💡 9. Sınıf Matematik: Tek nicel değişkenli veri dağılımları ile çalışabilme ve tek nicel değişken içeren veriye dayalı karar verme Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir öğrencinin matematik dersinden aldığı ilk dört sınav notu sırasıyla 75, 80, 85 ve 90'dır. Bu öğrencinin notlarının aritmetik ortalamasını hesaplayınız. ✍️
Çözüm ve Açıklama
Verilen veri grubunun aritmetik ortalamasını bulmak için tüm verileri toplayıp veri sayısına bölmeliyiz.
Adım 1: Verilerin toplamını bulalım.
Toplam \( = 75 + 80 + 85 + 90 = 330 \)
Adım 2: Veri sayısını belirleyelim.
Veri sayısı \( = 4 \)
Adım 3: Ortalamayı hesaplayalım.
Aritmetik Ortalama \( = 330 \div 4 = 82.5 \)
✅ Bu öğrencinin sınav notlarının ortalaması \( 82.5 \) olarak bulunur.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir basketbol takımındaki oyuncuların boyları (cm cinsinden) şu şekildedir: 185, 190, 185, 200, 195, 185, 205 Bu veri grubunun mod (tepe değer) ve medyan (ortanca) değerlerini bulunuz. 🏀
Çözüm ve Açıklama
Verileri analiz etmek için öncelikle küçükten büyüğe sıralamalıyız.
Sıralama: 185, 185, 185, 190, 195, 200, 205
Mod (Tepe Değer): Veri grubunda en çok tekrar eden sayı moddur.
185 sayısı 3 kez tekrar ettiği için Mod \( = 185 \)
Medyan (Ortanca): Sıralanmış veri grubunun tam ortasındaki sayıdır.
Veri sayısı 7 (tek) olduğu için ortadaki sayı 4. terimdir.
Medyan \( = 190 \)
📌 Sonuç olarak Mod \( = 185 \) ve Medyan \( = 190 \) değerleridir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir gruptaki 7 kişinin yaşları şöyledir: 12, 15, 18, 20, 25, 30, 45. Bu veri grubunun açıklığını (range) ve çeyrekler açıklığını (IQR) hesaplayınız. 📊
Bir veri grubundaki 5 sayının aritmetik ortalaması \( 24 \)'tür. Bu gruba hangi sayı eklenirse yeni aritmetik ortalama \( 26 \) olur? 🧐
Çözüm ve Açıklama
Ortalama formülünü kullanarak adım adım ilerleyelim.
Adım 1: Mevcut 5 sayının toplamını bulalım.
Toplam \( = 5 \times 24 = 120 \)
Adım 2: Yeni durumda 6 sayı olacağı için, yeni toplamı hesaplayalım.
Yeni Toplam \( = 6 \times 26 = 156 \)
Adım 3: Eklenen sayıyı (x) bulmak için farkı alalım.
\( x = 156 - 120 = 36 \)
✅ Gruba \( 36 \) sayısı eklenmelidir.
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir fabrikada üretilen iki farklı makinenin (A ve B) günlük hata sayıları bir hafta boyunca kaydedilmiştir: A Makinesi: 3, 4, 3, 5, 3, 4, 6 B Makinesi: 1, 8, 2, 7, 1, 9, 0 Hangi makinenin üretimde daha istikrarlı (kararlı) olduğunu merkezi yayılım ölçülerini kullanarak yorumlayınız. ⚙️
Çözüm ve Açıklama
İstikrarı ölçmek için aritmetik ortalama ve açıklık (veya standart sapma, ancak 9. sınıf müfredatında açıklık ve çeyrekler açıklığı önceliklidir) değerlerine bakarız.
Yorum: Her iki makinenin de hata ortalaması \( 4 \)'tür. Ancak A makinesinin açıklığı (\( 3 \)), B makinesinin açıklığından (\( 9 \)) çok daha küçüktür. Verilerin birbirine yakın olması istikrarın göstergesidir.
👉 Bu durumda A makinesi daha istikrarlıdır.
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir şehrin bir haftalık gündüz sıcaklık değerleri (derece cinsinden) şöyledir: 22, 24, 22, 25, 28, 32, 34 Bu sıcaklık verilerine göre, bu şehrin sıcaklık dağılımı hakkında ne söylenebilir? (Merkezi eğilim ölçülerini kullanınız). 🌡️
Karar Verme: Şehrin sıcaklık ortalaması yaklaşık \( 26.7 \) derece olsa da, mod değeri olan \( 22 \) derece sıcaklığın daha sık yaşandığını gösterir. Medyanın (\( 25 \)) ortalamadan küçük olması, son günlerdeki yüksek sıcaklıkların (32 ve 34) ortalamayı yukarı çektiğini gösterir.
