🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales teoremi resimli örnek soruları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales teoremi resimli örnek soruları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel üç doğru (d1, d2, d3) bir kesen (k1) ile A, B, C noktalarında; başka bir kesen (k2) ile de D, E, F noktalarında kesişmektedir.
d1 // d2 // d3 ve k1 ile k2 kesenlerdir.
AB doğru parçasının uzunluğu 6 cm, BC doğru parçasının uzunluğu 9 cm'dir.
DE doğru parçasının uzunluğu 8 cm olduğuna göre, EF doğru parçasının uzunluğunu bulunuz. 📏
d1 // d2 // d3 ve k1 ile k2 kesenlerdir.
AB doğru parçasının uzunluğu 6 cm, BC doğru parçasının uzunluğu 9 cm'dir.
DE doğru parçasının uzunluğu 8 cm olduğuna göre, EF doğru parçasının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda Tales teoreminin temel prensibini kullanacağız. Tales teoremine göre, paralel doğrular tarafından kesilen iki doğrunun üzerindeki orantılı parçalar eşittir. 💡
- Orantıyı Kurma: Kesenler üzerindeki doğru parçaları arasındaki oranı, paralel doğrular arasındaki oranlara eşitleyebiliriz.
Bu durumda: \( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \) olur. - Verilen Değerleri Yerine Koyma: Soruda verilen uzunlukları formülde yerine yazalım:
\( \frac{6}{9} = \frac{8}{EF} \) - EF'yi Bulma: İçler dışlar çarpımı yaparak EF'nin uzunluğunu hesaplayalım:
\( 6 \times EF = 9 \times 8 \)
\( 6 \times EF = 72 \)
\( EF = \frac{72}{6} \)
\( EF = 12 \) cm
Örnek 2:
Şekilde d1, d2 ve d3 doğruları birbirine paraleldir (d1 // d2 // d3).
Bu paralel doğrular, A, B, C noktalarından geçen bir kesen ile ve D, E, F noktalarından geçen başka bir kesen ile kesişmektedir.
AC doğru parçasının uzunluğu 15 birim, CE doğru parçasının uzunluğu 10 birimdir.
DF doğru parçasının uzunluğu 18 birim olduğuna göre, DE doğru parçasının uzunluğunu bulunuz. 📐
Bu paralel doğrular, A, B, C noktalarından geçen bir kesen ile ve D, E, F noktalarından geçen başka bir kesen ile kesişmektedir.
AC doğru parçasının uzunluğu 15 birim, CE doğru parçasının uzunluğu 10 birimdir.
DF doğru parçasının uzunluğu 18 birim olduğuna göre, DE doğru parçasının uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Tales teoremi, paralel doğruların kestiği doğrular üzerindeki doğru parçalarının oranlarının eşitliğini ifade eder. Bu soruda da bu prensibi uygulayacağız. 📌
- Orantı İlişkisi: Paralel doğrular tarafından oluşturulan orantı şöyledir:
\( \frac{AC}{CE} = \frac{DF}{FE} \) - Verilen Değerlerle Orantı: Ancak soruda bize AC ve CE arasındaki ilişki verilmiş. Bu durumda, kesen üzerindeki toplam uzunlukları da dikkate alabiliriz. AC'nin tamamı 15 birim ve CE 10 birim ise, AE = AC + CE = 15 + 10 = 25 birim olur.
Paralel doğrular arasındaki orantı şu şekilde de kurulabilir:
\( \frac{AC}{AE} = \frac{DF}{DF+FE} \) veya \( \frac{AC}{CE} = \frac{DF}{FE} \) - Doğru Orantıyı Belirleme: Soruda verilen AC ve CE'nin oranını, DF ve FE'nin oranına eşitleyeceğiz.
\( \frac{AC}{CE} = \frac{DF}{FE} \)
\( \frac{15}{10} = \frac{DF}{FE} \) - DF ve FE Arasındaki İlişki: Bu orandan \( \frac{DF}{FE} = \frac{3}{2} \) elde ederiz. Yani DF, FE'nin \( \frac{3}{2} \) katıdır.
