🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales teoremi örnek sorular Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales teoremi örnek sorular Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Şekildeki gibi paralel 3 doğru (d1, d2, d3) ve bu doğruları kesen iki farklı kesen (k1, k2) verilmiştir.
k1 doğrusu üzerinde |AB| = 6 cm ve |BC| = 9 cm'dir.
k2 doğrusu üzerinde |DE| = x cm ve |EF| = 12 cm'dir.
Verilenlere göre x kaç cm'dir? 💡
k1 doğrusu üzerinde |AB| = 6 cm ve |BC| = 9 cm'dir.
k2 doğrusu üzerinde |DE| = x cm ve |EF| = 12 cm'dir.
Verilenlere göre x kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
Bu soruda Tales Teoremi'nin temel prensibini kullanacağız. Paralel doğrular, farklı kesenler üzerinde orantılı parçalar ayırır.
- 1. Adım: Orantıyı Kurma
Tales Teoremi'ne göre, kesenler üzerindeki karşılıklı parçaların oranları eşittir.
Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz:
\( \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|} \) - 2. Adım: Değerleri Yerine Koyma
Soruda verilen değerleri orantıdaki yerlerine yazalım:
\( \frac{6}{9} = \frac{x}{12} \) - 3. Adım: Denklem Çözme
Bu orantıyı çözerek x'i bulalım:
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\( 6 \times 12 = 9 \times x \)
\( 72 = 9x \)
Her iki tarafı 9'a bölersek:
\( x = \frac{72}{9} \)
\( x = 8 \)
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, [DE] doğru parçası [BC] kenarına paraleldir.
|AD| = 4 cm, |DB| = 8 cm ve |AE| = 3 cm'dir.
Buna göre |EC| kaç cm'dir? 🤔
|AD| = 4 cm, |DB| = 8 cm ve |AE| = 3 cm'dir.
Buna göre |EC| kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu soru, üçgende benzerlik ve Tales Teoremi'nin bir uygulamasıdır. DE // BC olduğunda, A köşesinden çıkan ışınlar üzerindeki parçalar orantılıdır.
- 1. Adım: Benzerlikten Yararlanma
DE // BC olduğundan, ABC üçgeni ile ADE üçgeni benzerdir (A.A.A benzerliği).
Bu benzerlikten yola çıkarak Tales Teoremi'ni uygulayabiliriz:
\( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) - 2. Adım: Bilinen Değerleri Yerleştirme
Verilen değerleri formülde yerine yazalım:
\( \frac{4}{8} = \frac{3}{|EC|} \) - 3. Adım: |EC|'yi Bulma
Orantıyı sadeleştirirsek:
\( \frac{1}{2} = \frac{3}{|EC|} \)
İçler dışlar çarpımı ile:
\( 1 \times |EC| = 2 \times 3 \)
\( |EC| = 6 \)
Örnek 3:
Şekildeki gibi d1 // d2 // d3 paralel doğruları veriliyor.
k1 keseni üzerinde A, B, C noktaları; k2 keseni üzerinde D, E, F noktaları bulunuyor.
|AB| = 5 cm, |BC| = 10 cm ve |DF| = 18 cm'dir.
|DE| = |EF| olduğuna göre, |AC| kaç cm'dir? 📏
k1 keseni üzerinde A, B, C noktaları; k2 keseni üzerinde D, E, F noktaları bulunuyor.
|AB| = 5 cm, |BC| = 10 cm ve |DF| = 18 cm'dir.
|DE| = |EF| olduğuna göre, |AC| kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu problemde Tales Teoremi'ni ve verilen ek bilgiyi bir arada kullanacağız.
- 1. Adım: |DE| ve |EF|'yi Hesaplama
Soruda |DE| = |EF| olduğu belirtilmiş ve |DF| = 18 cm olarak verilmiş.
|DF| = |DE| + |EF| olduğundan ve eşit olduklarından:
\( |DE| = |EF| = \frac{18}{2} = 9 \) cm - 2. Adım: Tales Teoremi'ni Uygulama
Paralel doğrular ve kesenler arasındaki orantıyı kuralım:
\( \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|} \) - 3. Adım: |AC|'yi Bulma
Öncelikle |AC|'yi bulmak için |AB| ve |BC| arasındaki ilişkiyi kullanacağız.
