📄 9. Sınıf Matematik: Tales Teoremi, Kelebek Benzerliği ve Pisagor-Öklid Bağıntıları Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bu problemde Tales Teoremi'nin temel benzerlik teoremi uygulaması kullanılacaktır. \(DE \parallel BC\) olduğu için \(ADE\) üçgeni ile \(ABC\) üçgeni benzerdir.

Benzerlikten dolayı kenar uzunlukları orantılıdır:

\(\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|}\)

Verilen değerleri yerine yazalım:

\(\frac{4}{6} = \frac{3}{|EC|}\)

İçler dışlar çarpımı yaparak \(|EC|\) uzunluğunu bulalım:

\(4 \cdot |EC| = 6 \cdot 3\)

\(4 \cdot |EC| = 18\)

\(|EC| = \frac{18}{4}\)

\(|EC| = 4.5\text{ cm}\)

Bu nedenle, \(|EC|\) uzunluğu \(4.5\text{ cm}\) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik \(h\), hipotenüsü ayırdığı parçalar \(p\) ve \(k\) olsun. Öklid bağıntılarına göre:

1. \(h^2 = p \cdot k\)

2. \(b^2 = p \cdot c\) (\(b\) kenarı \(p\) tarafında, \(c\) hipotenüsün tamamı)

3. \(a^2 = k \cdot c\) (\(a\) kenarı \(k\) tarafında, \(c\) hipotenüsün tamamı)



Verilenler: \(h = 6\text{ cm}\), \(p = x = 4\text{ cm}\). \(k = y\) olsun.



Öncelikle \(y\) uzunluğunu bulalım:

\(h^2 = x \cdot y\)

\(6^2 = 4 \cdot y\)

\(36 = 4 \cdot y\)

\(y = \frac{36}{4}\)

\(y = 9\text{ cm}\)



Şimdi \(x\) tarafındaki dik kenarın uzunluğunu bulalım. Bu kenara \(b\) diyelim. Hipotenüsün tamamı \(c = x + y = 4 + 9 = 13\text{ cm}\) olur.

Öklid bağıntılarından \(b^2 = p \cdot c\) formülünü kullanalım:

\(b^2 = 4 \cdot 13\)

\(b^2 = 52\)

\(b = \sqrt{52}\)

\(b = \sqrt{4 \cdot 13}\)

\(b = 2\sqrt{13}\text{ cm}\)



Bu durumda \(y\) uzunluğu \(9\text{ cm}\) ve \(x\) tarafındaki dik kenarın uzunluğu \(2\sqrt{13}\text{ cm}\) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

Birinci Kısım: \(|ED|\) uzunluğunu bulma (Kelebek Benzerliği)

\(AB \parallel CD\) olduğu için \(ABE\) üçgeni ile \(CDE\) üçgeni arasında kelebek benzerliği vardır.

Karşılıklı kenarların oranları eşittir:

\(\frac{|AE|}{|EC|} = \frac{|BE|}{|ED|} = \frac{|AB|}{|CD|}\)

Verilen değerleri yerine yazalım:

\(\frac{3}{9} = \frac{4}{|ED|}\)

Oranı sadeleştirelim:

\(\frac{1}{3} = \frac{4}{|ED|}\)

İçler dışlar çarpımı yaparak \(|ED|\) uzunluğunu bulalım:

\(1 \cdot |ED| = 3 \cdot 4\)

\(|ED| = 12\text{ cm}\)



İkinci Kısım: \(AB\) kenarının uzunluğunu bulma (Pisagor Teoremi)

Eğer \(AB\) ve \(CD\) kenarları \(E\) noktasında dik kesişiyorsa, bu \(ABE\) üçgeninin \(E\) noktasında dik açılı olduğu anlamına gelir. Yani \(m(\widehat{AEB}) = 90^\circ\).

\(ABE\) bir dik üçgen olduğuna göre, Pisagor Teoremi'ni kullanarak \(|AB|\) uzunluğunu bulabiliriz:

\(|AB|^2 = |AE|^2 + |BE|^2\)

Verilen değerleri yerine yazalım:

\(|AB|^2 = 3^2 + 4^2\)

\(|AB|^2 = 9 + 16\)

\(|AB|^2 = 25\)

\(|AB| = \sqrt{25}\)

\(|AB| = 5\text{ cm}\)



Bu durumda \(|ED|\) uzunluğu \(12\text{ cm}\) ve \(AB\) kenarının uzunluğu \(5\text{ cm}\) olarak bulunur.