9. Sınıf Tales problemleri Çözümlü Sorular ve Örnekler

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

Birbirine paralel \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları veriliyor. Bu doğruları kesen bir \( d_3 \) doğrusu \( d_1 \) doğrusunu A noktasında, \( d_2 \) doğrusunu B noktasında kesiyor. \( d_3 \) doğrusunu kesen başka bir \( d_4 \) doğrusu ise \( d_1 \) doğrusunu C noktasında, \( d_2 \) doğrusunu D noktasında kesiyor. \( |AB| = 5 \) cm ve \( |CD| = 7 \) cm olduğuna göre, \( |AC| \) kaç cm'dir?

Çözüm ve Açıklama

Bu problemde Tales teoreminin bir uygulaması söz konusudur. Paralel doğrular ve kesenler arasındaki orantı incelenir.

Temel Prensip: Paralel doğrular tarafından kesilen doğrularda, orantılı bölümler oluşur.
Uygulama: Soruda verilen \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları paraleldir. \( d_3 \) ve \( d_4 \) doğruları ise bu paralelleri kesen doğrulardır.
Orantı Kurulumu: Tales teoremine göre, kesen doğrular üzerindeki doğru parçalarının uzunlukları orantılıdır. Bu durumda, \( d_3 \) doğrusu üzerindeki \( |AB| \) ile \( d_4 \) doğrusu üzerindeki \( |CD| \) arasında bir ilişki vardır. Ancak, bu soruda doğrudan bir orantı kurulmaz. Soruda verilen bilgiler, aslında iki farklı kesenin aynı paralel doğruları kestiği durumu anlatır.
Dikkat Edilmesi Gereken Nokta: Soruda verilen \( |AB| \) ve \( |CD| \) uzunlukları, aynı kesen üzerindeki parçalar değildir. Eğer \( d_3 \) doğrusu üzerindeki A ve B noktaları ile \( d_4 \) doğrusu üzerindeki C ve D noktaları arasında bir ilişki kurulmak istenseydi, bu farklı bir problem olurdu.
Sorunun Yorumu: Soruda aslında iki ayrı kesen doğrusu ve bu doğruların paralel doğruları kestiği noktalar verilmiştir. \( d_3 \) doğrusu A ve B noktalarını, \( d_4 \) doğrusu ise C ve D noktalarını oluşturuyor. Bu iki kesen doğrusunun birbirine göre konumu hakkında ek bilgi verilmediği için, \( |AC| \) uzunluğunu belirlemek için yeterli bilgi yoktur. Bu tür sorularda genellikle kesenlerin kesişim noktası ve bu noktadan itibaren oluşan parçalar arasındaki orantı kullanılır.
Sonuç: Verilen bilgilerle \( |AC| \) uzunluğunu kesin olarak hesaplamak mümkün değildir. Bu problem, Tales teoreminin temel mantığını anlamak için bir başlangıç noktasıdır ancak eksik bilgi içermektedir veya farklı bir yorum gerektirmektedir. Tales teoreminde genellikle bir kesen üzerindeki orantılı iki parça ve diğer kesen üzerindeki karşılık gelen parçalar arasındaki ilişki incelenir.

💡 Bu sorunun çözümü için ek bilgiler veya farklı bir çizim gerekebilir.

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 3 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) kaç cm'dir?

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Bir parkta A noktasından çıkan bir bisikletli, B noktasına doğru düz bir yolda ilerliyor. Bu yol, C noktasında bulunan bir göletin kenarına paraleldir. Bisikletli \( |AB| = 100 \) metre yol gittikten sonra göletin kenarına \( |BC| = 60 \) metre uzaklıkta oluyor. Eğer bisikletli A noktasından E noktasına doğru, göletin kenarına paralel bir yoldan giderse ve \( |AE| = 150 \) metre yol alırsa, bisikletlinin gölet kenarına olan uzaklığı kaç metre olur? (A, B, C noktaları aynı düzlemde ve yol doğrusal kabul edilecektir.)

