Tam Sayılar Ders Notu

Tam sayılar, günlük hayatta karşılaştığımız birçok durumu ifade etmek için kullandığımız temel sayı kümelerinden biridir. Sıcaklık değerlerinden deniz seviyesine, borç alacak ilişkilerinden katlara kadar pek çok alanda tam sayılara ihtiyaç duyarız.

Tam Sayılar Kümesi ve Sayı Doğrusu 🔢

Doğal sayılar kümesini ve bu sayıların negatiflerini içeren sayı kümesine Tam Sayılar Kümesi denir. Tam sayılar kümesi \(\mathbb{Z}\) sembolü ile gösterilir.

• Pozitif Tam Sayılar: \( \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, ...\} \)
• Negatif Tam Sayılar: \( \mathbb{Z}^- = \{..., -3, -2, -1\} \)
• Sıfır: Ne pozitif ne de negatiftir.

Buna göre Tam Sayılar Kümesi şu şekilde yazılabilir:

\[ \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} \]

Tam sayılar, bir sayı doğrusu üzerinde gösterilebilir. Sayı doğrusunun ortasında sıfır (başlangıç noktası) bulunur. Sıfırın sağındaki sayılar pozitif tam sayılar, solundaki sayılar ise negatif tam sayılardır.

Önemli Not: Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayıların değeri artar, sola doğru gidildikçe sayıların değeri azalır.

Karşıt Sayı ve Mutlak Değer ✨

Bir tam sayının karşıt sayısı, sayı doğrusunda o sayı ile sıfıra olan uzaklığı aynı olan ancak zıt yönde bulunan sayıdır. Örneğin, \(+5\)'in karşıt sayısı \(-5\)'tir; \(-7\)'nin karşıt sayısı \(+7\)'dir.

Bir tam sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığıdır. Mutlak değer, daima pozitif veya sıfırdır. Mutlak değer \(| \ | \) sembolü ile gösterilir.

• \( |5| = 5 \)
• \( |-5| = 5 \)
• \( |0| = 0 \)

Genel olarak, bir \(a\) tam sayısı için:

\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{eğer } a \ge 0 \\ -a, & \text{eğer } a < 0 \end{cases} \]

Tam Sayılarla İşlemler ➕➖✖️➗

1. Tam Sayılarda Toplama İşlemi

• Aynı İşaretli Tam Sayılar: Sayılar toplanır ve ortak işaret sonuca verilir.
  • Örnek: \( (+3) + (+5) = +8 \)
  • Örnek: \( (-4) + (-6) = -10 \)
• Farklı İşaretli Tam Sayılar: Büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca verilir.
  • Örnek: \( (+7) + (-3) = +4 \) (Çünkü \(7-3=4\) ve \(|7|\) daha büyük.)
  • Örnek: \( (-9) + (+2) = -7 \) (Çünkü \(9-2=7\) ve \(|-9|\) daha büyük.)

2. Tam Sayılarda Çıkarma İşlemi

Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken, çıkan sayının işareti değiştirilerek toplama işlemine dönüştürülür.

• Örnek: \( (+8) - (+3) = (+8) + (-3) = +5 \)
• Örnek: \( (-5) - (+2) = (-5) + (-2) = -7 \)
• Örnek: \( (+10) - (-4) = (+10) + (+4) = +14 \)
• Örnek: \( (-6) - (-9) = (-6) + (+9) = +3 \)

3. Tam Sayılarda Çarpma İşlemi

Tam sayılarda çarpma işleminde işaret kuralları aşağıdaki gibidir:

• Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitiftir.
  • \( (+) \times (+) = (+) \)
  • \( (-) \times (-) = (+) \)
  • Örnek: \( (+4) \times (+3) = +12 \)
  • Örnek: \( (-5) \times (-2) = +10 \)
• Farklı işaretli iki tam sayının çarpımı negatiftir.
  • \( (+) \times (-) = (-) \)
  • \( (-) \times (+) = (-) \)
  • Örnek: \( (+6) \times (-3) = -18 \)
  • Örnek: \( (-7) \times (+2) = -14 \)
• Bir tam sayının sıfır ile çarpımı sıfırdır.
  • Örnek: \( (-8) \times 0 = 0 \)

4. Tam Sayılarda Bölme İşlemi

Tam sayılarda bölme işleminde de çarpma işlemindeki gibi işaret kuralları geçerlidir:

• Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitiftir.
  • \( (+) \div (+) = (+) \)
  • \( (-) \div (-) = (+) \)
  • Örnek: \( (+15) \div (+3) = +5 \)
  • Örnek: \( (-20) \div (-4) = +5 \)
• Farklı işaretli iki tam sayının bölümü negatiftir.
  • \( (+) \div (-) = (-) \)
  • \( (-) \div (+) = (-) \)
  • Örnek: \( (+24) \div (-6) = -4 \)
  • Örnek: \( (-18) \div (+3) = -6 \)
• Sıfırın, sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü sıfırdır.
  • Örnek: \( 0 \div (-5) = 0 \)
• Bir tam sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
  • Örnek: \( (+10) \div 0 \) işlemi tanımsızdır.

