🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales ve Öklid Teoremi Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales ve Öklid Teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel 3 doğru, bir kesenle A, B, C noktalarında; başka bir kesenle D, E, F noktalarında kesişiyor.
AB doğru parçasının uzunluğu 6 cm, BC doğru parçasının uzunluğu 9 cm'dir.
DE doğru parçasının uzunluğu 4 cm olduğuna göre, EF doğru parçasının uzunluğunu bulunuz.
💡 Tales Teoremi'ne göre, paralel doğrular tarafından kesenler üzerinde oluşturulan doğru parçaları orantılıdır.
💡 Tales Teoremi'ne göre, paralel doğrular tarafından kesenler üzerinde oluşturulan doğru parçaları orantılıdır.
Çözüm:
- Adım 1: Tales Teoremi'ni uygulayarak orantıyı kuralım.
- \( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \)
- Adım 2: Verilen değerleri orantıda yerine koyalım.
- \( \frac{6 \text{ cm}}{9 \text{ cm}} = \frac{4 \text{ cm}}{EF} \)
- Adım 3: İçler dışlar çarpımı yaparak EF'yi bulalım.
- \( 6 \times EF = 9 \times 4 \)
- \( 6 \times EF = 36 \)
- Adım 4: EF'yi yalnız bırakarak hesaplayalım.
- \( EF = \frac{36}{6} \)
- \( EF = 6 \text{ cm} \)
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir.
BC kenarına ait yükseklik AD'dir.
BD = 4 cm ve DC = 9 cm olduğuna göre, AD yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz.
👉 Bu soruda Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız.
👉 Bu soruda Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız.
Çözüm:
- Adım 1: Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni hatırlayalım. Bir dik üçgende dikten indirilen yükseklik, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların geometrik ortalamasına eşittir.
- \( AD^2 = BD \times DC \)
- Adım 2: Verilen değerleri formülde yerine yazalım.
- \( AD^2 = 4 \text{ cm} \times 9 \text{ cm} \)
- \( AD^2 = 36 \text{ cm}^2 \)
- Adım 3: AD'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
- \( AD = \sqrt{36 \text{ cm}^2} \)
- \( AD = 6 \text{ cm} \)
Örnek 3:
Bir mimar, bir binanın ön cephesinin çizimini yaparken Tales Teoremi'nden faydalanıyor.
Cephenin bir kısmını gösteren şekilde, AB ve CD paraleldir.
AE = 5 metre, EB = 3 metre ve CE = 6 metre verilmiştir.
Buna göre, ED uzunluğunu kaç metre olarak bulmalıdır?
💡 Bu tür problemler, gerçek hayatta oran-orantı ve benzerlik prensiplerinin nasıl kullanıldığını gösterir.
💡 Bu tür problemler, gerçek hayatta oran-orantı ve benzerlik prensiplerinin nasıl kullanıldığını gösterir.
Çözüm:
- Adım 1: Paralel AB ve CD doğruları ile kesenleri (AC ve BD) kullanılarak Tales Teoremi'nin benzerlik prensibi uygulanır.
- \( \frac{AE}{EB} = \frac{CE}{ED} \)
- Adım 2: Verilen değerleri orantıda yerine koyalım.
- \( \frac{5 \text{ m}}{3 \text{ m}} = \frac{6 \text{ m}}{ED} \)
- Adım 3: İçler dışlar çarpımı yaparak ED'yi hesaplayalım.
- \( 5 \times ED = 3 \times 6 \)
- \( 5 \times ED = 18 \)
- Adım 4: ED'yi yalnız bırakarak sonucu bulalım.
- \( ED = \frac{18}{5} \)
- \( ED = 3.6 \text{ m} \)
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, B açısı 90 derecedir.
AC kenarı üzerindeki bir D noktası için BD dik üçgeni çizilmiştir.
AB = 6 birim ve BC = 8 birimdir.
Buna göre, AD uzunluğunu bulunuz.
📌 Bu soruda hem Pisagor Teoremi'ni hem de Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız.
📌 Bu soruda hem Pisagor Teoremi'ni hem de Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız.
Çözüm:
- Adım 1: Önce ABC üçgeninin hipotenüsü AC'yi Pisagor Teoremi ile bulalım.
- \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
- \( AC^2 = 6^2 + 8^2 \)
- \( AC^2 = 36 + 64 \)
- \( AC^2 = 100 \)
- \( AC = \sqrt{100} = 10 \text{ birim} \)
- Adım 2: Şimdi Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanarak AB kenarının uzunluğunu AC ve AD ile ilişkilendirelim.
- \( AB^2 = AD \times AC \)
- Adım 3: Bilinen değerleri formülde yerine koyarak AD'yi bulalım.
- \( 6^2 = AD \times 10 \)
- \( 36 = AD \times 10 \)
- \( AD = \frac{36}{10} \)
- \( AD = 3.6 \text{ birim} \)
Örnek 5:
Bir fotoğrafçı, bir grup insanı çekerken kompozisyonu ayarlamak için Tales Teoremi'nin prensiplerinden yararlanıyor.
