🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales Ve Öklid Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales Ve Öklid Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel 3 doğru parçası, bunları kesen 2 farklı doğru parçası ile orantılı parçalara ayırıyor. Paralel doğrular üzerindeki parçaların uzunlukları 4 cm ve 6 cm ise, diğer doğru üzerindeki karşılık gelen parçaların uzunlukları oranı kaçtır? 📏
Çözüm:
Bu soru, Tales Teoremi'nin temel prensibini kullanır.
- Tales Teoremi'ne göre, paralel doğruları kesen doğrular üzerindeki doğru parçaları orantılıdır.
- Verilen paralel doğrular üzerindeki parçalar 4 cm ve 6 cm uzunluğundadır.
- Diğer doğru üzerindeki karşılık gelen parçaların uzunlukları oranı da aynı olacaktır.
- Dolayısıyla, oran 4/6'dır.
- Bu oranı sadeleştirebiliriz: 4/6 = 2/3.
Örnek 2:
ABC üçgeninde DE, BC'ye paraleldir. AD = 6 cm, DB = 3 cm ve DE = 8 cm olduğuna göre, BC'nin uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenler ve Tales Teoremi ile çözülür.
- DE'nin BC'ye paralel olması nedeniyle, ABC üçgeni ile ADE üçgeni benzerdir.
- Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları orantılıdır.
- Bu durumda, AD/AB = DE/BC ilişkisi geçerlidir.
- AD = 6 cm ve DB = 3 cm olduğundan, AB = AD + DB = 6 + 3 = 9 cm olur.
- DE = 8 cm verilmiştir.
- Orantıyı kurarsak: 6/9 = 8/BC
- Denklemi çözersek: 6 BC = 9 8
- 6 * BC = 72
- BC = 72 / 6
- BC = 12 cm
Örnek 3:
Bir dik üçgende dik kenarlar 5 cm ve 12 cm'dir. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu hesaplayınız. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklid'in Dik Üçgenlerde Yükseklik Teoremi'nin bir uygulaması olan Pisagor Teoremi kullanılır.
- Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada 'a' ve 'b' dik kenarlar, 'c' ise hipotenüstür.
- Verilen dik kenarlar: a = 5 cm, b = 12 cm.
- Hesaplama: \( 5^2 + 12^2 = c^2 \)
- \( 25 + 144 = c^2 \)
- \( 169 = c^2 \)
- Hipotenüs 'c'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alırız: \( c = \sqrt{169} \)
- c = 13 cm
Örnek 4:
ABC dik üçgeninde C açısı 90 derecedir. AC = 8 birim ve BC = 6 birimdir. A köşesinden BC kenarına bir dikme çizildiğinde (bu dikme yükseklik olur) oluşan parçaların uzunluklarını ve bu dikmenin uzunluğunu bulunuz. (Bu soru Öklid bağıntılarını kullanır.) 📐
Çözüm:
Bu problemde Öklid'in Dik Üçgen Bağıntıları'nı kullanacağız.
- Öncelikle hipotenüs AB'yi Pisagor Teoremi ile bulalım: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \). Dolayısıyla, \( AB = \sqrt{100} = 10 \) birimdir.
- Şimdi, C köşesinden AB kenarına indirilen dikmenin uzunluğunu (h) bulalım. Öklid'in yükseklik bağıntısı: \( h^2 = AD \cdot DB \) (burada D, dikmenin AB kenarını kestiği noktadır). Ancak bu bağıntıyı kullanmak için AD ve DB'yi bilmemiz gerekir.
- Alternatif olarak, alan formülünden yüksekliği bulabiliriz: Üçgenin alanı = \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \) birimkaredir.
- Aynı zamanda alan = \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \).
- Yani, \( 24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h \implies 24 = 5h \implies h = \frac{24}{5} = 4.8 \) birimdir.
- Şimdi Öklid'in kenar bağıntılarını kullanarak AD ve DB'yi bulabiliriz:
- \( AC^2 = AD \cdot AB \implies 8^2 = AD \cdot 10 \implies 64 = 10 \cdot AD \implies AD = 6.4 \) birim.
- \( BC^2 = DB \cdot AB \implies 6^2 = DB \cdot 10 \implies 36 = 10 \cdot DB \implies DB = 3.6 \) birim.
- Kontrol: AD + DB = 6.4 + 3.6 = 10 birim (Hipotenüs uzunluğuna eşit).
- Yüksekliğin karesi: \( h^2 = AD \cdot DB = 6.4 \cdot 3.6 = 23.04 \). \( h = \sqrt{23.04} = 4.8 \) birim.
Örnek 5:
Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki uzaklık 5 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:200.000 olduğuna göre, A ve B şehirleri arasındaki gerçek uzaklık kaç kilometredir? 🗺️
Çözüm:
Bu problem, ölçek kavramı ile orantı kurularak çözülür. Ölçek, harita üzerindeki bir uzunluğun gerçekteki uzunluğa oranını ifade eder.
- Harita üzerindeki uzaklık = 5 cm
- Ölçek = 1:200.000
- Bu, haritadaki her 1 birimin gerçekte 200.000 birim olduğu anlamına gelir.
