🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales Teoremi Öklid Bağıntısı Pisagor Bağıntısı Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales Teoremi Öklid Bağıntısı Pisagor Bağıntısı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir. 📏
AD uzunluğu 3 cm, DB uzunluğu 6 cm ve AE uzunluğu 4 cm olduğuna göre, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
(Şekilde, A tepe noktası, D AB üzerinde, E AC üzerinde ve DE ile BC birbirine paraleldir.)
AD uzunluğu 3 cm, DB uzunluğu 6 cm ve AE uzunluğu 4 cm olduğuna göre, EC uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
(Şekilde, A tepe noktası, D AB üzerinde, E AC üzerinde ve DE ile BC birbirine paraleldir.)
Çözüm:
Bu soru, Tales Teoremi'nin temel uygulamalarından biridir. 📐 Paralel doğruların kesiminde oluşan orantılı parçaları kullanırız.
- 👉 Adım 1: Tales Teoremi'ni hatırlayalım. Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır.
- 👉 Adım 2: Verilen değerleri yerine yazalım:
\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) - 👉 Adım 3: Sayıları denkleme yerleştirelim:
\( \frac{3}{6} = \frac{4}{EC} \) - 👉 Adım 4: İçler dışlar çarpımı yaparak EC uzunluğunu bulalım:
\( 3 \cdot EC = 6 \cdot 4 \)
\( 3 \cdot EC = 24 \)
\( EC = \frac{24}{3} \)
\( EC = 8 \) cm - ✅ Sonuç: EC uzunluğu 8 cm'dir.
Örnek 2:
Bir dik üçgen olan ABC üçgeninde, A açısı 90 derecedir. 📐 A noktasından BC kenarına indirilen dikme ayağı H olsun.
BH uzunluğu 4 cm ve HC uzunluğu 9 cm olduğuna göre, AH uzunluğu kaç cm'dir? 💡
BH uzunluğu 4 cm ve HC uzunluğu 9 cm olduğuna göre, AH uzunluğu kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
Bu soru, Öklid Bağıntıları'ndan Yükseklik Bağıntısı'nın doğrudan bir uygulamasıdır. 📏
- 👉 Adım 1: Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı hatırlayalım: Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Yani, \( AH^2 = BH \cdot HC \) - 👉 Adım 2: Verilen değerleri bağıntıda yerine yazalım:
\( AH^2 = 4 \cdot 9 \) - 👉 Adım 3: Çarpma işlemini yapalım:
\( AH^2 = 36 \) - 👉 Adım 4: AH uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
\( AH = \sqrt{36} \)
\( AH = 6 \) cm - ✅ Sonuç: AH uzunluğu 6 cm'dir.
Örnek 3:
Bir dik üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğu 5 cm, diğerinin uzunluğu 12 cm'dir. 📐 Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu soru, Pisagor Bağıntısı'nın en temel uygulamasıdır. 📏
- 👉 Adım 1: Pisagor Bağıntısı'nı hatırlayalım: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Yani, \( a^2 + b^2 = c^2 \) (burada a ve b dik kenarlar, c hipotenüstür). - 👉 Adım 2: Verilen dik kenar uzunluklarını \( a=5 \) cm ve \( b=12 \) cm olarak kabul edelim ve bağıntıda yerine yazalım:
\( 5^2 + 12^2 = c^2 \) - 👉 Adım 3: Kare alma işlemlerini yapalım:
\( 25 + 144 = c^2 \) - 👉 Adım 4: Toplama işlemini yapalım:
\( 169 = c^2 \) - 👉 Adım 5: Hipotenüs uzunluğunu (c) bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
\( c = \sqrt{169} \)
\( c = 13 \) cm - ✅ Sonuç: Hipotenüs uzunluğu 13 cm'dir.
