🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Telos ve Öklid Teoremleri ile Üçgen Benzerliği Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Telos ve Öklid Teoremleri ile Üçgen Benzerliği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. Eğer AD uzunluğu 4 cm, DB uzunluğu 6 cm ve AE uzunluğu 5 cm ise, EC uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu problemde Tales Teoremi'nin bir uygulamasını kullanacağız. Tales Teoremi'ne göre, bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen bir doğru, diğer iki kenarı orantılı olarak böler.
- Verilenler: AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 5 cm.
- İstenen: EC uzunluğu.
- Tales Teoremi'nin orantısı şöyledir: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \).
- Değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{6} = \frac{5}{EC} \).
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \times EC = 6 \times 5 \).
- \( 4 \times EC = 30 \).
- EC'yi bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim: \( EC = \frac{30}{4} \).
- Sadeleştirme yaparsak: \( EC = \frac{15}{2} = 7.5 \) cm.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, A açısı 90 derecedir. A köşesinden BC kenarına indirilen dikmenin ayağı D noktasıdır. Eğer AB = 6 birim ve AC = 8 birim ise, AD yüksekliği kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in yükseklik teoremini kullanabiliriz. Öklid'in yükseklik teoremi, dik üçgenlerde dik kenarların çarpımının, hipotenüse ait yüksekliğin karesine eşit olduğunu belirtir. Ancak burada daha basit bir yol izleyebiliriz.
- Öncelikle ABC üçgeninin alanını hesaplayalım. Dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır: Alan = \( \frac{AB \times AC}{2} \).
- Alan = \( \frac{6 \times 8}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) birim kare.
- Şimdi de ABC üçgeninin alanını, taban (BC) ve bu tabana ait yükseklik (AD) cinsinden ifade edelim: Alan = \( \frac{BC \times AD}{2} \).
- Bu formülü kullanabilmek için önce BC (hipotenüs) uzunluğunu bulmalıyız. Pisagor teoremini kullanalım: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \).
- \( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \).
- \( BC = \sqrt{100} = 10 \) birim.
- Şimdi alan formülünü kullanarak AD'yi bulabiliriz: \( 24 = \frac{10 \times AD}{2} \).
- \( 24 = 5 \times AD \).
- AD'yi bulmak için her iki tarafı 5'e bölelim: \( AD = \frac{24}{5} = 4.8 \) birim.
Örnek 3:
İki üçgenin karşılıklı açıları eşittir. Birinci üçgenin kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm'dir. İkinci üçgenin en kısa kenarı 6 cm olduğuna göre, ikinci üçgenin çevresi kaç cm'dir? 🧩
Çözüm:
Bu soruda üçgen benzerliği kavramını kullanacağız. İki üçgenin karşılıklı açıları eş ise, bu üçgenler benzerdir. Benzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır.
- Verilenler: Birinci üçgenin kenarları (3, 4, 5 cm). İkinci üçgenin en kısa kenarı 6 cm.
- İstenen: İkinci üçgenin çevresi.
- Üçgenler benzer olduğu için, kenarlar arasındaki orantı sabiti (benzerlik oranı) aynı olacaktır.
- Birinci üçgenin en kısa kenarı 3 cm'dir. İkinci üçgenin en kısa kenarı 6 cm'dir.
- Benzerlik oranı \( k = \frac{\text{İkinci üçgenin kenarı}}{\text{Birinci üçgenin karşılık kenarı}} \).
- En kısa kenarlar üzerinden benzerlik oranını bulalım: \( k = \frac{6}{3} = 2 \).
- Bu demektir ki, ikinci üçgenin her bir kenarı, birinci üçgenin karşılık kenarının 2 katıdır.
- İkinci üçgenin diğer kenarları:
- İkinci kenar = \( 4 \times k = 4 \times 2 = 8 \) cm.
- Üçüncü kenar = \( 5 \times k = 5 \times 2 = 10 \) cm.
- İkinci üçgenin kenarları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir.
- İkinci üçgenin çevresi = \( 6 + 8 + 10 = 24 \) cm.