\( |AC| = |AB| + |BC| \)
Tales Teoremi'ni k1 ve k2 kesenleri için uygulayalım:
\( \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|DF|} \)
Bilinen değerleri yerine koyalım:
\( \frac{5}{|AC|} = \frac{9}{18} \)
\( \frac{5}{|AC|} = \frac{1}{2} \)
İçler dışlar çarpımı ile:
\( |AC| = 5 \times 2 \)
\( |AC| = 10 \) cm
Örnek 4:
Bir mimar, çizdiği bir park projesinde, birbirine paralel olan üç ana yürüyüş yolunu (Y1, Y2, Y3) göstermiştir.
Bu yolları kesen iki adet bisiklet yolu (B1, B2) bulunmaktadır.
B1 bisiklet yolu üzerinde, Y1 ve Y2 arasındaki mesafe 8 metre, Y2 ve Y3 arasındaki mesafe ise 12 metredir.
B2 bisiklet yolu üzerinde, Y1 ve Y2 arasındaki mesafe 'a' metre, Y2 ve Y3 arasındaki mesafe ise 15 metre olarak ölçülmüştür.
Mimara göre, 'a' değeri kaç metre olmalıdır ki yolların kesişimi orantılı olsun? 🌳
Bu yolları kesen iki adet bisiklet yolu (B1, B2) bulunmaktadır.
B1 bisiklet yolu üzerinde, Y1 ve Y2 arasındaki mesafe 8 metre, Y2 ve Y3 arasındaki mesafe ise 12 metredir.
B2 bisiklet yolu üzerinde, Y1 ve Y2 arasındaki mesafe 'a' metre, Y2 ve Y3 arasındaki mesafe ise 15 metre olarak ölçülmüştür.
Mimara göre, 'a' değeri kaç metre olmalıdır ki yolların kesişimi orantılı olsun? 🌳
Çözüm:
Bu problem, gerçek hayatta paralel çizgilerin kesenlerle orantılı parçalar ayırması prensibini yansıtmaktadır. Tales Teoremi burada devreye girer.
- 1. Adım: Tales Teoremi'ni Anlama
Paralel doğrular (yürüyüş yolları), farklı kesenler (bisiklet yolları) üzerinde orantılı doğru parçaları ayırır. - 2. Adım: Orantıyı Kurma
B1 ve B2 bisiklet yolları üzerindeki mesafeler arasındaki ilişkiyi Tales Teoremi ile kurabiliriz:
\( \frac{\text{B1 üzerindeki Y1-Y2 mesafesi}}{\text{B1 üzerindeki Y2-Y3 mesafesi}} = \frac{\text{B2 üzerindeki Y1-Y2 mesafesi}}{\text{B2 üzerindeki Y2-Y3 mesafesi}} \) - 3. Adım: Değerleri Yerine Yazma ve Çözme
Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
\( \frac{8}{12} = \frac{a}{15} \)
Orantıyı sadeleştirelim:
\( \frac{2}{3} = \frac{a}{15} \)
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 2 \times 15 = 3 \times a \)
\( 30 = 3a \)
Her iki tarafı 3'e bölelim:
\( a = \frac{30}{3} \)
\( a = 10 \)
Örnek 5:
Bir terzi, kumaş üzerine bir desen çizerken, birbirine paralel olan üç dikiş çizgisini (D1, D2, D3) belirlemiştir.
Bu dikiş çizgilerini kesen iki farklı mezura (M1, M2) kullanmaktadır.
M1 mezurası üzerinde, D1 ve D2 arasındaki mesafe 10 cm, D2 ve D3 arasındaki mesafe ise 15 cm'dir.
M2 mezurası üzerinde ise, D1 ve D2 arasındaki mesafe 12 cm olarak ölçülmüştür.
Terzi, desenin orantılı olması için M2 mezurası üzerindeki D2 ve D3 arasındaki mesafeyi kaç cm olarak ayarlamalıdır? 🧵
Bu dikiş çizgilerini kesen iki farklı mezura (M1, M2) kullanmaktadır.