Çözüm ve Açıklama

Bu problem, günlük hayattan bir örnekle Tales teoreminin benzerlik prensibini uygulamayı gerektirir.

Problemi Anlama: Bisikletlinin A noktasından B'ye giden yolu ile gölet kenarı paraleldir. Bu durum, bir üçgenin bir kenarına paralel bir doğrunun diğer kenarları kestiği duruma benzer.
Modelleme: A noktasını bir tepe noktası olarak düşünelim. Bisikletlinin A'dan B'ye giden yolu bir kenar, göletin kenarı ise bu kenara paralel olan diğer bir doğru parçasıdır. C noktası, B'den gölet kenarına olan uzaklığı temsil eder.
Geometrik Yorum: A'dan çıkan ve gölet kenarına paralel giden yol, aslında bir benzerlik durumu oluşturur. Eğer A noktasını bir üçgenin tepesi kabul edersek, B'den gölet kenarına inen dikme (veya uzaklık) bir kenarın uzunluğunu, A'dan E'ye giden yol ise diğer kenarın uzunluğunu temsil eder.
Tales Teoremi Uygulaması:

Birinci Durum: A'dan çıkan yol (henüz uzunluğu bilinmiyor, ancak B'ye kadar \( |AB| = 100 \) metre) ve gölet kenarı paralel. C noktası, B'den gölet kenarına olan uzaklığı \( |BC| = 60 \) metre olarak veriyor. Bu, A'dan çıkan yolun tamamı ile gölet kenarı arasındaki bir orantıyı ifade eder.
İkinci Durum: A'dan E'ye giden yol \( |AE| = 150 \) metre. Bu yol da gölet kenarına paralel. Bizden istenen, bu durumda bisikletlinin gölet kenarına olan uzaklığıdır.

Orantı Kurulumu: Benzer üçgenler oluşturduğumuzu varsayarsak, kenar uzunlukları ile bu kenarlara ait yükseklikler (veya uzaklıklar) orantılı olacaktır.

A'dan çıkan yolun tamamı ile gölet kenarının uzunluğu arasındaki ilişkiyi kurmalıyız. B noktası, A'dan çıkan yol üzerinde bir noktadır ve bu noktadan gölet kenarına olan uzaklık 60 metredir.
E noktası, A'dan çıkan yol üzerinde başka bir noktadır ve bizden bu noktadan gölet kenarına olan uzaklık istenmektedir.
Eğer A noktasından çıkan yolun tamamı \( L \) ise ve gölet kenarının tamamı \( G \) ise, bu bir benzerlik oranı verir. Ancak biz doğrudan yol uzunluklarını kullanabiliriz.
A'dan B'ye olan yol \( |AB| = 100 \) metre iken, gölet kenarına olan uzaklık 60 metre.
A'dan E'ye olan yol \( |AE| = 150 \) metre iken, gölet kenarına olan uzaklık \( x \) olsun.
Bu durumda, yol uzunlukları ile gölet kenarına olan uzaklıklar orantılıdır:

Denklemi Çözme:

Sadeleştirme: \( \frac{100}{150} = \frac{2}{3} \)
Denklem: \( \frac{2}{3} = \frac{60}{x} \)
İçler dışlar çarpımı: \( 2 \times x = 3 \times 60 \)
\( 2x = 180 \)
\( x = \frac{180}{2} \)
\( x = 90 \) metre

✅ Bisikletlinin E noktasındayken gölet kenarına olan uzaklığı 90 metredir. 👉 Bu tür problemler, benzerlik oranını doğru kurmayı gerektirir.

Çözümlü Örnek

Zor Seviye

Bir ABC üçgeninde, A açısının açıortayı BC kenarını D noktasında kesmektedir. \( |AB| = 12 \) birim, \( |AC| = 8 \) birim ve \( |BD| = 6 \) birim olduğuna göre, \( |DC| \) kaç birimdir?