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir emlakçı, mahalledeki ev fiyatlarını şu şekilde listelemiştir (Bin TL): 1200, 1300, 1250, 1400, 1350, 8500 Bu veri grubunda aritmetik ortalama mı yoksa medyan mı mahalledeki genel ev fiyatlarını daha iyi temsil eder? Nedenini açıklayınız. 🏠
Medyan: Ortadaki iki değerin ortalaması \( (1300 + 1350) \div 2 = 1325 \) Bin TL.
Analiz: Veri grubunda \( 8500 \) değeri diğerlerinden çok uzaktır (aykırı değer). Bu uç değer aritmetik ortalamayı aşırı yükselterek \( 2500 \) yapmıştır, oysa evlerin çoğu \( 1200-1400 \) arasındadır.
✅ Sonuç: Aykırı değerlerin olduğu durumlarda medyan, veri grubunu temsil etmek için daha güvenilir bir ölçüdür. Bu yüzden cevap medyandır.
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunlukları ile ilgili şu bilgiler verilmiştir: - Veri sayısı: 10 - En kısa öğrenci: 150 cm - En uzun öğrenci: 185 cm - İlk 9 öğrencinin boy ortalaması: 162 cm Buna göre, tüm sınıfın boy ortalaması kaçtır? 📏
Çözüm ve Açıklama
Adım adım hesaplama yapalım:
Adım 1: İlk 9 öğrencinin boyları toplamını bulalım.
Toplam (9 kişi) \( = 9 \times 162 = 1458 \) cm.
Adım 2: 10. öğrencinin boyunu belirlemeliyiz.
Soruda en uzun öğrencinin \( 185 \) cm olduğu belirtilmiştir. Eğer bu 10. öğrenci en uzun olan ise boyu \( 185 \)'tir.
Adım 3: 10 kişinin toplam boyunu bulalım.
Toplam (10 kişi) \( = 1458 + 185 = 1643 \) cm.
Adım 4: Yeni ortalamayı hesaplayalım.
Yeni Ortalama \( = 1643 \div 10 = 164.3 \) cm.
✨ Tüm sınıfın boy ortalaması \( 164.3 \) cm olarak bulunur.
9. Sınıf Matematik: Tek nicel değişkenli veri dağılımları ile çalışabilme ve tek nicel değişken içeren veriye dayalı karar verme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir öğrencinin matematik dersinden aldığı ilk dört sınav notu sırasıyla 75, 80, 85 ve 90'dır. Bu öğrencinin notlarının aritmetik ortalamasını hesaplayınız. ✍️
Çözüm:
Verilen veri grubunun aritmetik ortalamasını bulmak için tüm verileri toplayıp veri sayısına bölmeliyiz.
Adım 1: Verilerin toplamını bulalım.
Toplam \( = 75 + 80 + 85 + 90 = 330 \)
Adım 2: Veri sayısını belirleyelim.
Veri sayısı \( = 4 \)
Adım 3: Ortalamayı hesaplayalım.
Aritmetik Ortalama \( = 330 \div 4 = 82.5 \)
✅ Bu öğrencinin sınav notlarının ortalaması \( 82.5 \) olarak bulunur.
Örnek 2:
Bir basketbol takımındaki oyuncuların boyları (cm cinsinden) şu şekildedir: 185, 190, 185, 200, 195, 185, 205 Bu veri grubunun mod (tepe değer) ve medyan (ortanca) değerlerini bulunuz. 🏀
Çözüm:
Verileri analiz etmek için öncelikle küçükten büyüğe sıralamalıyız.
Sıralama: 185, 185, 185, 190, 195, 200, 205
Mod (Tepe Değer): Veri grubunda en çok tekrar eden sayı moddur.
185 sayısı 3 kez tekrar ettiği için Mod \( = 185 \)
Medyan (Ortanca): Sıralanmış veri grubunun tam ortasındaki sayıdır.
Veri sayısı 7 (tek) olduğu için ortadaki sayı 4. terimdir.
Medyan \( = 190 \)
📌 Sonuç olarak Mod \( = 185 \) ve Medyan \( = 190 \) değerleridir.
Örnek 3:
Bir gruptaki 7 kişinin yaşları şöyledir: 12, 15, 18, 20, 25, 30, 45. Bu veri grubunun açıklığını (range) ve çeyrekler açıklığını (IQR) hesaplayınız. 📊
Bir veri grubundaki 5 sayının aritmetik ortalaması \( 24 \)'tür. Bu gruba hangi sayı eklenirse yeni aritmetik ortalama \( 26 \) olur? 🧐
Çözüm:
Ortalama formülünü kullanarak adım adım ilerleyelim.
