🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales ve Pisagor teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales ve Pisagor teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde AB kenarı 10 cm, AC kenarı 15 cm ve BC kenarı 20 cm olarak verilmiştir. Bu üçgenin kenarları orantılı olarak küçültülerek benzer bir üçgen çizilecektir. Eğer en uzun kenarı 10 cm olacak şekilde çizilirse, diğer kenarlar kaçar cm olur? 💡
Çözüm:
Bu soru, Tales teoreminin temel mantığını kullanarak benzer üçgenler arasındaki kenar oranlarını bulma üzerine kuruludur.
- Orantı Kuralı: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.
- Oranlama: Orijinal üçgenin kenarları sırasıyla 10 cm, 15 cm ve 20 cm'dir. En uzun kenarı 20 cm'dir.
- Yeni Üçgenin Kenarı: Yeni üçgende en uzun kenarın 10 cm olacağı belirtilmiştir.
- Oran Katsayısı: Oran katsayısını bulmak için yeni üçgenin en uzun kenarını, orijinal üçgenin en uzun kenarına böleriz: \( \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \).
- Diğer Kenarların Bulunması: Bu oran katsayısını ( \( \frac{1}{2} \) ) diğer kenarların orijinal uzunluklarıyla çarparak yeni üçgenin kenarlarını buluruz:
- Orijinal kenar 10 cm ise, yeni kenar: \( 10 \times \frac{1}{2} = 5 \) cm olur.
- Orijinal kenar 15 cm ise, yeni kenar: \( 15 \times \frac{1}{2} = 7.5 \) cm olur.
Örnek 2:
Bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm olarak verilmiştir. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor teoremini kullanarak bulunuz. 📏
Çözüm:
Pisagor teoremi, dik üçgenlerde dik kenarlar ve hipotenüs arasındaki ilişkiyi açıklar. Teorem \( a^2 + b^2 = c^2 \) formülüyle ifade edilir, burada \( a \) ve \( b \) dik kenarların uzunlukları, \( c \) ise hipotenüsün uzunluğudur.
- Verilenler: Dik kenarlar \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Uygulama: Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs \( c \) yi bulalım: \[ 6^2 + 8^2 = c^2 \] \[ 36 + 64 = c^2 \] \[ 100 = c^2 \]
- Sonuç: Her iki tarafın karekökünü alarak \( c \) yi buluruz: \[ c = \sqrt{100} \] \[ c = 10 \]
Örnek 3:
Paralel iki doğru arasında bir kesen doğru bulunmaktadır. Paralel doğrular üzerinde oluşan iç ters açıların açıortayları, kesen doğru üzerinde bir E noktasında kesişmektedir. Eğer paralel doğrular arasındaki uzaklık 12 cm ise, E noktasının bu paralel doğrulara olan uzaklıkları toplamı kaç cm olur? 📐
Çözüm:
Bu soru, Tales teoreminin benzerlik prensibi ve açıortayların özelliklerini birleştirir.
- Temel Prensip: Tales teoremi, paralel doğruların bir kesenle oluşturduğu benzer üçgenler arasındaki oranı inceler.
- Açıortay Özelliği: İç ters açıların açıortayları, bulundukları üçgenlerde kenarortaylar gibi davranarak benzerlik oranını belirler.
- Paralel Doğrular ve Uzaklık: Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, bu doğrulara dik olan herhangi bir doğru parçasının uzunluğudur.
- E Noktasının Konumu: Açıortayların kesiştiği E noktası, iki paralel doğru arasında bir yerde bulunur.
- Uzaklıkların Toplamı: E noktasının bir paralel doğruya olan uzaklığı \( h_1 \), diğer paralel doğruya olan uzaklığı ise \( h_2 \) olsun. Bu iki uzaklığın toplamı, paralel doğrular arasındaki toplam uzaklığa eşittir.
Örnek 4:
Bir duvarın dibine dayalı 5 metre uzunluğunda bir merdiven, duvarla 60 derecelik bir açı yapmaktadır. Merdivenin duvardan ve yerden ne kadar yükseklikte olduğunu Pisagor teoremi ve trigonometrinin basit mantığıyla açıklayınız. (Not: Trigonometri bu seviyede temel düzeyde ele alınır.) 🚶♀️
Çözüm:
Bu problem, Pisagor teoreminin yanı sıra, dik üçgenlerde açılar ve kenarlar arasındaki temel ilişkiyi (trigonometrinin temeli) kullanır.
- Model Oluşturma: Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin uzunluğu hipotenüstür (5 m).
- Açılar: Merdivenin duvarla yaptığı açı 60 derece ise, zeminle yaptığı açı \( 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \) olur.
- Pisagor Teoremi: Eğer zemine olan uzaklığı ( \( x \) ) ve duvara olan yüksekliği ( \( y \) ) bilseydik, \( x^2 + y^2 = 5^2 \) olurdu.
- Temel Trigonometrik İlişkiler (Basit Düzey):
- Zemine Uzaklık ( \( x \) ): Zeminle yapılan açı \( 30^\circ \) olduğundan, bu açının karşısındaki kenar (duvarın yüksekliği \( y \)) \( \sin(30^\circ) \) ile, komşu kenar (zemine uzaklık \( x \)) ise \( \cos(30^\circ) \) ile orantılıdır.
- Duvar Yüksekliği ( \( y \) ): Duvarla yapılan açı \( 60^\circ \) olduğundan, bu açının karşısındaki kenar (zemine uzaklık \( x \)) \( \sin(60^\circ) \) ile, komşu kenar (duvarın yüksekliği \( y \)) ise \( \cos(60^\circ) \) ile orantılıdır.
