile D noktası arasındaki uzaklık 6 cm, D noktası ile B noktası arasındaki uzaklık 3 cm'dir. A noktası ile E noktası arasındaki uzaklık 8 cm olduğuna göre, E noktası ile C noktası arasındaki uzaklık kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soru, temel benzerlik teoreminin bir uygulamasıdır. DE // BC olduğunda, ADE üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. 💡
Benzerlik oranını kullanarak çözüme ulaşacağız:
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
Bu durumda, AD / AB = AE / AC olur.
Verilen değerleri yerine koyalım: AB = AD + DB = 6 + 3 = 9 cm.
AC = AE + EC.
Denklemimiz şu hale gelir: 6 / 9 = 8 / AC.
İçler dışlar çarpımı yaparsak: 6 AC = 9 8.
6 * AC = 72.
AC'yi bulmak için her iki tarafı 6'ya böleriz: AC = 72 / 6 = 12 cm.
Bizden istenen EC uzaklığıdır: EC = AC - AE = 12 - 8 = 4 cm.
Sonuç olarak, E noktası ile C noktası arasındaki uzaklık 4 cm'dir. ✅
Örnek 2:
İki benzer dikdörtgenin alanları oranı 9/16'dır. Küçük dikdörtgenin çevresi 24 cm olduğuna göre, büyük dikdörtgenin çevresi kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Benzer şekillerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. 📌
Alanlar oranı 9/16 ise, benzerlik oranı √(9/16) = 3/4 olur.
Bu, kenar uzunlukları oranının 3/4 olduğu anlamına gelir.
Çevreler oranı da kenar uzunlukları oranına eşittir.
Küçük dikdörtgenin çevresi 24 cm ise, büyük dikdörtgenin çevresini bulmak için şu oranı kullanırız: Çevre_küçük / Çevre_büyük = 3/4.
Büyük dikdörtgenin çevresini bulmak için her iki tarafı 3'e böleriz: Çevre_büyük = 96 / 3 = 32 cm.
Büyük dikdörtgenin çevresi 32 cm'dir. ✨
Örnek 3:
Bir fotoğrafçı, elindeki bir fotoğrafı büyütmek istiyor. Fotoğrafın orijinal boyutları 10 cm'ye 15 cm'dir. Fotoğrafçının büyütmek istediği yeni boyutlar, orijinal boyutlarla benzer olmalıdır. Eğer yeni fotoğrafın kısa kenarı 25 cm olursa, uzun kenarı kaç cm olur? 📸
Çözüm:
Bu problemde, orijinal fotoğraf ile büyütülmüş fotoğrafın benzer dikdörtgenler olduğunu biliyoruz. Benzerlik oranını kullanarak yeni uzun kenarı bulacağız. 👉
Orijinal fotoğrafın kenarları 10 cm ve 15 cm.
Yeni fotoğrafın kısa kenarı 25 cm.
Benzerlik oranını kısa kenarlar üzerinden hesaplayalım: Yeni_kısa_kenar / Orijinal_kısa_kenar = 25 / 10 = 2.5.
Bu benzerlik oranı, uzun kenarlar için de geçerli olacaktır.
Yeni_uzun_kenar / Orijinal_uzun_kenar = 2.5.
Yeni_uzun_kenar / 15 = 2.5.
Yeni uzun kenarı bulmak için 15 ile 2.5'i çarparız: Yeni_uzun_kenar = 15 * 2.5 = 37.5 cm.
Büyütülmüş fotoğrafın uzun kenarı 37.5 cm olur. 🖼️
Örnek 4:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 5 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:200.000'dir. Gerçekte A ve B şehirleri arasındaki uzaklık kaç km'dir? 🗺️
Çözüm:
Bu, ölçekli çizimlerde temel benzerlik prensibinin bir uygulamasıdır. Ölçek, haritadaki uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranını verir. 🌍
Harita üzerindeki uzaklık: 5 cm.
Ölçek: 1:200.000. Bu şu anlama gelir: Haritadaki 1 birim, gerçekte 200.000 birime karşılık gelir.
Gerçek uzaklığı bulmak için harita üzerindeki uzaklığı ölçekle çarparız: Gerçek Uzaklık = Harita Uzaklığı * Ölçek Faktörü.
Gerçek Uzaklık = 5 cm * 200.000 = 1.000.000 cm.
Şimdi bu uzaklığı kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
1 kilometre = 100.000 cm.
Gerçek Uzaklık (km) = 1.000.000 cm / 100.000 cm/km = 10 km.
Gerçekte A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 10 km'dir. 🛣️
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden BC kenarına bir yükseklik çizilmiştir ve bu yükseklik H noktasında BC'yi keser. AH = 6 cm, BH = 4 cm ve HC = 9 cm'dir. Bu üçgenin çevresini ve alanını hesaplayınız. (Not: Bu üçgenin dik üçgen olup olmadığını kontrol ediniz.) 📐
Çözüm:
Bu soruda, yükseklik çizildiğinde oluşan iki dik üçgenin benzerliğini ve Pisagor teoremini kullanacağız. 💡
Öncelikle, ABC üçgeninin dik üçgen olup olmadığını kontrol edelim. Eğer ABC dik üçgen ise, A açısı 90 derece olmalıdır. Bu durumda Pisagor teoremine göre AB² + AC² = BC² olmalıdır.
