🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales ve Pisagor teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales ve Pisagor teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel D1 ve D2 doğruları, üçüncü bir kesen doğru ile kesiliyor. Kesişim noktalarında oluşan iç ters açıların ölçüsü \( 40^\circ \) ise, bu açılardan biri ile yöndeş olan açının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
Bu soru, Tales teoreminin temel mantığını ve açıortay özelliklerini anlamak için iyi bir başlangıçtır.
- Paralel doğruların kesenle yaptığı açılar arasındaki ilişkiyi hatırlayalım.
- İç ters açılar birbirine eşittir. Bu nedenle, verilen iç ters açının ölçüsü \( 40^\circ \) ise, diğer iç ters açı da \( 40^\circ \) olur.
- Yöndeş açılar da birbirine eşittir.
- Soruda verilen \( 40^\circ \) olan iç ters açı ile yöndeş olan açının ölçüsü de \( 40^\circ \) olur.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı \( 5 \) cm, BC kenarı \( 12 \) cm ve AC kenarı \( 13 \) cm'dir. Bu üçgenin bir dik üçgen olup olmadığını Pisagor teoremini kullanarak kontrol ediniz. 🤔
Çözüm:
Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Kenar uzunlukları \( 5 \), \( 12 \) ve \( 13 \). En uzun kenar \( 13 \) olduğu için hipotenüs olma potansiyeli en yüksektir.
- \( 5^2 + 12^2 \) işlemini yapalım: \( 25 + 144 = 169 \).
- Hipotenüsün karesini hesaplayalım: \( 13^2 = 169 \).
- \( 5^2 + 12^2 = 13^2 \) eşitliği sağlandığı için, bu bir dik üçgendir.
Örnek 3:
Şekildeki gibi, birbirine paralel olan d1 ve d2 doğruları, bir kesen doğru tarafından kesilmektedir. Kesenin d1 doğrusunu kestiği noktada oluşan açılardan biri \( 75^\circ \) olarak verilmiştir. Bu \( 75^\circ \) 'lik açının oluşturduğu karşı durumlu (içte ve komşu olmayan) açı kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu soruda Tales teoreminin temel prensiplerini ve açı ilişkilerini kullanacağız.
- Paralel doğrular kesenle farklı açılar oluşturur.
- Verilen \( 75^\circ \) 'lik açı ile karşı durumlu (içte ve komşu olmayan) açı, birbirine eşittir.
- Bu nedenle, \( 75^\circ \) 'lik açının oluşturduğu karşı durumlu açının ölçüsü de \( 75^\circ \) olur.
Örnek 4:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından biri \( 8 \) birim, hipotenüsü ise \( 17 \) birimdir. Diğer dik kenarının uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. 📏
Çözüm:
Pisagor teoremi, dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi belirler.
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \). Burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Verilenler: \( a = 8 \), \( c = 17 \). \( b \) 'yi bulacağız.
- Denklem: \( 8^2 + b^2 = 17^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 64 + b^2 = 289 \)
- \( b^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 289 - 64 \)
- \( b^2 = 225 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{225} \)
- \( b = 15 \) birim.
Örnek 5:
Bir parkta, iki farklı noktadan çıkan ve birbirine paralel olan iki yürüyüş yolu bulunmaktadır. Bu yolları kesen üçüncü bir yol, birinci yolla \( 55^\circ \) 'lik bir açı yapmaktadır. Üçüncü yol, ikinci yolla hangi açıyla kesişir? (Açıları iç ters, yöndeş ve ters açı olarak düşününüz.) 🌳
Çözüm:
Bu problem, Tales teoreminin geometrik yorumunu ve açı ilişkilerini günlük hayata uyarlar.
- Paralel yürüyüş yolları, kesen üçüncü yolla belirli açılar oluşturur.
- Birinci yolla yapılan \( 55^\circ \) 'lik açının iç tersi, kesen doğrunun diğer tarafında ve paralel doğrular arasında yer alır ve \( 55^\circ \) olur.
- Bu \( 55^\circ \) 'lik iç ters açı ile ikinci yolla kesişen açı yöndeş açılardır.
- Yöndeş açılar birbirine eşit olduğundan, ikinci yolla yapılan açı da \( 55^\circ \) olur.
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini atmadan önce, iki duvarın birleşim noktasından \( 6 \) metre uzaklıkta bir noktadan, bu iki duvarı birbirine dik olacak şekilde iki kazık çakacaktır. Kazıkların uzunlukları \( 8 \) metre ve \( 15 \) metredir. Temel için kullanılacak en uzun mesafeyi (kazıkların uç noktaları arasındaki uzaklığı) Pisagor teoremini kullanarak hesaplayınız. 🏗️
Çözüm:
Bu senaryo, dik üçgen oluşturma ve Pisagor teoremini uygulama becerisini ölçer.
- Kazıkların çakıldığı noktalar ve duvarların birleşim noktası bir dik üçgen oluşturur.
- Kazıkların uzunlukları \( 8 \) m ve \( 15 \) m dik kenarları temsil eder.
- Temel için kullanılacak en uzun mesafe, bu dik kenarların oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 8^2 + 15^2 = c^2 \)
- \( 64 + 225 = c^2 \)
- \( 289 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{289} \)
- \( c = 17 \) metre.
Örnek 7:
Bir televizyon ekranının boyutları, köşegen uzunluğu ile ifade edilir. \( 55 \) inçlik bir televizyonun ekran genişliği \( 48 \) inç ise, ekranın yüksekliğini Pisagor teoremini kullanarak yaklaşık olarak bulunuz. (1 inç yaklaşık \( 2.54 \) cm'dir, ancak bu soruda inç birimiyle çalışacağız.) 📺
Çözüm:
Televizyon ekranları dikdörtgen şeklinde olduğundan, köşegen, genişlik ve yükseklik bir dik üçgen oluşturur.
- Pisagor teoremi: \( Genişlik^2 + Yükseklik^2 = Köşegen^2 \)
- Verilenler: Köşegen \( = 55 \) inç, Genişlik \( = 48 \) inç. Yüksekliği \( h \) bulacağız.
- \( 48^2 + h^2 = 55^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 2304 + h^2 = 3025 \)
- \( h^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( h^2 = 3025 - 2304 \)
- \( h^2 = 721 \)
- \( h = \sqrt{721} \)
- \( h \approx 26.85 \) inç.
Örnek 8:
Bir merdiven, yere dik duran bir duvara yaslanmıştır. Merdivenin duvara değdiği nokta yerden \( 12 \) metre yükseklikte, merdivenin yere değdiği nokta ise duvar dibinden \( 5 \) metre uzaklıktadır. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen modellemesi ile çözülebilir.
- Merdiven, duvar ve yerin arasındaki uzaklık bir dik üçgen oluşturur.
- Duvarın yüksekliği \( 12 \) metre (dik kenar).
- Duvar dibinden merdivenin yere değdiği uzaklık \( 5 \) metre (diğer dik kenar).
- Merdivenin uzunluğu ise hipotenüstür.
- Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 5^2 + 12^2 = c^2 \)
- \( 25 + 144 = c^2 \)
- \( 169 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{169} \)
- \( c = 13 \) metre.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-ve-pisagor-teoremleri/sorular