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

Bir harita üzerinde A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafesi 4 cm olarak gösterilmiştir. Haritanın ölçeği 1:500.000'dir. A şehrinden çıkan bir otobüs, B şehrine doğru düz bir yoldan gitmek yerine, C köyünden geçerek gitmektedir. Otobüsün A'dan C'ye olan mesafesi 120 km, C'den B'ye olan mesafesi ise 180 km'dir. Buna göre, otobüsün A'dan C'ye giderken haritada temsil edilen mesafesi kaç cm'dir?

Çözüm ve Açıklama

Bu soru, harita ölçeği ile gerçek mesafeler arasındaki ilişkiyi ve Tales teoreminin temel mantığını birleştirir.

Ölçeği Anlama: Haritanın ölçeği 1:500.000 demektir. Bu, haritada 1 birimlik mesafenin gerçekte 500.000 birim olduğu anlamına gelir.
Gerçek Mesafeyi Hesaplama:

A ve B şehirleri arasındaki gerçek mesafe: \( 4 \text{ cm} \times 500.000 = 2.000.000 \text{ cm} \)
Bu mesafeyi kilometreye çevirelim: \( 2.000.000 \text{ cm} = 20.000 \text{ metre} = 20 \text{ km} \)
Yani, A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafe gerçekte 20 km'dir.

Problemi Geometrik Olarak Modelleme:

A noktasını başlangıç noktası kabul edelim.
B noktası, A'dan 20 km uzaklıkta.
Otobüs, A'dan C'ye 120 km gidiyor ve C'den B'ye 180 km gidiyor. Bu, otobüsün yolunun kuş uçuşu mesafeden daha uzun olduğunu gösterir.
Burada Tales teoreminin doğrudan bir uygulaması olmasa da, ölçek mantığı ile benzerlik prensibi devreye girer.
A'dan çıkan yolun tamamı (kuş uçuşu) 20 km'dir.
Otobüsün A'dan C'ye giden yolu 120 km.
Otobüsün C'den B'ye giden yolu 180 km.
Toplam otobüs yolu: \( 120 \text{ km} + 180 \text{ km} = 300 \text{ km} \)

Haritadaki Mesafeyi Hesaplama:

Gerçek A-B mesafesi: 20 km
Haritadaki A-B mesafesi: 4 cm
Gerçek A-C mesafesi: 120 km
Haritadaki A-C mesafesi \( x \) cm olsun.
Burada bir orantı kurabiliriz: Gerçek mesafeler ile haritadaki mesafeler orantılıdır.
Denklemi Çözme:

Oranı sadeleştirme: \( \frac{20}{4} = 5 \) km/cm
Denklem: \( 5 = \frac{120}{x} \)
İçler dışlar çarpımı: \( 5 \times x = 120 \)
\( x = \frac{120}{5} \)
\( x = 24 \) cm

✅ Otobüsün A'dan C'ye giderken haritada temsil edilen mesafesi 24 cm'dir. 👉 Ölçek, gerçek dünya ile harita arasındaki bir köprüdür ve benzerlik oranını belirler.

Çözümlü Örnek

Günlük Hayattan Örnek

Bir inşaat mühendisi, bir binanın yüksekliğini doğrudan ölçemediği için, binanın yanına yerleştirdiği 1.5 metre boyundaki bir çubuğun gölgesini ve binanın gölgesini kullanıyor. Çubuğun gölgesi 2 metre, binanın gölgesi ise 20 metre olarak ölçülüyor. Buna göre, binanın yüksekliği kaç metredir?

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Bir ABC üçgeninde, DE // BC olacak şekilde D noktası AB kenarı üzerinde ve E noktası AC kenarı üzerindedir. \( |AD| = 2x - 1 \) cm, \( |DB| = x + 1 \) cm, \( |AE| = x \) cm ve \( |EC| = 3 \) cm olduğuna göre, x değeri kaçtır?