Örnek 4:
Bir merdiven duvara yaslanmıştır. Merdivenin ayağı duvardan 6 metre uzaklıkta, merdivenin üst ucu ise yerden 8 metre yükseklikte duvara değmektedir. 🪜 Bu merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🧐
Çözüm:
Bu bir günlük hayat ve Pisagor Bağıntısı uygulamasıdır. Merdiven, duvar ve yer düzlemi bir dik üçgen oluşturur. Duvar ile yer birbirine diktir. 📐
- 👉 Adım 1: Oluşan dik üçgeni hayal edelim. Dik kenarlar, merdivenin duvardan uzaklığı ve merdivenin duvarda ulaştığı yüksekliktir. Merdivenin uzunluğu ise hipotenüstür.
- 👉 Adım 2: Pisagor Bağıntısı'nı yazalım: \( (\text{dik kenar 1})^2 + (\text{dik kenar 2})^2 = (\text{hipotenüs})^2 \)
- 👉 Adım 3: Verilen değerleri yerine yazalım:
\( 6^2 + 8^2 = (\text{merdiven uzunluğu})^2 \) - 👉 Adım 4: Kare alma işlemlerini yapalım:
\( 36 + 64 = (\text{merdiven uzunluğu})^2 \) - 👉 Adım 5: Toplama işlemini yapalım:
\( 100 = (\text{merdiven uzunluğu})^2 \) - 👉 Adım 6: Merdiven uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
\( \text{merdiven uzunluğu} = \sqrt{100} \)
\( \text{merdiven uzunluğu} = 10 \) metre - ✅ Sonuç: Merdivenin uzunluğu 10 metredir.
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde DE doğru parçası BC doğru parçasına paraleldir. 📏
AD uzunluğu \( x \), DB uzunluğu \( x+2 \), AE uzunluğu 6 cm ve EC uzunluğu 9 cm olduğuna göre, \( x \) kaçtır? 🤔
(Şekilde, A tepe noktası, D AB üzerinde, E AC üzerinde ve DE ile BC birbirine paraleldir.)
AD uzunluğu \( x \), DB uzunluğu \( x+2 \), AE uzunluğu 6 cm ve EC uzunluğu 9 cm olduğuna göre, \( x \) kaçtır? 🤔
(Şekilde, A tepe noktası, D AB üzerinde, E AC üzerinde ve DE ile BC birbirine paraleldir.)
Çözüm:
Bu da Tales Teoremi'nin bir uygulamasıdır. Bilinmeyen bir değişken içeren denklemi çözmemiz gerekiyor. 🧮
- 👉 Adım 1: Tales Teoremi'ne göre, paralel doğruların kestiği kenarlar orantılıdır:
\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) - 👉 Adım 2: Verilen ifadeleri bağıntıda yerine yazalım:
\( \frac{x}{x+2} = \frac{6}{9} \) - 👉 Adım 3: Oranı sadeleştirelim (6/9 = 2/3):
\( \frac{x}{x+2} = \frac{2}{3} \) - 👉 Adım 4: İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi çözelim:
\( 3 \cdot x = 2 \cdot (x+2) \)
\( 3x = 2x + 4 \) - 👉 Adım 5: \( x \) terimlerini bir araya toplayalım:
\( 3x - 2x = 4 \)
\( x = 4 \) - ✅ Sonuç: \( x \) değeri 4'tür.
Örnek 6:
Bir dik üçgen olan ABC üçgeninde, A açısı 90 derecedir. 📐 A noktasından BC kenarına indirilen dikme ayağı H olsun.
AB uzunluğu (c) 6 cm ve BH uzunluğu (p) 3 cm olduğuna göre, BC uzunluğu (a) kaç cm'dir? 💡
AB uzunluğu (c) 6 cm ve BH uzunluğu (p) 3 cm olduğuna göre, BC uzunluğu (a) kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
Bu soru, Öklid Bağıntıları'ndan Dik Kenar Bağıntısı'nın bir uygulamasıdır. 📏
- 👉 Adım 1: Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı'nı hatırlayalım: Bir dik üçgende dik kenarın karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı kendi tarafındaki parçanın uzunluğu ile hipotenüsün tamamının uzunluğunun çarpımına eşittir.