Adım 1: Mevcut 5 sayının toplamını bulalım.
Toplam \( = 5 \times 24 = 120 \)
Adım 2: Yeni durumda 6 sayı olacağı için, yeni toplamı hesaplayalım.
Yeni Toplam \( = 6 \times 26 = 156 \)
Adım 3: Eklenen sayıyı (x) bulmak için farkı alalım.
\( x = 156 - 120 = 36 \)
✅ Gruba \( 36 \) sayısı eklenmelidir.
Örnek 5:
Bir fabrikada üretilen iki farklı makinenin (A ve B) günlük hata sayıları bir hafta boyunca kaydedilmiştir: A Makinesi: 3, 4, 3, 5, 3, 4, 6 B Makinesi: 1, 8, 2, 7, 1, 9, 0 Hangi makinenin üretimde daha istikrarlı (kararlı) olduğunu merkezi yayılım ölçülerini kullanarak yorumlayınız. ⚙️
Çözüm:
İstikrarı ölçmek için aritmetik ortalama ve açıklık (veya standart sapma, ancak 9. sınıf müfredatında açıklık ve çeyrekler açıklığı önceliklidir) değerlerine bakarız.
Yorum: Her iki makinenin de hata ortalaması \( 4 \)'tür. Ancak A makinesinin açıklığı (\( 3 \)), B makinesinin açıklığından (\( 9 \)) çok daha küçüktür. Verilerin birbirine yakın olması istikrarın göstergesidir.
👉 Bu durumda A makinesi daha istikrarlıdır.
Örnek 6:
Bir şehrin bir haftalık gündüz sıcaklık değerleri (derece cinsinden) şöyledir: 22, 24, 22, 25, 28, 32, 34 Bu sıcaklık verilerine göre, bu şehrin sıcaklık dağılımı hakkında ne söylenebilir? (Merkezi eğilim ölçülerini kullanınız). 🌡️
Karar Verme: Şehrin sıcaklık ortalaması yaklaşık \( 26.7 \) derece olsa da, mod değeri olan \( 22 \) derece sıcaklığın daha sık yaşandığını gösterir. Medyanın (\( 25 \)) ortalamadan küçük olması, son günlerdeki yüksek sıcaklıkların (32 ve 34) ortalamayı yukarı çektiğini gösterir.
Örnek 7:
Bir emlakçı, mahalledeki ev fiyatlarını şu şekilde listelemiştir (Bin TL): 1200, 1300, 1250, 1400, 1350, 8500 Bu veri grubunda aritmetik ortalama mı yoksa medyan mı mahalledeki genel ev fiyatlarını daha iyi temsil eder? Nedenini açıklayınız. 🏠
Medyan: Ortadaki iki değerin ortalaması \( (1300 + 1350) \div 2 = 1325 \) Bin TL.
Analiz: Veri grubunda \( 8500 \) değeri diğerlerinden çok uzaktır (aykırı değer). Bu uç değer aritmetik ortalamayı aşırı yükselterek \( 2500 \) yapmıştır, oysa evlerin çoğu \( 1200-1400 \) arasındadır.
✅ Sonuç: Aykırı değerlerin olduğu durumlarda medyan, veri grubunu temsil etmek için daha güvenilir bir ölçüdür. Bu yüzden cevap medyandır.
Örnek 8:
Bir sınıftaki öğrencilerin boy uzunlukları ile ilgili şu bilgiler verilmiştir: - Veri sayısı: 10 - En kısa öğrenci: 150 cm - En uzun öğrenci: 185 cm - İlk 9 öğrencinin boy ortalaması: 162 cm Buna göre, tüm sınıfın boy ortalaması kaçtır? 📏
Çözüm:
Adım adım hesaplama yapalım:
Adım 1: İlk 9 öğrencinin boyları toplamını bulalım.
Toplam (9 kişi) \( = 9 \times 162 = 1458 \) cm.
Adım 2: 10. öğrencinin boyunu belirlemeliyiz.
Soruda en uzun öğrencinin \( 185 \) cm olduğu belirtilmiştir. Eğer bu 10. öğrenci en uzun olan ise boyu \( 185 \)'tir.
Adım 3: 10 kişinin toplam boyunu bulalım.
Toplam (10 kişi) \( = 1458 + 185 = 1643 \) cm.
Adım 4: Yeni ortalamayı hesaplayalım.
Yeni Ortalama \( = 1643 \div 10 = 164.3 \) cm.
✨ Tüm sınıfın boy ortalaması \( 164.3 \) cm olarak bulunur.