Bize DF'nin uzunluğu 18 birim olarak verilmiş.
\( DF = 18 \)
\( \frac{18}{FE} = \frac{3}{2} \) - FE'yi Hesaplama: İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\( 18 \times 2 = 3 \times FE \)
\( 36 = 3 \times FE \)
\( FE = \frac{36}{3} \)
\( FE = 12 \) birim - DE'yi Bulma: Soruda bizden DE'nin uzunluğu isteniyor. DF + FE = DE olmalıdır.
Ancak sorudaki tanım gereği, kesen üzerindeki noktalar D, E, F sırasıyla olmalı. Eğer D, E, F noktaları kesen üzerindeyse ve DF'nin tamamı 18 birim ise, bu 18 birim DE ve EF'nin toplamıdır.
Yeniden orantı kuralım:
\( \frac{AC}{CE} = \frac{DE}{EF} \)
\( \frac{15}{10} = \frac{DE}{EF} \)
\( \frac{3}{2} = \frac{DE}{EF} \)
Buradan \( 3 \times EF = 2 \times DE \) elde ederiz.
Ayrıca, DE + EF = DF = 18 birimdir.
EF = 18 - DE
Yerine koyalım:
\( 3 \times (18 - DE) = 2 \times DE \)
\( 54 - 3 \times DE = 2 \times DE \)
\( 54 = 5 \times DE \)
\( DE = \frac{54}{5} \)
\( DE = 10.8 \) birim
Örnek 3:
Bir mimar, paralel iki duvar arasına yerleştireceği bir merdivenin konumunu hesaplamak istiyor. Merdivenin ayakları yere paralel olan iki çizgi üzerinde duruyor. Merdivenin basamakları ise bu iki çizgiye paralel olmayan bir kesen üzerinde yer alıyor.
Duvarlar arasındaki mesafe, merdivenin alt ucundan ilk basamağa kadar olan mesafenin 2 katıdır. Merdivenin ilk basamağı ile son basamağı arasındaki mesafe ise, merdivenin alt ucundan ilk basamağa kadar olan mesafenin 3 katıdır.
Merdivenin alt ucundan son basamağına kadar olan toplam uzunluk 12 metre olduğuna göre, merdivenin alt ucundan ilk basamağına kadar olan mesafeyi bulunuz. 🪜
Duvarlar arasındaki mesafe, merdivenin alt ucundan ilk basamağa kadar olan mesafenin 2 katıdır. Merdivenin ilk basamağı ile son basamağı arasındaki mesafe ise, merdivenin alt ucundan ilk basamağa kadar olan mesafenin 3 katıdır.
Merdivenin alt ucundan son basamağına kadar olan toplam uzunluk 12 metre olduğuna göre, merdivenin alt ucundan ilk basamağına kadar olan mesafeyi bulunuz. 🪜
Çözüm:
Bu problem, Tales teoreminin geometrik bir uygulamasıdır. Paralel duvarlar, paralel doğruları; merdivenin basamakları ise bu paralel doğruları kesen bir doğruyu temsil eder. 💡
- Değişken Tanımlama: Merdivenin alt ucundan ilk basamağına kadar olan mesafeyi \( x \) metre olarak tanımlayalım.
- Verilen İlişkileri Matematiksel İfade Etme:
- Duvarlar arasındaki mesafe (merdivenin alt ucundan ilk basamağa kadar olan mesafenin 2 katı): \( 2x \) metre.
- İlk basamak ile son basamak arasındaki mesafe (merdivenin alt ucundan ilk basamağa kadar olan mesafenin 3 katı): \( 3x \) metre.
- Toplam Uzunluğu Hesaplama: Merdivenin alt ucundan son basamağına kadar olan toplam uzunluk, bu iki mesafenin toplamıdır.
