📄 9. Sınıf Matematik: Tales Ve Öklid Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bu soruda Tales teoreminin bir uygulaması olan benzerlikten yararlanacağız. DE // BC olduğundan, ABC üçgeni ile ADE üçgeni benzerdir. Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir.

Oran = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|}\


Verilen değerleri yerine koyalım: |AB| = |AD| + |DB| = 6 + 3 = 9 cm.

\frac{6}{9} = \frac{|DE|}{10}\


İçler dışlar çarpımı yaparsak: 9 * |DE| = 6 * 10
9 * |DE| = 60
|DE| = \frac{60}{9}\

|DE| = \frac{20}{3}\

Sonuç olarak, |DE| uzunluğu \frac{20}{3}\, cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs uzunluğunu bulalım. Pisagor teoremine göre, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.

\(a^2 + b^2 = c^2)\


Verilen kenarlar a = 5 cm ve b = 12 cm olsun. Hipotenüs c'dir.

\(5^2 + 12^2 = c^2)\


\(25 + 144 = c^2)\


\(169 = c^2)\


\(c = \sqrt{169})\


\(c = 13)\

Hipotenüs uzunluğu 13 cm'dir.

Şimdi hipotenüse ait yüksekliğin (h) uzunluğunu bulalım. Dik üçgenin alanını iki farklı yolla hesaplayabiliriz:
1. Dik kenarları kullanarak: Alan = \frac{1}{2} * a * b = \frac{1}{2} * 5 * 12 = 30 cm^2
2. Hipotenüs ve hipotenüse ait yüksekliği kullanarak: Alan = \frac{1}{2} * c * h = \frac{1}{2} * 13 * h

İki alanı eşitleyerek h'yi bulabiliriz:

\frac{1}{2} * 13 * h = 30

13 * h = 60

h = \frac{60}{13}\

Hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu \frac{60}{13}\, cm'dir.\)

💡 Çözüm Adımları:

Bu soruda hem Pisagor teoremini hem de Öklid'in ikinci teoremini (yüksekliğin karesi teoremi) kullanabiliriz. Öncelikle Pisagor teoremi ile hipotenüs AB'nin uzunluğunu bulalım.

\(AC^2 + BC^2 = AB^2)\


\(8^2 + 6^2 = AB^2)\


\(64 + 36 = AB^2)\


\(100 = AB^2)\


\(AB = \sqrt{100})\


\(AB = 10)\

Hipotenüs AB'nin uzunluğu 10 cm'dir.

Şimdi Öklid'in ikinci teoremini kullanalım. Bu teorem, dik kenarın karesinin, hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün çarpımına eşit olduğunu söyler. Ancak burada yükseklik CH'yi bulmak için Öklid'in birinci teoremini (yüksekliğin karesi) kullanmak daha pratiktir.

Öklid'in birinci teoremi: \(CH^2 = AH * HB)\

Bu teoremi kullanabilmek için önce AH ve HB uzunluklarını bulmamız gerekir. Öklid'in ikinci teoremini kullanabiliriz:

\(AC^2 = AH * AB)\


\(8^2 = AH * 10)\


\(64 = AH * 10)\


\(AH = \frac{64}{10} = 6.4)\


Benzer şekilde, \(BC^2 = HB * AB)\


\(6^2 = HB * 10)\


\(36 = HB * 10)\


\(HB = \frac{36}{10} = 3.6)\

Şimdi Öklid'in birinci teoremini uygulayabiliriz:

\(CH^2 = AH * HB)\


\(CH^2 = 6.4 * 3.6)\


\(CH^2 = 23.04)\


\(CH = \sqrt{23.04})\


\(CH = 4.8)\

Alternatif olarak, dik üçgenin alanını kullanarak da yüksekliği bulabiliriz:
Alan = \frac{1}{2} * AC * BC = \frac{1}{2} * 8 * 6 = 24 cm^2
Alan = \frac{1}{2} * AB * CH = \frac{1}{2} * 10 * CH

\(24 = \frac{1}{2} * 10 * CH)\


\(24 = 5 * CH)\


\(CH = \frac{24}{5} = 4.8)\

Sonuç olarak, hipotenüse ait yükseklik CH'nin uzunluğu 4.8 cm'dir.\)