💡 9. Sınıf Matematik: Tales Teoremi, Kelebek Benzerliği ve Pisagor-Öklid Bağıntıları Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğruları, kesişen d3 ve d4 doğruları tarafından kesiliyor. d3 doğrusu üzerinde oluşan parçaların uzunlukları 6 birim ve 9 birimdir. d4 doğrusu üzerinde oluşan parçalardan biri 12 birim olduğuna göre, diğer parçanın uzunluğu kaç birimdir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, Tales Teoremi'nin temel prensiplerini kullanır. Tales Teoremi'ne göre, paralel doğruları kesen herhangi iki doğrunun belirlediği doğru parçaları orantılıdır.
Verilenler:
Paralel doğrular: d1 || d2
Kesen doğrular: d3 ve d4
d3 üzerindeki parçalar: 6 birim ve 9 birim
d4 üzerindeki bilinen parça: 12 birim
Bulunması gereken: d4 üzerindeki diğer parça (x diyelim)
Her iki taraf 6'ya bölünür: \( x = \frac{108}{6} \)
\( x = 18 \)
Sonuç olarak, d4 doğrusu üzerindeki diğer parçanın uzunluğu 18 birimdir. ✅
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Şekildeki ABC üçgeninde DE doğrusu BC doğrusuna paraleldir. AD = 4 cm, DB = 6 cm ve BC = 15 cm olduğuna göre, DE doğru parçasının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm ve Açıklama
Bu problem, benzer üçgenler ve özellikle kelebek benzerliği prensibi ile çözülür. DE'nin BC'ye paralel olması, ABC üçgeni ile ADE üçgeninin benzer olmasını sağlar.
Verilenler:
DE || BC
AD = 4 cm
DB = 6 cm
BC = 15 cm
Bulunması gereken: DE uzunluğu (x diyelim)
Benzerlik oranını kurmak için önce AB kenarının tamamını bulalım:
AB = AD + DB = 4 cm + 6 cm = 10 cm
Şimdi ADE ve ABC üçgenlerinin benzerlik oranını yazalım:
Benzerlik oranı = \( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \)
Her iki taraf 10'a bölünür: \( x = \frac{60}{10} \)
\( x = 6 \)
Dolayısıyla, DE doğru parçasının uzunluğu 6 cm'dir. 👉
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 5 cm ve 12 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor Teoremi'ni kullanarak hesaplayınız. 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, Pisagor Teoremi'nin doğrudan uygulandığı klasik bir örnektir. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
Verilenler:
Dik kenar 1 (a) = 5 cm
Dik kenar 2 (b) = 12 cm
Bulunması gereken: Hipotenüs (c)
Pisagor Teoremi formülü şöyledir:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Değerleri formülde yerine koyalım:
\( 5^2 + 12^2 = c^2 \)
\( 25 + 144 = c^2 \)
\( 169 = c^2 \)
c'yi bulmak için her iki tarafın karekökü alınır:
\( c = \sqrt{169} \)
\( c = 13 \)
Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 13 cm'dir. ✅
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir dik üçgende hipotenüs 17 birim ve bir dik kenar 8 birimdir. Diğer dik kenarın uzunluğunu Pisagor Teoremi ile bulunuz. 📏
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde de Pisagor Teoremi kullanılacaktır. Bu sefer hipotenüs ve bir dik kenar verilmiş, diğer dik kenar sorulmaktadır.
Verilenler:
Hipotenüs (c) = 17 birim
Bir dik kenar (a) = 8 birim
Bulunması gereken: Diğer dik kenar (b)
Pisagor Teoremi formülü:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Bilinen değerleri formülde yerine koyalım:
\( 8^2 + b^2 = 17^2 \)
\( 64 + b^2 = 289 \)
b²'yi yalnız bırakmak için 64'ü karşıya atalım:
\( b^2 = 289 - 64 \)
\( b^2 = 225 \)
b'yi bulmak için karekök alalım:
\( b = \sqrt{225} \)
\( b = 15 \)
Diğer dik kenarın uzunluğu 15 birimdir. 👉
9. Sınıf Matematik: Tales Teoremi, Kelebek Benzerliği ve Pisagor-Öklid Bağıntıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel olan d1 ve d2 doğruları, kesişen d3 ve d4 doğruları tarafından kesiliyor. d3 doğrusu üzerinde oluşan parçaların uzunlukları 6 birim ve 9 birimdir. d4 doğrusu üzerinde oluşan parçalardan biri 12 birim olduğuna göre, diğer parçanın uzunluğu kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Bu soru, Tales Teoremi'nin temel prensiplerini kullanır. Tales Teoremi'ne göre, paralel doğruları kesen herhangi iki doğrunun belirlediği doğru parçaları orantılıdır.
Verilenler:
Paralel doğrular: d1 || d2
Kesen doğrular: d3 ve d4
d3 üzerindeki parçalar: 6 birim ve 9 birim
d4 üzerindeki bilinen parça: 12 birim
Bulunması gereken: d4 üzerindeki diğer parça (x diyelim)
Her iki taraf 6'ya bölünür: \( x = \frac{108}{6} \)
\( x = 18 \)
Sonuç olarak, d4 doğrusu üzerindeki diğer parçanın uzunluğu 18 birimdir. ✅
Örnek 2:
Şekildeki ABC üçgeninde DE doğrusu BC doğrusuna paraleldir. AD = 4 cm, DB = 6 cm ve BC = 15 cm olduğuna göre, DE doğru parçasının uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problem, benzer üçgenler ve özellikle kelebek benzerliği prensibi ile çözülür. DE'nin BC'ye paralel olması, ABC üçgeni ile ADE üçgeninin benzer olmasını sağlar.
Verilenler:
DE || BC
AD = 4 cm
DB = 6 cm
BC = 15 cm
Bulunması gereken: DE uzunluğu (x diyelim)
Benzerlik oranını kurmak için önce AB kenarının tamamını bulalım:
AB = AD + DB = 4 cm + 6 cm = 10 cm
Şimdi ADE ve ABC üçgenlerinin benzerlik oranını yazalım:
Benzerlik oranı = \( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \)
Her iki taraf 10'a bölünür: \( x = \frac{60}{10} \)
\( x = 6 \)
Dolayısıyla, DE doğru parçasının uzunluğu 6 cm'dir. 👉
Örnek 3:
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 5 cm ve 12 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu Pisagor Teoremi'ni kullanarak hesaplayınız. 📐
Çözüm:
Bu soru, Pisagor Teoremi'nin doğrudan uygulandığı klasik bir örnektir. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
Verilenler:
Dik kenar 1 (a) = 5 cm
Dik kenar 2 (b) = 12 cm
Bulunması gereken: Hipotenüs (c)
Pisagor Teoremi formülü şöyledir:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Değerleri formülde yerine koyalım:
\( 5^2 + 12^2 = c^2 \)
\( 25 + 144 = c^2 \)
\( 169 = c^2 \)
c'yi bulmak için her iki tarafın karekökü alınır:
\( c = \sqrt{169} \)
\( c = 13 \)
Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 13 cm'dir. ✅
Örnek 4:
Bir dik üçgende hipotenüs 17 birim ve bir dik kenar 8 birimdir. Diğer dik kenarın uzunluğunu Pisagor Teoremi ile bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu problemde de Pisagor Teoremi kullanılacaktır. Bu sefer hipotenüs ve bir dik kenar verilmiş, diğer dik kenar sorulmaktadır.