Toplam Uzunluk = (Alt uçtan ilk basamağa) + (İlk basamaktan son basamağa)
Toplam Uzunluk = \( x + 3x = 4x \) metre. - Verilen Toplam Uzunluğu Kullanma: Soruda merdivenin alt ucundan son basamağına kadar olan toplam uzunluğun 12 metre olduğu belirtilmiş.
\( 4x = 12 \) metre - x'i Bulma: \( x \) değerini hesaplamak için denklemi çözelim:
\( x = \frac{12}{4} \)
\( x = 3 \) metre
Örnek 4:
Bir parkta bulunan iki ağaç arasındaki mesafeyi ölçmek isteyen Ahmet, elindeki bir ipi kullanarak Tales teoremini uygulamaya karar verir. Ahmet, iki ağaç arasına paralel olan bir çizgi çizer. Daha sonra bu çizgiye dik olmayan bir kesen çizerek, kesen üzerindeki bazı mesafeleri ölçer.
Ahmet'in çizdiği kesen üzerindeki A noktasından ilk ağaca (B noktası) olan mesafe 5 metre, ilk ağaçtan (B noktası) ikinci ağaca (C noktası) olan mesafe 10 metredir.
Kesen üzerindeki A noktasından, ilk ağacın hizasındaki noktaya (D noktası) olan mesafe 4 metre olduğuna göre, ilk ağacın hizasındaki noktadan (D noktası) ikinci ağacın hizasındaki noktaya (E noktası) kadar olan mesafeyi bulunuz. 🌳
Ahmet'in çizdiği kesen üzerindeki A noktasından ilk ağaca (B noktası) olan mesafe 5 metre, ilk ağaçtan (B noktası) ikinci ağaca (C noktası) olan mesafe 10 metredir.
Kesen üzerindeki A noktasından, ilk ağacın hizasındaki noktaya (D noktası) olan mesafe 4 metre olduğuna göre, ilk ağacın hizasındaki noktadan (D noktası) ikinci ağacın hizasındaki noktaya (E noktası) kadar olan mesafeyi bulunuz. 🌳
Çözüm:
Bu durum, Tales teoreminin pratik bir uygulamasıdır. Paralel ağaçlar, paralel doğruları; Ahmet'in çizdiği kesen ise bu doğruları kesen bir doğruyu temsil eder. 💡
- Tales Teoremini Uygulama: Paralel doğrular tarafından kesilen iki kesen üzerindeki doğru parçaları orantılıdır.
Bu durumda, \( \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DE} \) şeklinde bir orantı kurabiliriz. - Verilen Değerleri Yerine Koyma: Soruda verilen mesafeleri formülde yerine yazalım:
\( AB = 5 \) metre
\( BC = 10 \) metre
\( AD = 4 \) metre
\( \frac{5}{10} = \frac{4}{DE} \) - DE'yi Hesaplama: Orantıyı sadeleştirerek ve içler dışlar çarpımı yaparak DE'yi bulalım:
\( \frac{1}{2} = \frac{4}{DE} \)
\( 1 \times DE = 2 \times 4 \)
\( DE = 8 \) metre
Örnek 5:
Bir mühendis, bir köprünün iki ayağı arasındaki mesafeyi ölçmek için paralel ışınlar kullanarak bir yöntem geliştiriyor. Köprünün iki ayağı (A ve B noktaları) arasındaki mesafe, bir kesen üzerindeki C noktasına olan mesafeye göre ayarlanacaktır.
Köprünün iki ayağı birbirine paraleldir. Bir kesen üzerindeki C noktasından köprünün birinci ayağına (A noktası) olan mesafe 12 birim, birinci ayağından (A noktası) ikinci ayağına (B noktası) olan mesafe 18 birimdir.