Ön plandaki iki kişi arasında 1 metre mesafe var. Arka plandaki iki kişi arasında ise 2 metre mesafe olacak şekilde ayarlanıyor.
Eğer ön plandaki ilk kişinin kameraya olan uzaklığı 3 metre ise, arka plandaki ilk kişinin kameraya olan uzaklığı kaç metre olmalıdır?
💡 Bu senaryo, benzer üçgenler ve oranların görsel perspektifte nasıl kullanıldığını gösterir.
💡 Bu senaryo, benzer üçgenler ve oranların görsel perspektifte nasıl kullanıldığını gösterir.
Çözüm:
- Adım 1: Bu durumu, kamerayı tepe noktası kabul eden ve paralel çizgilerle (insanlar) kesilen iki ışın olarak düşünebiliriz. Bu da Tales Teoremi'nin temel mantığıdır.
- Adım 2: Orantıyı kuralım. Ön plandaki mesafelerin oranı, arka plandaki mesafelerin oranına eşittir.
- \( \frac{\text{Ön Plan Mesafe}}{\text{Arka Plan Mesafe}} = \frac{\text{Ön Plan İlk Kişi Uzaklığı}}{\text{Arka Plan İlk Kişi Uzaklığı}} \)
- Adım 3: Verilen değerleri yerine koyalım.
- \( \frac{1 \text{ m}}{2 \text{ m}} = \frac{3 \text{ m}}{\text{Arka Plan İlk Kişi Uzaklığı}} \)
- Adım 4: İçler dışlar çarpımı yaparak bilinmeyeni bulalım.
- \( 1 \times \text{Arka Plan İlk Kişi Uzaklığı} = 2 \times 3 \)
- \( \text{Arka Plan İlk Kişi Uzaklığı} = 6 \text{ m} \)
Örnek 6:
Bir ABC üçgeninde, A açısı 90 derecedir.
AB kenarı 5 birim ve AC kenarı 12 birimdir.
BC kenarının uzunluğunu bulunuz.
👉 Bu bir dik üçgen sorusu ve Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
👉 Bu bir dik üçgen sorusu ve Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
Çözüm:
- Adım 1: Pisagor Teoremi'ne göre, dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
- Adım 2: Verilen değerleri formülde yerine koyalım.
- \( 5^2 + 12^2 = BC^2 \)
- \( 25 + 144 = BC^2 \)
- \( 169 = BC^2 \)
- Adım 3: BC'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
- \( BC = \sqrt{169} \)
- \( BC = 13 \text{ birim} \)
Örnek 7:
Bir ABC dik üçgeninde, B açısı 90 derecedir.
AC kenarı 10 cm'dir.
AB kenarı 6 cm olduğuna göre, BC kenarının uzunluğunu bulunuz.
💡 Bu soruda da Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
💡 Bu soruda da Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
Çözüm:
- Adım 1: Pisagor Teoremi'ni hatırlayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \). Burada a ve b dik kenarlar, c hipotenüstür.
- Adım 2: Verilen değerleri formülde yerine koyalım. AB dik kenar, BC dik kenar ve AC hipotenüstür.
- \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
- \( 6^2 + BC^2 = 10^2 \)
- \( 36 + BC^2 = 100 \)
- Adım 3: BC^2'yi yalnız bırakalım.
- \( BC^2 = 100 - 36 \)
- \( BC^2 = 64 \)
- Adım 4: BC'yi bulmak için karekök alalım.
- \( BC = \sqrt{64} \)
- \( BC = 8 \text{ cm} \)
Örnek 8:
Bir harita üzerinde, A ve B şehirleri arasındaki düz bir yol gösterilmiştir.
Bu yol, C ve D noktalarından geçen iki paralel yol ile kesişmektedir.
AC = 15 km, CD = 20 km ve DB = 10 km'dir.
Buna göre, AB yolunun uzunluğunu bulunuz.
👉 Bu problemde Tales Teoremi'nin bir uygulaması söz konusudur.
👉 Bu problemde Tales Teoremi'nin bir uygulaması söz konusudur.
Çözüm:
- Adım 1: C ve D noktalarından geçen yolların paralel olduğunu ve A ve B noktalarından geçen yol ile kesiştiğini düşünelim. Bu durumda Tales Teoremi'nin benzerlik oranları geçerlidir.
- Adım 2: Orantıyı kuralım.
- \( \frac{AC}{CD} = \frac{AB}{DB} \)
- Adım 3: Verilen değerleri orantıda yerine koyalım.
- \( \frac{15 \text{ km}}{20 \text{ km}} = \frac{AB}{10 \text{ km}} \)
- Adım 4: İçler dışlar çarpımı yaparak AB'yi hesaplayalım.
- \( 15 \times 10 = 20 \times AB \)
- \( 150 = 20 \times AB \)
- Adım 5: AB'yi yalnız bırakarak sonucu bulalım.
- \( AB = \frac{150}{20} \)
- \( AB = 7.5 \text{ km} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-ve-oklid-teoremi/sorular