M1 mezurası üzerinde, D1 ve D2 arasındaki mesafe 10 cm, D2 ve D3 arasındaki mesafe ise 15 cm'dir.
M2 mezurası üzerinde ise, D1 ve D2 arasındaki mesafe 12 cm olarak ölçülmüştür.
Terzi, desenin orantılı olması için M2 mezurası üzerindeki D2 ve D3 arasındaki mesafeyi kaç cm olarak ayarlamalıdır? 🧵
Çözüm:
Bu durum, terzinin hassas ölçümler yaparken Tales Teoremi'nin prensiplerini sezgisel olarak kullandığını gösterir. Paralel çizgiler, kesenler üzerinde orantılı parçalar oluşturur.
- 1. Adım: Tales Teoremi'nin Uygulanması
D1, D2, D3 paralel doğrular ve M1, M2 kesenlerdir. Tales Teoremi'ne göre:
\( \frac{\text{M1 üzerindeki D1-D2 mesafesi}}{\text{M1 üzerindeki D2-D3 mesafesi}} = \frac{\text{M2 üzerindeki D1-D2 mesafesi}}{\text{M2 üzerindeki D2-D3 mesafesi}} \) - 2. Adım: Bilinen Değerleri Yerleştirme
Soruda verilen değerleri formüle yerleştirelim. M2 üzerindeki D2-D3 mesafesine 'y' diyelim.
\( \frac{10}{15} = \frac{12}{y} \) - 3. Adım: 'y' Değerini Hesaplama
Orantıyı sadeleştirelim:
\( \frac{2}{3} = \frac{12}{y} \)
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 2 \times y = 3 \times 12 \)
\( 2y = 36 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( y = \frac{36}{2} \)
\( y = 18 \)
Örnek 6:
ABC üçgeninde, A noktası orijinde (0,0) olacak şekilde bir koordinat sistemi çizilmiştir.
[BC] kenarı x eksenine paraleldir.
B noktası (4, 6) ve C noktası (10, 6) koordinatlarındadır.
A noktasından çıkan bir ışın, [BC] kenarını D noktasında kesiyor. Bu ışın aynı zamanda [BC]'ye paralel olan bir doğruyu E noktasında kesiyor.
Eğer |AD| = 2 birim ise, |AE| kaç birimdir? 📈
[BC] kenarı x eksenine paraleldir.
B noktası (4, 6) ve C noktası (10, 6) koordinatlarındadır.
A noktasından çıkan bir ışın, [BC] kenarını D noktasında kesiyor. Bu ışın aynı zamanda [BC]'ye paralel olan bir doğruyu E noktasında kesiyor.
Eğer |AD| = 2 birim ise, |AE| kaç birimdir? 📈
Çözüm:
Bu soru, Tales Teoremi'ni koordinat geometrisi ile birleştirerek çözmemizi gerektirir.
- 1. Adım: Koordinatları ve Şekli Anlama
A(0,0), B(4,6), C(10,6). [BC] kenarı y=6 doğrusu üzerindedir ve x eksenine paraleldir. A'dan çıkan bir ışın [BC]'yi kesiyor. Bu ışın aynı zamanda A'dan geçen ve [BC]'ye paralel olan bir doğruyu E'de kesiyor. Ancak sorudaki ifade biraz kafa karıştırıcı. Genellikle Tales teoremi paralel doğrularla ilgilidir. Burada A'dan çıkan ışının [BC]'yi kestiği D noktası ve bu ışının başka bir doğruyu kestiği E noktası var. Soruyu Tales teoremi bağlamında yorumlarsak, A'dan çıkan ve [BC]'ye paralel bir doğruya kesen bir ışın söz konusu olmalı. Ancak verilenler bir üçgen ve kenarına paralel bir doğru kesiyor gibi. Soruyu Tales teoremi'nin temel mantığına oturtalım: Paralel çizgilerle oluşan orantılılık.