Aynı kesen üzerindeki C noktasından, birinci ayağın hizasındaki bir noktaya (D noktası) olan mesafe 10 birim olduğuna göre, birinci ayağın hizasındaki noktadan (D noktası) ikinci ayağın hizasındaki noktaya (E noktası) kadar olan mesafeyi bulunuz. 🌉
Köprünün iki ayağı birbirine paraleldir. Bir kesen üzerindeki C noktasından köprünün birinci ayağına (A noktası) olan mesafe 12 birim, birinci ayağından (A noktası) ikinci ayağına (B noktası) olan mesafe 18 birimdir.
Aynı kesen üzerindeki C noktasından, birinci ayağın hizasındaki bir noktaya (D noktası) olan mesafe 10 birim olduğuna göre, birinci ayağın hizasındaki noktadan (D noktası) ikinci ayağın hizasındaki noktaya (E noktası) kadar olan mesafeyi bulunuz. 🌉
Çözüm:
Bu problem, Tales teoreminin temel prensiplerini kullanarak çözülebilir. Paralel doğrular ve kesenler arasındaki orantılılık ilişkisi burada da geçerlidir. 💡
- Tales Teoremi Uygulaması: Paralel doğrular (köprü ayakları) tarafından kesilen iki kesen üzerindeki doğru parçaları orantılıdır.
Bu durumda, \( \frac{CA}{AB} = \frac{CD}{DE} \) orantısını kurabiliriz. - Verilen Değerleri Yerine Koyma: Soruda verilen mesafeleri formülde kullanalım:
\( CA = 12 \) birim
\( AB = 18 \) birim
\( CD = 10 \) birim
\( \frac{12}{18} = \frac{10}{DE} \) - DE'yi Hesaplama: Orantıyı sadeleştirelim ve DE'yi bulalım:
\( \frac{12}{18} \) sadeleşince \( \frac{2}{3} \) olur.
\( \frac{2}{3} = \frac{10}{DE} \)
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\( 2 \times DE = 3 \times 10 \)
\( 2 \times DE = 30 \)
\( DE = \frac{30}{2} \)
\( DE = 15 \) birim
Örnek 6:
Bir harita üzerinde, birbirine paralel olan üç yol (A, B, C) gösterilmiştir. Bu yollar, iki farklı kesen (k1 ve k2) tarafından kesilmektedir.
Kesen k1 üzerindeki yol A ile yol B arasındaki mesafe 4 km, yol B ile yol C arasındaki mesafe 6 km'dir.
Kesen k2 üzerindeki yol A ile yol B arasındaki mesafe 7 km olduğuna göre, yol B ile yol C arasındaki mesafeyi bulunuz. 🗺️
Kesen k1 üzerindeki yol A ile yol B arasındaki mesafe 4 km, yol B ile yol C arasındaki mesafe 6 km'dir.
Kesen k2 üzerindeki yol A ile yol B arasındaki mesafe 7 km olduğuna göre, yol B ile yol C arasındaki mesafeyi bulunuz. 🗺️
Çözüm:
Bu soru, Tales teoreminin temel bir uygulamasıdır. Paralel doğrular (yollar) ve onları kesen doğrular (kesenler) arasındaki orantılılık ilkesini kullanacağız. 💡
- Tales Teoremini Uygulama: Paralel doğrular tarafından kesilen iki kesen üzerindeki doğru parçaları orantılıdır.
Bu durumda, \( \frac{AB_{k1}}{BC_{k1}} = \frac{AB_{k2}}{BC_{k2}} \) orantısını kurabiliriz. - Verilen Değerleri Yerine Koyma: Soruda verilen mesafeleri formülde kullanalım:
\( AB_{k1} = 4 \) km
\( BC_{k1} = 6 \) km
\( AB_{k2} = 7 \) km
\( \frac{4}{6} = \frac{7}{BC_{k2}} \) - \( BC_{k2} \) 'yi Hesaplama: Orantıyı sadeleştirelim ve \( BC_{k2} \) 'yi bulalım:
\( \frac{4}{6} \) sadeleşince \( \frac{2}{3} \) olur.