- Gerçek uzaklığı bulmak için harita üzerindeki uzaklığı ölçekteki ikinci sayıyla çarparız:
- Gerçek uzaklık (cm) = 5 cm * 200.000 = 1.000.000 cm
- Şimdi bu uzaklığı kilometreye çevirmemiz gerekiyor.
- 1 kilometre = 100.000 cm'dir.
- Gerçek uzaklık (km) = 1.000.000 cm / 100.000 cm/km
- Gerçek uzaklık = 10 km
Örnek 6:
Bir fotoğrafçı, bir binanın fotoğrafını çekiyor. Binanın gerçek yüksekliği 30 metre ve fotoğrafın üzerinde binanın yüksekliği 10 cm olarak görünüyor. Eğer fotoğrafçı, binanın 15 metre yüksekliğindeki bir kısmının fotoğrafını 5 cm olarak çektiyse, bu durum Tales Teoremi'nin bir uygulaması mıdır? Açıklayınız. 📸
Çözüm:
Evet, bu durum Tales Teoremi'nin bir uygulaması olarak düşünülebilir.
- Tales Teoremi, paralel doğruların bir kesenle orantılı parçalara ayrılması prensibine dayanır.
- Fotoğrafçılıkta, kamera lensi bir tür "köşe" noktası gibi davranır ve ışık ışınları paralel doğrular gibi düşünülebilir.
- Binanın gerçek yüksekliği (30 m) ile fotoğraftaki yüksekliği (10 cm) arasındaki oran, binanın başka bir kısmının gerçek yüksekliği (15 m) ile fotoğraftaki yüksekliği (5 cm) arasındaki oranla aynı olmalıdır.
- İlk durum için oran: Gerçek Yükseklik / Fotoğraf Yüksekliği = 30 m / 10 cm = 3 m/cm
- İkinci durum için oran: Gerçek Yükseklik / Fotoğraf Yüksekliği = 15 m / 5 cm = 3 m/cm
- Her iki oran da aynıdır (3 m/cm). Bu durum, ışınların kameranın odak noktasından yayılarak sensör üzerine düşmesiyle oluşan benzer üçgenler prensibine dayanır ve bu da Tales Teoremi'nin bir sonucudur.
Örnek 7:
İki paralel doğru, üçüncü bir doğruyu 3 cm ve 5 cm'lik iki parçaya ayırıyor. Bu paralel doğruları kesen başka bir doğru ise birinci doğru üzerindeki 3 cm'lik parçaya karşılık gelen parçayı 6 cm olarak ayırıyorsa, ikinci doğru üzerindeki karşılık gelen parçanın uzunluğu kaç cm olur? 📏
Çözüm:
Bu soru, Tales Teoremi'nin temel uygulamalarından birini içerir.
- Tales Teoremi'ne göre, paralel doğruları kesen doğrular üzerindeki doğru parçaları orantılıdır.
- Paralel doğrular üzerindeki parçalar: 3 cm ve 5 cm.
- Kesen doğru üzerindeki parçalar: 6 cm (3 cm'ye karşılık gelen) ve bilinmeyen 'x' cm (5 cm'ye karşılık gelen).
- Orantıyı kuralım: 3 cm / 5 cm = 6 cm / x cm
- İçler dışlar çarpımı yapalım: 3 x = 5 6
- 3 * x = 30
- x = 30 / 3
- x = 10 cm
Örnek 8:
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm'dir. Bu üçgenin en uzun kenarına ait yüksekliğin uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemde, hem Pisagor Teoremi hem de alan kavramı kullanılarak Öklid bağıntılarına benzer bir mantıkla çözüm yapılacaktır.
- Öncelikle verilen kenar uzunluklarının bir dik üçgen oluşturup oluşturmadığını kontrol edelim. En uzun kenar hipotenüs olmalıdır.
- Pisagor Teoremi'ni kontrol edelim: \( 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \).
- Hipotenüsün karesi: \( 15^2 = 225 \).
- \( 9^2 + 12^2 = 15^2 \) olduğundan, bu bir dik üçgendir ve dik kenarlar 9 cm ve 12 cm, hipotenüs ise 15 cm'dir.
- Dik üçgenin alanı, dik kenarlar çarpımının yarısıdır: Alan = \( \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = \frac{1}{2} \times 108 = 54 \) cm².
- Şimdi, en uzun kenara (hipotenüs) ait yüksekliği bulmak için alan formülünü tekrar kullanabiliriz. Yüksekliğe 'h' diyelim.
- Alan = \( \frac{1}{2} \times \text{hipotenüs} \times h \)
- \( 54 = \frac{1}{2} \times 15 \times h \)
- \( 54 = 7.5 \times h \)
- \( h = \frac{54}{7.5} \)
- \( h = \frac{540}{75} \)
- Bu kesri sadeleştirelim. Her iki tarafı 15'e bölebiliriz: \( h = \frac{36}{5} \)
- h = 7.2 cm
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-ve-oklid/sorular