Yani, \( c^2 = p \cdot a \) (burada c dik kenar, p kendi tarafındaki parça, a ise hipotenüsün tamamıdır). - 👉 Adım 2: Verilen değerleri bağıntıda yerine yazalım:
\( 6^2 = 3 \cdot a \) - 👉 Adım 3: Kare alma işlemini yapalım:
\( 36 = 3a \) - 👉 Adım 4: \( a \) uzunluğunu bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim:
\( a = \frac{36}{3} \)
\( a = 12 \) cm - ✅ Sonuç: BC uzunluğu (hipotenüs) 12 cm'dir.
Örnek 7:
Bir dikdörtgenin kısa kenarı 9 cm, uzun kenarı 12 cm'dir. Bu dikdörtgenin köşegen uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soru, Pisagor Bağıntısı'nın bir dikdörtgen üzerindeki uygulamasıdır. Dikdörtgenin köşegeni, iki dik kenar ve kendisiyle bir dik üçgen oluşturur. 📐
- 👉 Adım 1: Dikdörtgenin bir köşegenini çizdiğimizde, dikdörtgen iki adet dik üçgene ayrılır. Bu dik üçgenlerin dik kenarları dikdörtgenin kenarlarıdır, hipotenüsü ise dikdörtgenin köşegenidir.
- 👉 Adım 2: Pisagor Bağıntısı'nı yazalım: \( (\text{dik kenar 1})^2 + (\text{dik kenar 2})^2 = (\text{hipotenüs})^2 \)
- 👉 Adım 3: Verilen kenar uzunluklarını yerine yazalım:
\( 9^2 + 12^2 = (\text{köşegen uzunluğu})^2 \) - 👉 Adım 4: Kare alma işlemlerini yapalım:
\( 81 + 144 = (\text{köşegen uzunluğu})^2 \) - 👉 Adım 5: Toplama işlemini yapalım:
\( 225 = (\text{köşegen uzunluğu})^2 \) - 👉 Adım 6: Köşegen uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
\( \text{köşegen uzunluğu} = \sqrt{225} \)
\( \text{köşegen uzunluğu} = 15 \) cm - ✅ Sonuç: Dikdörtgenin köşegen uzunluğu 15 cm'dir.
Örnek 8:
Bir inşaat mühendisi, bir yapının çatısını tasarlıyor. Çatının eğimi için dik üçgen şeklinde bir destek kullanacak. Destek direğinin yüksekliği (dik kenar) 7 metre ve çatının yataydaki açıklığı (diğer dik kenar) 24 metredir. 👷♂️ Bu destek direğinin hipotenüs uzunluğu (çatının eğik kenarı) kaç metre olmalıdır? 📐
Çözüm:
Bu, Pisagor Bağıntısı'nın inşaat alanındaki pratik bir uygulamasıdır. Çatı desteği bir dik üçgen oluşturur. 🏗️
- 👉 Adım 1: Çatı desteği bir dik üçgen oluşturduğundan, direk yüksekliği ve yatay açıklık dik kenarları, çatının eğik kenarı ise hipotenüsü temsil eder.
- 👉 Adım 2: Pisagor Bağıntısı'nı uygulayalım: \( (\text{yükseklik})^2 + (\text{yatay açıklık})^2 = (\text{eğik kenar})^2 \)
- 👉 Adım 3: Verilen değerleri yerine yazalım:
\( 7^2 + 24^2 = (\text{eğik kenar})^2 \) - 👉 Adım 4: Kare alma işlemlerini yapalım:
\( 49 + 576 = (\text{eğik kenar})^2 \) - 👉 Adım 5: Toplama işlemini yapalım:
\( 625 = (\text{eğik kenar})^2 \) - 👉 Adım 6: Eğik kenar uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
\( \text{eğik kenar} = \sqrt{625} \)
\( \text{eğik kenar} = 25 \) metre - ✅ Sonuç: Çatının eğik kenarı 25 metre olmalıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-teoremi-oklid-bagintisi-pisagor-bagintisi/sorular