\( \frac{2}{3} = \frac{7}{BC_{k2}} \)
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\( 2 \times BC_{k2} = 3 \times 7 \)
\( 2 \times BC_{k2} = 21 \)
\( BC_{k2} = \frac{21}{2} \)
\( BC_{k2} = 10.5 \) km
Örnek 7:
Bir teknisyen, paralel olan iki kablo arasındaki mesafeyi ölçmek için bir yöntem kullanıyor. Kabloları kesen bir cetvel üzerinde işaretlemeler yapıyor.
Cetvel üzerindeki A noktasından ilk kabloya (B noktası) olan mesafe 8 cm, ilk kablodan (B noktası) ikinci kabloya (C noktası) olan mesafe 12 cm'dir.
Cetvel üzerindeki A noktasından, ilk kablonun hizasındaki bir noktaya (D noktası) olan mesafe 6 cm olduğuna göre, ilk kablonun hizasındaki noktadan (D noktası) ikinci kablonun hizasındaki noktaya (E noktası) kadar olan mesafeyi bulunuz. 📏
Cetvel üzerindeki A noktasından ilk kabloya (B noktası) olan mesafe 8 cm, ilk kablodan (B noktası) ikinci kabloya (C noktası) olan mesafe 12 cm'dir.
Cetvel üzerindeki A noktasından, ilk kablonun hizasındaki bir noktaya (D noktası) olan mesafe 6 cm olduğuna göre, ilk kablonun hizasındaki noktadan (D noktası) ikinci kablonun hizasındaki noktaya (E noktası) kadar olan mesafeyi bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problem, Tales teoreminin temel bir uygulamasıdır. Paralel kablolar, paralel doğruları; cetvel üzerindeki işaretlemeler ise bu doğruları kesen bir doğruyu temsil eder. 💡
- Tales Teoremini Uygulama: Paralel doğrular (kablolar) tarafından kesilen iki kesen üzerindeki doğru parçaları orantılıdır.
Bu durumda, \( \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DE} \) orantısını kurabiliriz. - Verilen Değerleri Yerine Koyma: Soruda verilen mesafeleri formülde kullanalım:
\( AB = 8 \) cm
\( BC = 12 \) cm
\( AD = 6 \) cm
\( \frac{8}{12} = \frac{6}{DE} \) - DE'yi Hesaplama: Orantıyı sadeleştirelim ve DE'yi bulalım:
\( \frac{8}{12} \) sadeleşince \( \frac{2}{3} \) olur.
\( \frac{2}{3} = \frac{6}{DE} \)
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\( 2 \times DE = 3 \times 6 \)
\( 2 \times DE = 18 \)
\( DE = \frac{18}{2} \)
\( DE = 9 \) cm
Örnek 8:
Bir bisikletçi, yokuş aşağı inerken iki paralel yol ayrımına geliyor. Birinci yol ayrımı (A noktası), bisikletçinin bulunduğu noktadan (C noktası) 10 metre uzaklıktadır. İkinci yol ayrımı (B noktası) ise birinci yol ayrımından (A noktası) 15 metre daha ileridedir.
Bu iki yol ayrımı, bisikletçinin bulunduğu noktadan (C noktası) geçen ve yollara paralel olmayan bir kesen üzerindedir.
Bisikletçinin bulunduğu noktadan (C noktası) birinci yol ayrımının hizasına (D noktası) kadar olan mesafe 8 metre olduğuna göre, birinci yol ayrımının hizasındaki noktadan (D noktası) ikinci yol ayrımının hizasındaki noktaya (E noktası) kadar olan mesafeyi bulunuz. 🚴
Bu iki yol ayrımı, bisikletçinin bulunduğu noktadan (C noktası) geçen ve yollara paralel olmayan bir kesen üzerindedir.