Önce AB ve AC kenar uzunluklarını bulalım:
AB kenarı için ABH dik üçgenini kullanırız: AB² = AH² + BH² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52. Dolayısıyla AB = √52 = 2√13 cm.
AC kenarı için AHC dik üçgenini kullanırız: AC² = AH² + HC² = 6² + 9² = 36 + 81 = 117. Dolayısıyla AC = √117 = 3√13 cm.
BC kenarı = BH + HC = 4 + 9 = 13 cm.
Şimdi Pisagor teoremini kontrol edelim: AB² + AC² = 52 + 117 = 169. Ve BC² = 13² = 169. AB² + AC² = BC² eşitliği sağlandığı için ABC üçgeni bir dik üçgendir ve A açısı 90 derecedir. ✅
Sonuç olarak, üçgenin çevresi \( 13 + 5\sqrt{13} \) cm ve alanı 39 cm²'dir. 💯
Örnek 6:
İki doğru parçası birbirini kesiyor. Bu doğru parçalarının kesişim noktası, her iki doğru parçasını da ortadan ikiye ayırıyor. Bu durumdaki dört küçük doğru parçasının uzunlukları birbirine eşit midir? Neden? 🤔
Çözüm:
Bu soruda, "temel benzerlik" kavramının doğrudan bir uygulaması olmasa da, geometrik kesişimlerdeki eşitlikleri anlamak önemlidir. Ancak, verilen bilgiyle bu dört küçük doğru parçasının uzunluklarının eşit olduğunu söyleyemeyiz. ❌
İki doğru parçasının birbirini kesmesi ve kesişim noktasının her ikisini de ortadan ikiye ayırması demek, kesişen doğru parçalarının birbirini ortaladığı anlamına gelir.
Bu durumda oluşan dört doğru parçasının uzunlukları, kesişen doğru parçalarının kendi uzunluklarına bağlıdır.
Eğer kesişen doğru parçalarının uzunlukları farklıysa, oluşan dört küçük doğru parçasının uzunlukları da farklı olacaktır.
Örneğin, bir doğru parçası 10 cm, diğeri 6 cm uzunluğunda olsun. Kesişim noktası her ikisini de ortalarsa, oluşan dört parça 5 cm, 5 cm, 3 cm ve 3 cm uzunluğunda olur. Bu parçalar eşit değildir.
Ancak, eğer kesişen doğru parçalarının her ikisi de eşit uzunluktaysa ve birbirini ortalıyorsa, o zaman oluşan dört küçük doğru parçası da birbirine eşit olur.
Soruda bu özel durum belirtilmediği için, genel durumda bu dört küçük doğru parçasının uzunlukları birbirine eşit değildir. 🙅
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. AD = 4 cm, DB = 6 cm ve AE = 5 cm'dir. EC uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soru, temel benzerlik teoreminin klasik bir örneğidir. DE'nin BC'ye paralel olması, ADE üçgeni ile ABC üçgeninin benzer olmasını sağlar. 💡
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
Bu durumda, AD / AB = AE / AC ilişkisi geçerlidir.
Verilen değerleri yerine koyalım: AB = AD + DB = 4 + 6 = 10 cm.
AC = AE + EC.
Denklemimiz şu hale gelir: 4 / 10 = 5 / AC.
İçler dışlar çarpımı yaparsak: 4 AC = 10 5.
4 * AC = 50.
AC'yi bulmak için her iki tarafı 4'e böleriz: AC = 50 / 4 = 12.5 cm.
Bizden istenen EC uzunluğudur: EC = AC - AE = 12.5 - 5 = 7.5 cm.
EC uzunluğu 7.5 cm'dir. ✅
Örnek 8:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın yüksekliğini ölçmek istiyor. Yanında bulunan 1.5 metre boyundaki bir çubuğu, binanın gölgesinin düştüğü yere dik olarak yerleştiriyor. Çubuğun gölgesi 2 metre, binanın gölgesi ise 40 metre olarak ölçülüyor. Mühendisin kullandığı çubuk ve bina, güneş ışınlarının geliş açısı nedeniyle benzer üçgenler oluşturduğuna göre, binanın gerçek yüksekliği kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu problemde, güneş ışınlarının oluşturduğu benzer üçgenler sayesinde binanın yüksekliğini bulacağız. ☀️
Çubuğun boyu (yükseklik) = 1.5 m
Çubuğun gölgesi (taban) = 2 m
Bina gölgesi (taban) = 40 m
Binanın yüksekliği (yükseklik) = ?
Benzer üçgenlerde, yüksekliklerin oranı tabanların oranına eşittir:
Çubuk Yüksekliği / Bina Yüksekliği = Çubuk Gölgesi / Bina Gölgesi
1.5 / Bina Yüksekliği = 2 / 40
İçler dışlar çarpımı yaparsak: 1.5 40 = 2 Bina Yüksekliği.
60 = 2 * Bina Yüksekliği.
Bina yüksekliğini bulmak için her iki tarafı 2'ye böleriz: Bina Yüksekliği = 60 / 2 = 30 m.
İnşaat mühendisinin ölçtüğü binanın gerçek yüksekliği 30 metre'dir. 📏