Soruyu şu şekilde yeniden yorumlayalım: ABC üçgeninde [BC] kenarına paralel bir doğru çizildiğinde oluşan benzerlik. Eğer A'dan çıkan ışın [BC]'yi D'de kesiyorsa ve E noktası da bu ışın üzerindeyse, bu durum Tales teoreminin doğrudan bir uygulaması olmayabilir. Ancak eğer soruda kastedilen, A'dan çıkan bir ışının, BC'ye paralel bir doğruyu kestiği ve bu ışın üzerindeki parçaların orantılılığı ise, o zaman Tales teoremi uygulanır.
Sorunun daha standart bir Tales Teoremi yorumu: A'dan çıkan bir ışın, birbirine paralel olan [BC] doğrusunu D'de ve bu ışın üzerinde, A'ya daha uzak bir noktada E'de kesiyor. Ve bu ışın üzerinde A, D, E sıralaması var. Eğer [BC]'ye paralel bir doğru çizilirse, bu doğru üzerindeki parçalar orantılı olur. Ancak burada A'dan çıkan ışın üzerinde D ve E noktaları var. Tales teoremi için paralel doğrulara ihtiyacımız var.
Soruyu şu şekilde revize edelim: ABC üçgeninde, A'dan çıkan bir ışın, [BC] kenarını D noktasında kesiyor. Bu ışın üzerinde A, D, E noktaları sıralanmıştır. Eğer A'dan geçen ve [BC]'ye paralel bir doğru çizilirse, bu doğru üzerindeki parçalar orantılı olur. Ancak burada E noktası A'dan çıkan ışın üzerinde.
En olası yorum: A'dan çıkan bir ışın, birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularını sırasıyla D ve E noktalarında kesmektedir. A noktası bu ışın üzerindedir. Eğer A, D, E sıralaması varsa ve d1 // d2 ise, o zaman Tales teoremi uygulanabilir. Sorudaki "ABC üçgeninde" ifadesi kafa karıştırıcı.
Tales Teoremi'nin temel mantığı: Paralel doğrular, kesenler üzerinde orantılı parçalar ayırır.
Varsayım: A'dan çıkan bir ışın, birbirine paralel olan iki doğruyu (birisi [BC] doğrusu olabilir) D ve E noktalarında kesiyor. A noktası bu ışın üzerindedir. A, D, E sıralaması vardır. |AD| = 2 birim. |AE| = ?
Eğer A, D, E sıralaması varsa ve |AD| = 2 ise, |AE| > 2 olmalıdır.
Soruyu yeniden düzenleyelim: A noktasından çıkan bir ışın, birbirine paralel olan d1 ve d2 doğrularını sırasıyla D ve E noktalarında kesmektedir. A, D, E noktaları bu ışın üzerinde doğru sal olarak sıralanmıştır. |AD| = 2 birimdir. Eğer d1 doğrusu üzerindeki bir parça ile d2 doğrusu üzerindeki karşılık gelen parça arasında bir ilişki verilirse, |AE| bulunabilir.
Sorunun orijinal metnini ve Tales teoremini birleştirmeye çalışalım: ABC üçgeninde A(0,0), B(4,6), C(10,6). [BC] y=6 doğrusu üzerinde. A'dan çıkan bir ışın [BC]'yi D'de kesiyor. Bu ışın üzerinde A, D, E sıralaması var. |AD| = 2. |AE| = ?
D noktası [BC] üzerindedir. Yani D'nin y-koordinatı 6'dır. A(0,0) ve D(x_D, 6) noktalarından geçen doğrunun denklemi: \( y = mx \). 6 = m x_D.
D noktası [BC] üzerindedir. D'nin x-koordinatı 4 ile 10 arasındadır.
A(0,0) ve D(x_D, 6) arasındaki mesafe |AD| = \( \sqrt{x_D^2 + 6^2} \) = 2. Bu imkansızdır çünkü \( \sqrt{x_D^2 + 36} \) her zaman en az 6'dır.
Soruda bir hata veya eksiklik var gibi görünüyor. Tales teoremi için paralel doğrular ve kesenler gereklidir.
