📝 9. Sınıf Matematik: Tam Sayılarda İşlemler Ders Notu
Tam sayılar kümesi, günlük hayatta sıcaklık ölçümleri, borç-alacak durumları, deniz seviyesinin altı ve üstü gibi birçok alanda karşımıza çıkar. Bu derste, tam sayılarla dört işlem yapmayı ve işlem önceliği kurallarını öğreneceğiz.
Tam Sayılar Kümesi ve Sayı Doğrusu
Tam sayılar kümesi \( Z \) ile gösterilir ve pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırdan oluşur.
- Pozitif Tam Sayılar: \( Z^+ = \{1, 2, 3, ...\} \)
- Negatif Tam Sayılar: \( Z^- = \{..., -3, -2, -1\} \)
- Tam Sayılar: \( Z = Z^- \cup \{0\} \cup Z^+ = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} \)
Sayı doğrusunda sıfır başlangıç noktasıdır. Sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar negatiftir. Sayılar sağa doğru büyür, sola doğru küçülür.
Tam Sayılarla Toplama İşlemi ➕
Tam sayılarla toplama işlemi yapılırken işaretlere dikkat edilir.
1. Aynı İşaretli Tam Sayıları Toplama
İşaretleri aynı olan iki tam sayı toplanırken, sayılar toplanır ve ortak işaret sonuca yazılır.
- Örnek: \( (+5) + (+3) = +8 \)
- Örnek: \( (-7) + (-2) = -9 \)
2. Farklı İşaretli Tam Sayıları Toplama
İşaretleri farklı olan iki tam sayı toplanırken, büyük olan sayının mutlak değerinden küçük olan sayının mutlak değeri çıkarılır ve mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca yazılır.
- Örnek: \( (+9) + (-4) = +5 \) (Çünkü \( |+9| > |-4| \) ve \( 9-4=5 \))
- Örnek: \( (-12) + (+6) = -6 \) (Çünkü \( |-12| > |+6| \) ve \( 12-6=6 \))
Toplama İşleminin Özellikleri ✨
- Değişme Özelliği: Tam sayılarda toplama işleminin sırası değişse de sonuç değişmez. \[ a + b = b + a \] Örnek: \( 4 + (-7) = -3 \) ve \( (-7) + 4 = -3 \)
- Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla tam sayı toplanırken, sayıların gruplandırılması sonucu değiştirmez. \[ (a + b) + c = a + (b + c) \] Örnek: \( (2 + (-3)) + 5 = (-1) + 5 = 4 \) ve \( 2 + ((-3) + 5) = 2 + 2 = 4 \)
- Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği: Bir tam sayının sıfır ile toplamı, o tam sayının kendisine eşittir. Toplama işleminde etkisiz eleman 0'dır. \[ a + 0 = a \] Örnek: \( (-15) + 0 = -15 \)
- Ters Eleman Özelliği: Bir tam sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaret değiştirmiş halidir. Bir sayı ile tersinin toplamı sıfırdır. \[ a + (-a) = 0 \] Örnek: \( 7 \) sayısının toplama işlemine göre tersi \( -7 \)'dir. \( 7 + (-7) = 0 \)
Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi ➖
Tam sayılarla çıkarma işlemi, çıkan sayının işaretini değiştirip toplayarak yapılır.
\[ a - b = a + (-b) \]- Örnek: \( (+8) - (+3) = (+8) + (-3) = +5 \)
- Örnek: \( (-10) - (+4) = (-10) + (-4) = -14 \)
- Örnek: \( (+6) - (-2) = (+6) + (+2) = +8 \)
- Örnek: \( (-5) - (-9) = (-5) + (+9) = +4 \)
Tam Sayılarla Çarpma İşlemi ✖️
Tam sayılarla çarpma işlemi yapılırken öncelikle sayıların işaretleri çarpılır, sonra mutlak değerleri çarpılır.