- Hesaplama: Basit oranlar kullanılırsa:
- Duvarın yüksekliği \( y = 5 \times \cos(60^\circ) \). \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \) olduğundan, \( y = 5 \times \frac{1}{2} = 2.5 \) metredir.
- Zemine olan uzaklık \( x = 5 \times \sin(60^\circ) \). \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğundan, \( x = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 4.33 \) metredir.
Örnek 5:
Bir parkta, A noktasında bulunan bir banktan, C noktasındaki çeşmeye ve B noktasındaki oyun alanına giden yollar bulunmaktadır. AB yolu 120 metre, AC yolu 150 metredir ve bu iki yol arasındaki açı 90 derecedir. Oyun alanı ile çeşme arasındaki BC yolunun uzunluğunu hesaplayınız. 🌳
Çözüm:
Bu problem, gerçek hayatta karşılaşılabilecek bir durumu temsil eder ve dik üçgenlerde Pisagor teoreminin kullanımını gösterir.
- Problem Analizi: A noktası dik açının köşesidir. AB ve AC dik kenarlar, BC ise hipotenüstür.
- Verilenler:
- Dik kenar AB = \( 120 \) metre
- Dik kenar AC = \( 150 \) metre
- Pisagor Teoremi Uygulaması: \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
- Hesaplama: \[ 120^2 + 150^2 = BC^2 \] \[ 14400 + 22500 = BC^2 \] \[ 36900 = BC^2 \]
- Sonuç: BC yolunun uzunluğunu bulmak için \( 36900 \) sayısının karekökünü alırız: \[ BC = \sqrt{36900} \] \[ BC = \sqrt{369 \times 100} \] \[ BC = 10 \sqrt{369} \] \( \sqrt{369} \) yaklaşık olarak \( 19.21 \) olduğundan, \( BC \approx 10 \times 19.21 = 192.1 \) metredir.
Örnek 6:
Bir harita üzerinde A, B ve C şehirleri işaretlenmiştir. A ve B şehirleri arasındaki mesafe 80 km, A ve C şehirleri arasındaki mesafe 60 km'dir. A noktasındaki dik açı, B ve C şehirlerini birbirine bağlayan yolun uzunluğunu Pisagor teoremi ile bulunuz. 🗺️
Çözüm:
Bu soru, şehirler arası mesafeleri harita üzerinde temsil ederek Pisagor teoreminin pratik uygulamasını gösterir.
- Harita Modeli: A noktası dik açının köşesi olarak kabul edilir. AB ve AC, dik kenarları, BC ise hipotenüsü temsil eder.
- Verilen Bilgiler:
- Dik kenar AB = \( 80 \) km
- Dik kenar AC = \( 60 \) km
- Pisagor Teoremi: \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
- Hesaplama: \[ 80^2 + 60^2 = BC^2 \] \[ 6400 + 3600 = BC^2 \] \[ 10000 = BC^2 \]
- Sonuç: BC yolunun uzunluğunu bulmak için \( 10000 \) sayısının karekökünü alırız: \[ BC = \sqrt{10000} \] \[ BC = 100 \]
Örnek 7:
Bir çiftçi, tarlasının köşesine diktiği bir direkten, tarlanın karşı köşesindeki bir noktaya gergin bir tel çekmek istiyor. Tarlasının boyutları 30 metreye 40 metre olduğuna göre, çiftçinin çekmesi gereken telin uzunluğunu Pisagor teoremi ile hesaplayınız. 🌾
Çözüm:
Bu örnek, tarlaların ölçülmesinde ve inşaat projelerinde Pisagor teoreminin nasıl kullanıldığını gösterir.
- Problem Tanımı: Tarlanın köşeleri bir dik üçgen oluşturur. Dik kenarlar, tarlanın uzunluğu ve genişliğidir. Tel ise hipotenüstür.
- Verilenler:
- Dik kenar 1 = \( 30 \) metre
- Dik kenar 2 = \( 40 \) metre
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \) formülünü kullanacağız, burada \( c \) telin uzunluğudur.
- Hesaplama: \[ 30^2 + 40^2 = c^2 \] \[ 900 + 1600 = c^2 \] \[ 2500 = c^2 \]
- Sonuç: Telin uzunluğunu bulmak için \( 2500 \) sayısının karekökünü alırız: \[ c = \sqrt{2500} \] \[ c = 50 \]
Örnek 8:
Bir inşaat işçisi, bir binanın duvarına dayayacağı 13 metre uzunluğunda bir merdiven kullanıyor. Merdivenin alt ucunu duvardan 5 metre uzağa koyduğunda, merdivenin duvarın neresine kadar dayanacağını Pisagor teoremi ile hesaplayınız. 🏗️
Çözüm:
Bu durum, inşaat alanında güvenlik ve ölçüm için Pisagon teoreminin ne kadar önemli olduğunu gösterir.
- Dik Üçgen Oluşturma: Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Merdivenin kendisi hipotenüstür.
- Verilenler:
- Hipotenüs (Merdiven uzunluğu) = \( 13 \) metre
- Bir dik kenar (Duvardan uzaklık) = \( 5 \) metre
- Aranan: Diğer dik kenar (Duvarın yüksekliği) \( h \).
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Uygulama: \[ 5^2 + h^2 = 13^2 \] \[ 25 + h^2 = 169 \]
- Hesaplama: \( h^2 \) değerini bulmak için 25'i karşıya atarız: \[ h^2 = 169 - 25 \] \[ h^2 = 144 \]
- Sonuç: \( h \) değerini bulmak için \( 144 \) sayısının karekökünü alırız: \[ h = \sqrt{144} \] \[ h = 12 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-ve-pisagor-teoremi/sorular