Örnek 4:
Bir mimar, bir binanın maketini tasarlarken, gerçek binanın bir ölçekli küçültülmüş halini kullanıyor. Eğer maketin pencere yüksekliği 10 cm ve gerçek pencere yüksekliği 4 metre ise, maketin kapı yüksekliği 20 cm olduğuna göre, gerçek kapı yüksekliği kaç metredir? 🏢
Çözüm:
Bu problemde, maket ile gerçek bina arasındaki benzerlik oranını kullanarak bir doğru orantı kuracağız. Bu durum, Tales Teoremi'nin ölçeklendirme prensibiyle de ilişkilidir.
- Öncelikle birimleri aynı hale getirelim. Gerçek pencere yüksekliği 4 metre = 400 cm'dir.
- Maket pencere yüksekliği = 10 cm.
- Gerçek pencere yüksekliği = 400 cm.
- Maket ile gerçek arasındaki benzerlik oranı (ölçek) = \( \frac{\text{Gerçek Ölçü}}{\text{Maket Ölçüsü}} \).
- Ölçek = \( \frac{400 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 40 \).
- Bu oran, gerçek ölçülerin maket ölçülerinin 40 katı olduğunu gösterir.
- Maket kapı yüksekliği = 20 cm.
- Gerçek kapı yüksekliğini bulmak için bu oranı kullanacağız: Gerçek Kapı Yüksekliği = Maket Kapı Yüksekliği \( \times \) Ölçek.
- Gerçek Kapı Yüksekliği = \( 20 \text{ cm} \times 40 = 800 \) cm.
- Soruda gerçek kapı yüksekliği metre cinsinden istendiği için, sonucu metreye çevirelim: \( 800 \text{ cm} = 8 \) metre.
Örnek 5:
Bir fotoğrafçı, bir portre çekerken, modelin yüzünün fotoğrafın ortasında ve belirli bir oranda görünmesini ister. Eğer modelin gözleri arasındaki mesafe fotoğraf üzerinde 5 cm olarak ölçülüyor ve gerçekte bu mesafe 20 cm ise, modelin burnunun fotoğraf üzerindeki uzunluğu 3 cm olduğuna göre, gerçek burnunun uzunluğu kaç cm'dir? 📸
Çözüm:
Bu senaryo, üçgen benzerliği prensibinin kameralarda ve optik sistemlerde nasıl kullanıldığına bir örnektir. Fotoğraf üzerindeki ölçümler, gerçek ölçümlerin belirli bir ölçekle küçültülmüş halidir.
- Verilenler: Fotoğraf üzerindeki göz mesafesi = 5 cm. Gerçek göz mesafesi = 20 cm. Fotoğraf üzerindeki burun uzunluğu = 3 cm.
- İstenen: Gerçek burun uzunluğu.
- Fotoğraf ile gerçek arasındaki benzerlik oranını bulalım:
- Oran = \( \frac{\text{Gerçek Ölçü}}{\text{Fotoğraf Ölçüsü}} \).
- Oran = \( \frac{20 \text{ cm}}{5 \text{ cm}} = 4 \).
- Bu oran, gerçek ölçülerin fotoğraf üzerindeki ölçülerin 4 katı olduğunu gösterir.
- Gerçek burun uzunluğunu hesaplamak için bu oranı kullanalım: Gerçek Burun Uzunluğu = Fotoğraf Üzerindeki Burun Uzunluğu \( \times \) Oran.
- Gerçek Burun Uzunluğu = \( 3 \text{ cm} \times 4 = 12 \) cm.
Örnek 6:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. AB kenarı 12 birim ve AC kenarı 16 birimdir. A köşesinden BC kenarına indirilen dikme, BC kenarını D noktasında kesiyor. BD uzunluğu kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Bu soruda hem Pisagor teoremini hem de Öklid'in dik kenar teoremini kullanacağız.
- Öncelikle ABC üçgeninin hipotenüsü BC'yi Pisagor teoremi ile bulalım: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \).