Çarpma İşleminde İşaret Kuralları
İki tam sayının çarpımında işaretler aşağıdaki gibidir:
| İşlem | Sonuç İşareti | Örnek |
|---|---|---|
| \( (+) \times (+) \) | \( (+) \) | \( (+5) \times (+3) = +15 \) |
| \( (-) \times (-) \) | \( (+) \) | \( (-4) \times (-2) = +8 \) |
| \( (+) \times (-) \) | \( (-) \) | \( (+6) \times (-3) = -18 \) |
| \( (-) \times (+) \) | \( (-) \) | \( (-7) \times (+2) = -14 \) |
Çarpma İşleminin Özellikleri ✨
- Değişme Özelliği: Tam sayılarda çarpma işleminin sırası değişse de sonuç değişmez. \[ a \times b = b \times a \] Örnek: \( (-3) \times 5 = -15 \) ve \( 5 \times (-3) = -15 \)
- Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla tam sayı çarpılırken, sayıların gruplandırılması sonucu değiştirmez. \[ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \] Örnek: \( (2 \times (-3)) \times 4 = (-6) \times 4 = -24 \) ve \( 2 \times ((-3) \times 4) = 2 \times (-12) = -24 \)
- Yutan Eleman Özelliği: Bir tam sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır. Çarpma işleminde yutan eleman 0'dır. \[ a \times 0 = 0 \] Örnek: \( (-20) \times 0 = 0 \)
- Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği: Bir tam sayının bir ile çarpımı, o tam sayının kendisine eşittir. Çarpma işleminde etkisiz eleman 1'dir. \[ a \times 1 = a \] Örnek: \( (-13) \times 1 = -13 \)
- Çarpma İşleminin Toplama ve Çıkarma Üzerine Dağılma Özelliği: \[ a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \] \[ a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c) \] Örnek: \( 3 \times (5 + (-2)) = 3 \times 3 = 9 \) ve \( (3 \times 5) + (3 \times (-2)) = 15 + (-6) = 9 \)
Tam Sayılarla Bölme İşlemi ➗
Tam sayılarla bölme işlemi yapılırken öncelikle sayıların işaretleri bölünür, sonra mutlak değerleri bölünür.
Bölme İşleminde İşaret Kuralları
İki tam sayının bölümünde işaretler çarpma işlemindeki kurallara benzerdir:
| İşlem | Sonuç İşareti | Örnek |
|---|---|---|
| \( (+) \div (+) \) | \( (+) \) | \( (+12) \div (+3) = +4 \) |
| \( (-) \div (-) \) | \( (+) \) | \( (-18) \div (-2) = +9 \) |
| \( (+) \div (-) \) | \( (-) \) | \( (+20) \div (-4) = -5 \) |
| \( (-) \div (+) \) | \( (-) \) | \( (-24) \div (+6) = -4 \) |
❗ Önemli Not: Bir tam sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Sıfırın sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü ise sıfırdır.
- Örnek: \( 5 \div 0 \) → Tanımsız
- Örnek: \( 0 \div (-7) = 0 \)
Tam Sayılarda İşlem Önceliği 🔢
Birden fazla işlemin olduğu durumlarda işlemler belirli bir sıraya göre yapılır. Bu sıraya işlem önceliği denir:
- Parantez İçindeki İşlemler: Öncelikle parantez içindeki işlemler yapılır. İç içe parantezler varsa, en içteki parantezden başlanır.
- Üslü İfadeler: Üslü ifadelerin değeri hesaplanır. (Örnek: \( (-2)^3 = -8 \) veya \( (-3)^2 = 9 \))
- Çarpma veya Bölme İşlemleri: Soldan sağa doğru sırasıyla yapılır.
- Toplama veya Çıkarma İşlemleri: Soldan sağa doğru sırasıyla yapılır.
Kısaltma: Genellikle "PÜÇTÇ" (Parantez, Üs, Çarpma/Bölme, Toplama/Çıkarma) olarak akılda tutulur.
Örnek:
\[ 10 - 2 \times (6 + (-3)) + 12 \div (-4) \]- Önce parantez içi: \( 6 + (-3) = 3 \) \[ 10 - 2 \times 3 + 12 \div (-4) \]
- Sonra çarpma ve bölme (soldan sağa): \[ 2 \times 3 = 6 \] \[ 12 \div (-4) = -3 \] Denklem yeni haliyle: \[ 10 - 6 + (-3) \]
- Son olarak toplama ve çıkarma (soldan sağa): \[ 10 - 6 = 4 \] \[ 4 + (-3) = 1 \]
Sonuç: \( 1 \)