Eğer soru şöyle olsaydı:* A(0,0) noktasından çıkan bir ışın, birbirine paralel olan y=6 doğrusunu D'de ve y=12 doğrusunu E'de kesmektedir. A, D, E sıralaması vardır. |AD| = 2 ise |AE| kaçtır?
Bu durumda:
- 1. Adım: Orantıyı Kurma
Tales Teoremi'ne göre, A noktasından çıkan ışın üzerindeki mesafelerin oranları, paralel doğrular üzerindeki karşılık gelen mesafelerin oranlarına eşittir.
\( \frac{|AD|}{|AE|} = \frac{\text{A'dan d1'e olan uzaklık}}{\text{A'dan d2'ye olan uzaklık}} \)
Burada uzaklıklar y-koordinatlarıyla orantılıdır.
\( \frac{|AD|}{|AE|} = \frac{6}{12} \) - 2. Adım: Değerleri Yerine Koyma
\( \frac{2}{|AE|} = \frac{1}{2} \) - 3. Adım: |AE|'yi Bulma
İçler dışlar çarpımı ile:
\( |AE| = 2 \times 2 \)
\( |AE| = 4 \)
Soruyu orijinal haliyle ele alıp, Tales Teoremi'nin temel mantığını kullanarak bir çözüm üretmeye çalışalım, ancak çelişkiyi not edelim.
A(0,0), B(4,6), C(10,6). D noktası [BC] üzerindedir. Dolayısıyla D'nin y-koordinatı 6'dır. D(x_D, 6). A(0,0) ile D(x_D, 6) arasındaki mesafe |AD| = \( \sqrt{x_D^2 + 6^2} \) = 2. Bu matematiksel olarak mümkün değildir.
Soruyu Tales Teoremi'nin temel prensibi olan "paralel doğrular kesenler üzerinde orantılı parçalar ayırır" şeklinde yorumlayarak, verilen sayısal değerlerin bir Tales teoremi problemi oluşturduğu varsayımıyla ilerleyelim.
Eğer |AD| = 2 birim ve A'dan çıkan bir ışın üzerindeyse, ve bu ışın başka bir doğruyu E'de kesiyorsa, ve bu iki doğru paralel ise, o zaman orantı kurulabilir.
Varsayılan Soru: A noktasından çıkan bir ışın, birbirine paralel olan iki doğruyu (d1 ve d2) sırasıyla D ve E noktalarında kesmektedir. A, D, E noktaları bu ışın üzerinde doğru sal olarak sıralanmıştır. |AD| = 2 birimdir. Eğer A noktasından d1 doğrusuna olan uzaklık 6 birim ve A noktasından d2 doğrusuna olan uzaklık 12 birim ise, |AE| kaç birimdir?
Bu durumda çözüm yukarıdaki gibi 4 birim olurdu.
Orijinal sorunun metnini olduğu gibi alıp, Tales Teoremi'nin mantığını uygulayalım:
ABC üçgeninde A(0,0), B(4,6), C(10,6). D noktası [BC] üzerindedir. A'dan çıkan ışın D'de keser. Bu ışın üzerinde A, D, E sıralaması var. |AD|=2. |AE|=?
Burada [BC] kenarı y=6 doğrusudur. A(0,0) noktasından y=6 doğrusuna olan uzaklık 6 birimdir. Eğer E noktası, A'dan çıkan ışın üzerinde ve A'dan daha uzaktaysa, ve eğer [BC]'ye paralel bir doğruyu kesiyorsa, o zaman Tales teoremi uygulanabilir.
Eğer soruda kastedilen: A'dan çıkan bir ışın, A'ya göre farklı uzaklıklarda bulunan ve birbirine paralel olan iki doğruyu (d1 ve d2) kesiyor. d1 doğrusu üzerindeki kesim noktası D, d2 doğrusu üzerindeki kesim noktası E'dir. A, D, E sıralaması vardır. |AD| = 2 birimdir. Eğer d1 doğrusu A'ya 6 birim uzaklıkta ve d2 doğrusu A'ya 12 birim uzaklıkta ise, |AE| kaçtır?
Bu durumda çözüm yine 4 birim olur.