- \( BC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \).
- \( BC = \sqrt{400} = 20 \) birim.
- Şimdi Öklid'in dik kenar teoremini kullanalım. Bu teorem der ki: Bir dik üçgende, dik kenarın karesi, hipotenüsün bu kenarın izdüşümüne eşittir.
- Yani, \( AB^2 = BD \times BC \) ve \( AC^2 = CD \times BC \).
- Biz BD uzunluğunu bulmak istediğimiz için ilk formülü kullanacağız: \( AB^2 = BD \times BC \).
- Değerleri yerine koyalım: \( 12^2 = BD \times 20 \).
- \( 144 = BD \times 20 \).
- BD'yi bulmak için her iki tarafı 20'ye bölelim: \( BD = \frac{144}{20} \).
- Sadeleştirme yaparsak: \( BD = \frac{36}{5} = 7.2 \) birim.
Örnek 7:
İki benzer üçgenin alanları oranı 16/25'tir. Küçük üçgenin çevresi 24 cm olduğuna göre, büyük üçgenin çevresi kaç cm'dir? 🌳
Çözüm:
Benzer şekillerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Çevreler oranı ise benzerlik oranına eşittir. Bu prensibi kullanarak soruyu çözeceğiz.
- Verilenler: Alanlar oranı \( \frac{A_{küçük}}{A_{büyük}} = \frac{16}{25} \). Küçük üçgenin çevresi \( Ç_{küçük} = 24 \) cm.
- İstenen: Büyük üçgenin çevresi \( Ç_{büyük} \).
- Alanlar oranının karekökünü alarak benzerlik oranını bulalım:
- Benzerlik oranı \( k = \sqrt{\frac{A_{küçük}}{A_{büyük}}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \).
- Bu oran, küçük üçgenin kenarlarının büyük üçgenin karşılık kenarlarına oranıdır. Yani \( k = \frac{Ç_{küçük}}{Ç_{büyük}} \).
- Şimdi bu oranı kullanarak büyük üçgenin çevresini bulalım: \( \frac{4}{5} = \frac{24}{Ç_{büyük}} \).
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \times Ç_{büyük} = 5 \times 24 \).
- \( 4 \times Ç_{büyük} = 120 \).
- Her iki tarafı 4'e bölelim: \( Ç_{büyük} = \frac{120}{4} = 30 \) cm.
Örnek 8:
Bir haritacı, iki şehir arasındaki mesafeyi ölçmek için bir ölçek kullanıyor. Haritada A ve B şehirleri arasındaki mesafe 8 cm olarak ölçülüyor. Haritanın ölçeği 1:500.000'dir. Bu, haritadaki 1 cm'nin gerçekte 500.000 cm'ye karşılık geldiği anlamına gelir. İki şehir arasındaki gerçek mesafe kaç kilometredir? 🗺️
Çözüm:
Bu problemde, harita ölçeğini kullanarak gerçek mesafeyi hesaplayacağız. Ölçek, haritadaki birim uzunluğun gerçekteki karşılığını gösterir.
- Verilenler: Haritadaki mesafe = 8 cm. Ölçek = 1:500.000.
- İstenen: Gerçek mesafe (km cinsinden).
- Ölçeğe göre, haritadaki 1 cm gerçekte 500.000 cm'ye karşılık gelir.
- Haritadaki 8 cm'nin gerçek karşılığını bulmak için çarpma işlemi yaparız:
- Gerçek Mesafe (cm) = Haritadaki Mesafe \( \times \) Ölçek Değeri.
- Gerçek Mesafe (cm) = \( 8 \text{ cm} \times 500.000 = 4.000.000 \) cm.
- Şimdi bu mesafeyi kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
- 1 kilometre = 100.000 cm'dir.
- Gerçek Mesafe (km) = \( \frac{\text{Gerçek Mesafe (cm)}}{100.000} \).
- Gerçek Mesafe (km) = \( \frac{4.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} = 40 \) km.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-telos-ve-oklid-teoremleri-ile-ucgen-benzerligi/sorular