Bisikletçinin bulunduğu noktadan (C noktası) birinci yol ayrımının hizasına (D noktası) kadar olan mesafe 8 metre olduğuna göre, birinci yol ayrımının hizasındaki noktadan (D noktası) ikinci yol ayrımının hizasındaki noktaya (E noktası) kadar olan mesafeyi bulunuz. 🚴
Çözüm:
Bu problem, Tales teoreminin geometrik bir yorumudur. Paralel yol ayrımları, paralel doğruları; bisikletçinin bulunduğu noktadan geçen kesen ise bu paralel doğruları kesen bir doğruyu temsil eder. 💡
- Değişken Tanımlama ve Tales Teoremi: Bisikletçinin bulunduğu noktadan birinci yol ayrımının hizasına kadar olan mesafeyi \( CD = 8 \) metre olarak biliyoruz. İkinci yol ayrımının hizasına olan mesafeyi \( DE \) olarak bulmak istiyoruz.
Tales teoremine göre, \( \frac{CA}{AB} = \frac{CD}{DE} \) orantısını kurabiliriz. - Verilen Değerleri Yerine Koyma: Soruda verilen mesafeleri formülde kullanalım:
\( CA = 10 \) metre
\( AB = 15 \) metre
\( CD = 8 \) metre
\( \frac{10}{15} = \frac{8}{DE} \) - DE'yi Hesaplama: Orantıyı sadeleştirelim ve DE'yi bulalım:
\( \frac{10}{15} \) sadeleşince \( \frac{2}{3} \) olur.
\( \frac{2}{3} = \frac{8}{DE} \)
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\( 2 \times DE = 3 \times 8 \)
\( 2 \times DE = 24 \)
\( DE = \frac{24}{2} \)
\( DE = 12 \) metre
Örnek 9:
Bir bahçıvan, paralel olan iki çitin arasındaki mesafeyi ölçmek için bir ip kullanıyor. İpi, çitlere paralel olmayan bir şekilde geriyor.
İpin bir ucundan ilk çite (A noktası) kadar olan mesafe 3 metre, ilk çitten (A noktası) ikinci çite (B noktası) kadar olan mesafe 6 metredir.
İpin diğer ucundan, ilk çitin hizasındaki noktaya (C noktası) olan mesafe 2 metre olduğuna göre, ilk çitin hizasındaki noktadan (C noktası) ikinci çitin hizasındaki noktaya (D noktası) kadar olan mesafeyi bulunuz. 🌿
İpin bir ucundan ilk çite (A noktası) kadar olan mesafe 3 metre, ilk çitten (A noktası) ikinci çite (B noktası) kadar olan mesafe 6 metredir.
İpin diğer ucundan, ilk çitin hizasındaki noktaya (C noktası) olan mesafe 2 metre olduğuna göre, ilk çitin hizasındaki noktadan (C noktası) ikinci çitin hizasındaki noktaya (D noktası) kadar olan mesafeyi bulunuz. 🌿
Çözüm:
Bu durum, Tales teoreminin günlük hayattaki bir uygulamasıdır. Paralel çitler, paralel doğruları; ip ise bu doğruları kesen bir doğruyu temsil eder. 💡
- Tales Teoremini Uygulama: Paralel doğrular (çitler) tarafından kesilen iki kesen üzerindeki doğru parçaları orantılıdır.
Bu durumda, \( \frac{AC}{AB} = \frac{CD}{DB} \) orantısını kurabiliriz. - Verilen Değerleri Yerine Koyma: Soruda verilen mesafeleri formülde kullanalım:
\( AC = 3 \) metre
\( AB = 6 \) metre
\( CD = 2 \) metre
\( \frac{3}{6} = \frac{2}{DB} \) - DB'yi Hesaplama: Orantıyı sadeleştirelim ve DB'yi bulalım:
\( \frac{3}{6} \) sadeleşince \( \frac{1}{2} \) olur.
\( \frac{1}{2} = \frac{2}{DB} \)
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\( 1 \times DB = 2 \times 2 \)
\( DB = 4 \) metre
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-teoremi-resimli-ornek-sorulari/sorular