Soruyu, verilen koordinatları ve Tales teoremini birleştirecek şekilde en makul hale getirelim:
A(0,0) noktasından çıkan bir ışın, y=6 doğrusunu D noktasında ve y=12 doğrusunu E noktasında kesmektedir. A, D, E sıralaması vardır. |AD| = 2 birimdir.
Bu durumda:- 1. Adım: Orantıyı Kurma
Tales Teoremi'ne göre, A noktasından çıkan ışın üzerindeki mesafelerin oranları, paralel doğrulara olan uzaklıkların oranlarına eşittir.
\( \frac{|AD|}{|AE|} = \frac{\text{A'dan y=6 doğrusuna uzaklık}}{\text{A'dan y=12 doğrusuna uzaklık}} \) - 2. Adım: Değerleri Yerine Koyma
A(0,0) noktasının y=6 doğrusuna uzaklığı 6 birimdir. A(0,0) noktasının y=12 doğrusuna uzaklığı 12 birimdir.
\( \frac{2}{|AE|} = \frac{6}{12} \) - 3. Adım: |AE|'yi Bulma
Orantıyı sadeleştirelim:
\( \frac{2}{|AE|} = \frac{1}{2} \)
İçler dışlar çarpımı ile:
\( |AE| = 2 \times 2 \)
\( |AE| = 4 \)
Not: Orijinal sorudaki |AD|=2 birim bilgisi, A(0,0) ve D(x_D, 6) noktaları için \( \sqrt{x_D^2 + 36} = 2 \) denklemini verir ki bu matematiksel olarak imkansızdır. Bu nedenle, sorunun Tales teoremi bağlamında yorumlanması ve sayıların bu teoreme uygun hale getirilmesi gerekmektedir. Yukarıdaki çözüm, Tales teoremi'nin temel prensibini kullanarak, verilen sayısal değerlerin bir Tales problemi oluşturduğu varsayımıyla yapılmıştır. - 1. Adım: Orantıyı Kurma
Örnek 7:
İki paralel doğru (d1 ve d2) ve bu doğruları kesen iki farklı doğru (k1 ve k2) verilmiştir.
k1 doğrusu üzerinde oluşan parçalar |AB| = 3 cm ve |BC| = 6 cm'dir.
k2 doğrusu üzerinde oluşan karşılıklı parçalar ise |DE| = x cm ve |EF| = 10 cm'dir.
Buna göre x değeri kaçtır? ➕
k1 doğrusu üzerinde oluşan parçalar |AB| = 3 cm ve |BC| = 6 cm'dir.
k2 doğrusu üzerinde oluşan karşılıklı parçalar ise |DE| = x cm ve |EF| = 10 cm'dir.
Buna göre x değeri kaçtır? ➕
Çözüm:
Bu soru, Tales Teoremi'nin en temel uygulamalarından birini göstermektedir.
- 1. Adım: Tales Teoremi'ni Hatırlama
Paralel doğrular, farklı kesenler üzerinde orantılı doğru parçaları ayırır.
\( \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|} \) - 2. Adım: Verilen Değerleri Yerine Koyma
Soruda verilen değerleri formülde yerine yazalım:
\( \frac{3}{6} = \frac{x}{10} \) - 3. Adım: Denklem Çözme
Orantıyı sadeleştirirsek:
\( \frac{1}{2} = \frac{x}{10} \)
İçler dışlar çarpımı ile:
\( 1 \times 10 = 2 \times x \)
\( 10 = 2x \)
Her iki tarafı 2'ye bölersek:
\( x = \frac{10}{2} \)
\( x = 5 \)
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, [DE] doğru parçası [BC] kenarına paraleldir.
A, D, B noktaları ve A, E, C noktaları doğrusaldır.
|AD| = 2|DB| ve |AE| = 6 cm'dir.
Buna göre |EC| kaç cm'dir? 📐
A, D, B noktaları ve A, E, C noktaları doğrusaldır.
|AD| = 2|DB| ve |AE| = 6 cm'dir.