5. Tam Sayılarda Üslü İfadeler ⬆️

Bir tam sayının kendisiyle tekrarlı çarpımına üslü ifade denir. \(a^n\) şeklinde gösterilir. Burada \(a\) taban, \(n\) ise üs (kuvvet) olarak adlandırılır. 9. sınıf müfredatında üs (kuvvet) genellikle pozitif tam sayıdır.

• Pozitif tam sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
  • Örnek: \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
  • Örnek: \( (+3)^2 = (+3) \times (+3) = +9 \)
• Negatif tam sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
  • Örnek: \( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \) (Tek kuvvet)
  • Örnek: \( (-5)^2 = (-5) \times (-5) = +25 \) (Çift kuvvet)
• Sıfırın pozitif tam sayı kuvvetleri sıfırdır.
  • Örnek: \( 0^5 = 0 \)
• Sıfırdan farklı bir tam sayının 1. kuvveti kendisine eşittir.
  • Örnek: \( (-7)^1 = -7 \)
• Sıfırdan farklı bir tam sayının 0. kuvveti 1'e eşittir.
  • Örnek: \( 5^0 = 1 \)
  • Örnek: \( (-10)^0 = 1 \)

Dikkat: \( (-2)^4 \) ile \( -2^4 \) farklıdır.

• \( (-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = +16 \) (Parantez içi negatif sayının kuvveti)
• \( -2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16 \) (Sadece sayının kuvveti alınıp sonra eksi ile çarpılır)

6. Tam Sayılarda İşlem Önceliği 🎯

Birden fazla işlem içeren durumlarda işlemler belirli bir sıraya göre yapılır:

1. Üslü İfadeler
2. Parantez İçindeki İşlemler
3. Çarpma veya Bölme İşlemleri (Soldan sağa doğru)
4. Toplama veya Çıkarma İşlemleri (Soldan sağa doğru)

• Örnek: \( 10 + 2 \times (6 - 3)^2 \) işlemini yapalım.
  1. Parantez içi: \( 6 - 3 = 3 \)
  2. Üslü ifade: \( 3^2 = 9 \)
  3. Çarpma: \( 2 \times 9 = 18 \)
  4. Toplama: \( 10 + 18 = 28 \)
  Sonuç: \( 28 \)

Tam Sayılarda İşlemlerin Özellikleri ✅

1. Toplama İşleminin Özellikleri

• Değişme Özelliği: İki tam sayının toplamı, sayıların sırası değişse de aynıdır.
  • \( a + b = b + a \)
  • Örnek: \( 3 + (-5) = -2 \) ve \( (-5) + 3 = -2 \)
• Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla tam sayının toplamında, toplama işlemi farklı şekillerde gruplandırılsa da sonuç değişmez.
  • \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
  • Örnek: \( (2 + (-3)) + 5 = (-1) + 5 = 4 \) ve \( 2 + ((-3) + 5) = 2 + 2 = 4 \)
• Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği: Toplama işleminde etkisiz eleman sıfırdır (\(0\)). Bir tam sayı ile sıfırın toplamı, sayının kendisini verir.
  • \( a + 0 = a \)
  • Örnek: \( (-7) + 0 = -7 \)
• Ters Eleman Özelliği: Bir tam sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının karşıt işaretlisidir. Bir sayı ile tersinin toplamı sıfırdır.
  • \( a + (-a) = 0 \)
  • Örnek: \( 6 \)'nın toplama işlemine göre tersi \( -6 \)'dır. \( 6 + (-6) = 0 \)

2. Çarpma İşleminin Özellikleri

• Değişme Özelliği: İki tam sayının çarpımı, sayıların sırası değişse de aynıdır.
  • \( a \times b = b \times a \)
  • Örnek: \( (-4) \times 2 = -8 \) ve \( 2 \times (-4) = -8 \)
• Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla tam sayının çarpımında, çarpma işlemi farklı şekillerde gruplandırılsa da sonuç değişmez.
  • \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)
  • Örnek: \( ((-2) \times 3) \times 4 = (-6) \times 4 = -24 \) ve \( (-2) \times (3 \times 4) = (-2) \times 12 = -24 \)
• Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği: Çarpma işleminde etkisiz eleman birdir (\(1\)). Bir tam sayı ile birin çarpımı, sayının kendisini verir.
  • \( a \times 1 = a \)
  • Örnek: \( (-12) \times 1 = -12 \)
• Yutan Eleman Özelliği: Çarpma işleminde yutan eleman sıfırdır (\(0\)). Bir tam sayı ile sıfırın çarpımı sıfırdır.
  • \( a \times 0 = 0 \)
  • Örnek: \( 15 \times 0 = 0 \)

3. Çarpma İşleminin Toplama ve Çıkarma Üzerine Dağılma Özelliği ↔️

Çarpma işlemi, toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılabilir.

• Toplama Üzerine Dağılma: \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \)
  • Örnek: \( 3 \times (5 + (-2)) = 3 \times 3 = 9 \)
  • Dağılma ile: \( (3 \times 5) + (3 \times (-2)) = 15 + (-6) = 9 \)
• Çıkarma Üzerine Dağılma: \( a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c) \)
  • Örnek: \( 4 \times (7 - 2) = 4 \times 5 = 20 \)
  • Dağılma ile: \( (4 \times 7) - (4 \times 2) = 28 - 8 = 20 \)