💡 9. Sınıf Matematik: Tek nicel değişkenli veri dağılımları ile çalışabilme ve tek nicel değişken içeren veriye dayalı karar verme Çözümlü Örnekler

Verilen veri grubunun aritmetik ortalamasını bulmak için tüm verileri toplayıp veri sayısına bölmeliyiz.

• Adım 1: Verilerin toplamını bulalım.
• Toplam \( = 75 + 80 + 85 + 90 = 330 \)
• Adım 2: Veri sayısını belirleyelim.
• Veri sayısı \( = 4 \)
• Adım 3: Ortalamayı hesaplayalım.
• Aritmetik Ortalama \( = 330 \div 4 = 82.5 \)

✅ Bu öğrencinin sınav notlarının ortalaması \( 82.5 \) olarak bulunur.

Verileri analiz etmek için öncelikle küçükten büyüğe sıralamalıyız.

• Sıralama: 185, 185, 185, 190, 195, 200, 205
• Mod (Tepe Değer): Veri grubunda en çok tekrar eden sayı moddur.
• 185 sayısı 3 kez tekrar ettiği için Mod \( = 185 \)
• Medyan (Ortanca): Sıralanmış veri grubunun tam ortasındaki sayıdır.
• Veri sayısı 7 (tek) olduğu için ortadaki sayı 4. terimdir.
• Medyan \( = 190 \)

📌 Sonuç olarak Mod \( = 185 \) ve Medyan \( = 190 \) değerleridir.

Veriler zaten küçükten büyüğe sıralanmıştır: 12, 15, 18, 20, 25, 30, 45.

• Açıklık: En büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.
• Açıklık \( = 45 - 12 = 33 \)
• Çeyrekler Açıklığı: Üçüncü çeyrek (Q3) ile birinci çeyrek (Q1) arasındaki farktır.
• Medyan (Q2) \( = 20 \)'dir.
• Alt grup (Medyanın solundaki veriler): 12, 15, 18. Buradan Q1 \( = 15 \)
• Üst grup (Medyanın sağındaki veriler): 25, 30, 45. Buradan Q3 \( = 30 \)
• Çeyrekler Açıklığı \( = Q3 - Q1 = 30 - 15 = 15 \)

💡 Açıklık \( 33 \), Çeyrekler Açıklığı \( 15 \) olarak hesaplanmıştır.

Ortalama formülünü kullanarak adım adım ilerleyelim.

• Adım 1: Mevcut 5 sayının toplamını bulalım.
• Toplam \( = 5 \times 24 = 120 \)
• Adım 2: Yeni durumda 6 sayı olacağı için, yeni toplamı hesaplayalım.
• Yeni Toplam \( = 6 \times 26 = 156 \)
• Adım 3: Eklenen sayıyı (x) bulmak için farkı alalım.
• \( x = 156 - 120 = 36 \)

✅ Gruba \( 36 \) sayısı eklenmelidir.

İstikrarı ölçmek için aritmetik ortalama ve açıklık (veya standart sapma, ancak 9. sınıf müfredatında açıklık ve çeyrekler açıklığı önceliklidir) değerlerine bakarız.

• A Makinesi Analizi:
• Ortalama \( = (3+4+3+5+3+4+6) \div 7 = 28 \div 7 = 4 \)
• Açıklık \( = 6 - 3 = 3 \)
• B Makinesi Analizi:
• Ortalama \( = (1+8+2+7+1+9+0) \div 7 = 28 \div 7 = 4 \)
• Açıklık \( = 9 - 0 = 9 \)

Yorum: Her iki makinenin de hata ortalaması \( 4 \)'tür. Ancak A makinesinin açıklığı (\( 3 \)), B makinesinin açıklığından (\( 9 \)) çok daha küçüktür. Verilerin birbirine yakın olması istikrarın göstergesidir.

👉 Bu durumda A makinesi daha istikrarlıdır.

Sıcaklık verilerini analiz edelim:

• Sıralı Veri: 22, 22, 24, 25, 28, 32, 34
• Ortalama: \( (22+22+24+25+28+32+34) \div 7 = 187 \div 7 \approx 26.7 \) derece.
• Medyan: Ortadaki değer \( 25 \) derecedir.
• Mod: En çok tekrar eden değer \( 22 \) derecedir.

Karar Verme: Şehrin sıcaklık ortalaması yaklaşık \( 26.7 \) derece olsa da, mod değeri olan \( 22 \) derece sıcaklığın daha sık yaşandığını gösterir. Medyanın (\( 25 \)) ortalamadan küçük olması, son günlerdeki yüksek sıcaklıkların (32 ve 34) ortalamayı yukarı çektiğini gösterir.

Veri grubundaki değerleri inceleyelim.

• Sıralı Veri: 1200, 1250, 1300, 1350, 1400, 8500
• Ortalama: \( (1200+1250+1300+1350+1400+8500) \div 6 = 15000 \div 6 = 2500 \) Bin TL.
• Medyan: Ortadaki iki değerin ortalaması \( (1300 + 1350) \div 2 = 1325 \) Bin TL.

Analiz: Veri grubunda \( 8500 \) değeri diğerlerinden çok uzaktır (aykırı değer). Bu uç değer aritmetik ortalamayı aşırı yükselterek \( 2500 \) yapmıştır, oysa evlerin çoğu \( 1200-1400 \) arasındadır.

✅ Sonuç: Aykırı değerlerin olduğu durumlarda medyan, veri grubunu temsil etmek için daha güvenilir bir ölçüdür. Bu yüzden cevap medyandır.

Adım adım hesaplama yapalım:

• Adım 1: İlk 9 öğrencinin boyları toplamını bulalım.
• Toplam (9 kişi) \( = 9 \times 162 = 1458 \) cm.
• Adım 2: 10. öğrencinin boyunu belirlemeliyiz.
• Soruda en uzun öğrencinin \( 185 \) cm olduğu belirtilmiştir. Eğer bu 10. öğrenci en uzun olan ise boyu \( 185 \)'tir.
• Adım 3: 10 kişinin toplam boyunu bulalım.
• Toplam (10 kişi) \( = 1458 + 185 = 1643 \) cm.
• Adım 4: Yeni ortalamayı hesaplayalım.
• Yeni Ortalama \( = 1643 \div 10 = 164.3 \) cm.

✨ Tüm sınıfın boy ortalaması \( 164.3 \) cm olarak bulunur.