Buna göre |EC| kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu problem, Tales Teoremi'nin üçgen içindeki bir uygulamasıdır ve benzerlik kavramıyla yakından ilişkilidir.
- 1. Adım: Verilen Oranı Anlama
Soruda |AD| = 2|DB| olarak verilmiş. Bu demek oluyor ki, |AD| parçası |DB| parçasının 2 katıdır.
Eğer |DB| = k ise, |AD| = 2k olur.
Bu durumda |AB| = |AD| + |DB| = 2k + k = 3k olur. - 2. Adım: Tales Teoremi'ni Uygulama
DE // BC olduğundan, A köşesinden çıkan ışınlar üzerindeki parçalar orantılıdır:
\( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) - 3. Adım: Değerleri Yerine Koyma ve |EC|'yi Bulma
Orantıyı şu şekilde de yazabiliriz:
\( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \)
İlk orantıyı kullanalım:
\( \frac{2k}{k} = \frac{6}{|EC|} \)
\( 2 = \frac{6}{|EC|} \)
İçler dışlar çarpımı ile:
\( 2 \times |EC| = 6 \)
\( |EC| = \frac{6}{2} \)
\( |EC| = 3 \)
Örnek 9:
Bir yol yapım projesinde, birbirine paralel olan üç ana yol (Y1, Y2, Y3) planlanmıştır.
Bu yolları kesen iki farklı servis yolu (S1, S2) bulunmaktadır.
S1 servis yolu üzerinde, Y1 ve Y2 arasındaki mesafe 10 metre, Y2 ve Y3 arasındaki mesafe ise 15 metredir.
S2 servis yolu üzerinde ise, Y1 ve Y2 arasındaki mesafe 12 metre olarak ölçülmüştür.
Proje yöneticisi, S2 servis yolu üzerindeki Y2 ve Y3 arasındaki mesafenin kaç metre olması gerektiğini hesaplamalıdır ki, tüm yolların kesişimi Tales Teoremi'ne uygun olsun? 🛣️
Bu yolları kesen iki farklı servis yolu (S1, S2) bulunmaktadır.
S1 servis yolu üzerinde, Y1 ve Y2 arasındaki mesafe 10 metre, Y2 ve Y3 arasındaki mesafe ise 15 metredir.
S2 servis yolu üzerinde ise, Y1 ve Y2 arasındaki mesafe 12 metre olarak ölçülmüştür.
Proje yöneticisi, S2 servis yolu üzerindeki Y2 ve Y3 arasındaki mesafenin kaç metre olması gerektiğini hesaplamalıdır ki, tüm yolların kesişimi Tales Teoremi'ne uygun olsun? 🛣️
Çözüm:
Bu proje, gerçek dünyada paralel çizgilerin ve kesenlerin orantılılık prensibini nasıl kullandığını gösteren harika bir örnektir. Tales Teoremi burada devreye girer.
- 1. Adım: Tales Teoremi'nin Prensibini Anlama
Paralel doğrular (Y1, Y2, Y3), farklı kesenler (S1, S2) üzerinde orantılı doğru parçaları ayırır. - 2. Adım: Orantıyı Kurma
S1 ve S2 servis yolları üzerindeki mesafeler arasındaki ilişkiyi Tales Teoremi ile kurabiliriz:
\( \frac{\text{S1 üzerindeki Y1-Y2 mesafesi}}{\text{S1 üzerindeki Y2-Y3 mesafesi}} = \frac{\text{S2 üzerindeki Y1-Y2 mesafesi}}{\text{S2 üzerindeki Y2-Y3 mesafesi}} \) - 3. Adım: Değerleri Yerine Koyma ve Çözme
Soruda verilen değerleri formülde yerine koyalım. S2 üzerindeki Y2-Y3 mesafesine 'z' diyelim.
\( \frac{10}{15} = \frac{12}{z} \)
Orantıyı sadeleştirelim:
\( \frac{2}{3} = \frac{12}{z} \)
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 2 \times z = 3 \times 12 \)
\( 2z = 36 \)
Her iki tarafı 2'ye bölelim:
\( z = \frac{36}{2} \)
\( z = 18 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-teoremi-ornek-sorular/sorular