Çözüm ve Açıklama

Bu soru, Tales teoreminin üçgenler için geçerli olan benzerlik oranını kullanır.

Tales Teoremi: DE // BC olduğunda, \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) oranı geçerlidir.
Verilen İfadeler:

\( |AD| = 2x - 1 \)
\( |DB| = x + 1 \)
\( |AE| = x \)
\( |EC| = 3 \)

Orantıyı Kurma: Verilen ifadeleri teoremdeki yerlerine yazalım:
Denklemi Çözme:

İçler dışlar çarpımı yapılır: \( 3 \times (2x - 1) = x \times (x + 1) \)
Dağılma özelliğini uygulayalım: \( 6x - 3 = x^2 + x \)
Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim:
Bu ikinci dereceden denklemi çözmek için diskriminant yöntemini kullanabiliriz veya çarpanlara ayırmaya çalışabiliriz. Ancak bu denklem kolayca çarpanlara ayrılmıyor.
Düzeltme: Sorunun orijinalindeki sayılarla daha basit bir çözüm elde edilebilir. Eğer \( |EC| \) değeri farklı olsaydı, denklem daha basit olabilirdi. Ancak verilen değerlerle devam edelim.
Alternatif Yaklaşım (Sorunun Olası Hatalı Olması Durumu): Eğer \( |EC| \) yerine \( |AC| \) veya \( |AB| \) gibi bir ifade verilseydi veya \( x \) değeri tam sayı çıkacak şekilde sayılar seçilseydi daha kolay olurdu. Ancak verilenlerle devam ediyoruz.
Diskriminant Yöntemi: \( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminde \( \Delta = b^2 - 4ac \)
Burada \( a = 1, b = -5, c = 3 \)
\( \Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 25 - 12 = 13 \)
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{13}}{2 \times 1} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2} \)
İki olası x değeri vardır: \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2} \) ve \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2} \)
Ancak, kenar uzunlukları pozitif olmalıdır.

\( |DB| = x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \)
\( |AE| = x > 0 \)
\( |AD| = 2x - 1 > 0 \Rightarrow 2x > 1 \Rightarrow x > 0.5 \)

\( \sqrt{13} \) yaklaşık olarak 3.6'dır.
\( x_1 = \frac{5 + 3.6}{2} = \frac{8.6}{2} = 4.3 \) (Bu değerler pozitif kenar uzunluklarını sağlar.)
\( x_2 = \frac{5 - 3.6}{2} = \frac{1.4}{2} = 0.7 \) (Bu değer de pozitif kenar uzunluklarını sağlar.)
Sorunun Kontrolü: Genellikle bu tür sorularda \( x \) tam sayı çıkar. Eğer soruda bir hata yoksa, bu köklerden biri doğru cevaptır. Ancak \( x \) değeri genellikle daha basit bir sayı olurdu.
Varsayımsal Düzeltme ile Çözüm: Eğer \( |EC| = 2 \) olsaydı:
Verilen Sorudaki Değerlerle Devam: Sorunun orijinal haliyle \( x \) değeri \( \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2} \) olarak bulunur.

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

İki paralel doğru \( d_1 \) ve \( d_2 \) veriliyor. Bu doğruları kesen A, B, C noktaları aynı doğru üzerinde ve D, E, F noktaları başka bir doğru üzerinde olsun. \( |AB| = 3 \) cm, \( |BC| = 5 \) cm ve \( |DE| = 6 \) cm olduğuna göre, \( |EF| \) kaç cm'dir?

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. \( |AD| = 6 \) birim, \( |AB| = 10 \) birim ve \( |AE| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AC| \) kaç birimdir?

9. Sınıf Matematik: Tales problemleri Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

Çözüm:

Bu problemde Tales teoreminin bir uygulaması söz konusudur. Paralel doğrular ve kesenler arasındaki orantı incelenir.

Temel Prensip: Paralel doğrular tarafından kesilen doğrularda, orantılı bölümler oluşur.
Uygulama: Soruda verilen \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları paraleldir. \( d_3 \) ve \( d_4 \) doğruları ise bu paralelleri kesen doğrulardır.
Orantı Kurulumu: Tales teoremine göre, kesen doğrular üzerindeki doğru parçalarının uzunlukları orantılıdır. Bu durumda, \( d_3 \) doğrusu üzerindeki \( |AB| \) ile \( d_4 \) doğrusu üzerindeki \( |CD| \) arasında bir ilişki vardır. Ancak, bu soruda doğrudan bir orantı kurulmaz. Soruda verilen bilgiler, aslında iki farklı kesenin aynı paralel doğruları kestiği durumu anlatır.
Dikkat Edilmesi Gereken Nokta: Soruda verilen \( |AB| \) ve \( |CD| \) uzunlukları, aynı kesen üzerindeki parçalar değildir. Eğer \( d_3 \) doğrusu üzerindeki A ve B noktaları ile \( d_4 \) doğrusu üzerindeki C ve D noktaları arasında bir ilişki kurulmak istenseydi, bu farklı bir problem olurdu.
Sorunun Yorumu: Soruda aslında iki ayrı kesen doğrusu ve bu doğruların paralel doğruları kestiği noktalar verilmiştir. \( d_3 \) doğrusu A ve B noktalarını, \( d_4 \) doğrusu ise C ve D noktalarını oluşturuyor. Bu iki kesen doğrusunun birbirine göre konumu hakkında ek bilgi verilmediği için, \( |AC| \) uzunluğunu belirlemek için yeterli bilgi yoktur. Bu tür sorularda genellikle kesenlerin kesişim noktası ve bu noktadan itibaren oluşan parçalar arasındaki orantı kullanılır.
Sonuç: Verilen bilgilerle \( |AC| \) uzunluğunu kesin olarak hesaplamak mümkün değildir. Bu problem, Tales teoreminin temel mantığını anlamak için bir başlangıç noktasıdır ancak eksik bilgi içermektedir veya farklı bir yorum gerektirmektedir. Tales teoreminde genellikle bir kesen üzerindeki orantılı iki parça ve diğer kesen üzerindeki karşılık gelen parçalar arasındaki ilişki incelenir.

💡 Bu sorunun çözümü için ek bilgiler veya farklı bir çizim gerekebilir.

Örnek 2:

Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. \( |AD| = 4 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 3 \) cm olduğuna göre, \( |EC| \) kaç cm'dir?

Çözüm:

Bu soru, Tales teoreminin üçgenler için özel bir uygulaması olan benzerlik prensibini kullanır.

Teoremin Anlamı: Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, bu kenarlar üzerinde orantılı parçalar oluşturur.
Verilenler:

ABC üçgeni.
DE doğrusu BC'ye paralel.
\( |AD| = 4 \) cm
\( |DB| = 6 \) cm
\( |AE| = 3 \) cm

Orantı Kurulumu: DE // BC olduğundan, \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) ilişkisi geçerlidir.
Sayısal Değerleri Yerine Koyma:
Denklemi Çözme:

İçler dışlar çarpımı yapılır: \( 4 \times |EC| = 6 \times 3 \)
\( 4 \times |EC| = 18 \)
\( |EC| = \frac{18}{4} \)
\( |EC| = \frac{9}{2} \)
\( |EC| = 4.5 \) cm

✅ Sonuç olarak, \( |EC| \) uzunluğu 4.5 cm'dir. 📌 Bu teorem aynı zamanda \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \) şeklinde de ifade edilebilir.

Örnek 3:

Çözüm:

Bu problem, günlük hayattan bir örnekle Tales teoreminin benzerlik prensibini uygulamayı gerektirir.

Problemi Anlama: Bisikletlinin A noktasından B'ye giden yolu ile gölet kenarı paraleldir. Bu durum, bir üçgenin bir kenarına paralel bir doğrunun diğer kenarları kestiği duruma benzer.
Modelleme: A noktasını bir tepe noktası olarak düşünelim. Bisikletlinin A'dan B'ye giden yolu bir kenar, göletin kenarı ise bu kenara paralel olan diğer bir doğru parçasıdır. C noktası, B'den gölet kenarına olan uzaklığı temsil eder.
Geometrik Yorum: A'dan çıkan ve gölet kenarına paralel giden yol, aslında bir benzerlik durumu oluşturur. Eğer A noktasını bir üçgenin tepesi kabul edersek, B'den gölet kenarına inen dikme (veya uzaklık) bir kenarın uzunluğunu, A'dan E'ye giden yol ise diğer kenarın uzunluğunu temsil eder.
Tales Teoremi Uygulaması:

Birinci Durum: A'dan çıkan yol (henüz uzunluğu bilinmiyor, ancak B'ye kadar \( |AB| = 100 \) metre) ve gölet kenarı paralel. C noktası, B'den gölet kenarına olan uzaklığı \( |BC| = 60 \) metre olarak veriyor. Bu, A'dan çıkan yolun tamamı ile gölet kenarı arasındaki bir orantıyı ifade eder.
İkinci Durum: A'dan E'ye giden yol \( |AE| = 150 \) metre. Bu yol da gölet kenarına paralel. Bizden istenen, bu durumda bisikletlinin gölet kenarına olan uzaklığıdır.

Orantı Kurulumu: Benzer üçgenler oluşturduğumuzu varsayarsak, kenar uzunlukları ile bu kenarlara ait yükseklikler (veya uzaklıklar) orantılı olacaktır.

A'dan çıkan yolun tamamı ile gölet kenarının uzunluğu arasındaki ilişkiyi kurmalıyız. B noktası, A'dan çıkan yol üzerinde bir noktadır ve bu noktadan gölet kenarına olan uzaklık 60 metredir.
E noktası, A'dan çıkan yol üzerinde başka bir noktadır ve bizden bu noktadan gölet kenarına olan uzaklık istenmektedir.
Eğer A noktasından çıkan yolun tamamı \( L \) ise ve gölet kenarının tamamı \( G \) ise, bu bir benzerlik oranı verir. Ancak biz doğrudan yol uzunluklarını kullanabiliriz.
A'dan B'ye olan yol \( |AB| = 100 \) metre iken, gölet kenarına olan uzaklık 60 metre.
A'dan E'ye olan yol \( |AE| = 150 \) metre iken, gölet kenarına olan uzaklık \( x \) olsun.
Bu durumda, yol uzunlukları ile gölet kenarına olan uzaklıklar orantılıdır:

Denklemi Çözme:

Sadeleştirme: \( \frac{100}{150} = \frac{2}{3} \)
Denklem: \( \frac{2}{3} = \frac{60}{x} \)
İçler dışlar çarpımı: \( 2 \times x = 3 \times 60 \)
\( 2x = 180 \)
\( x = \frac{180}{2} \)
\( x = 90 \) metre

✅ Bisikletlinin E noktasındayken gölet kenarına olan uzaklığı 90 metredir. 👉 Bu tür problemler, benzerlik oranını doğru kurmayı gerektirir.

Örnek 4:

Çözüm:

Bu soru, Tales teoreminin bir özel durumu olan Açıortay Teoremi'ni kullanır.

Açıortay Teoremi: Bir üçgende bir köşeden çıkan açıortay, karşı kenarı, o kenarı oluşturan kenarların uzunluklarıyla orantılı olarak böler.
Teoremin İfadesi: ABC üçgeninde AD açıortayı BC kenarını D'de kestiğinde, aşağıdaki oran geçerlidir:
Verilen Değerler:

\( |AB| = 12 \)
\( |AC| = 8 \)
\( |BD| = 6 \)

Orantıyı Kurma: Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
Denklemi Çözme:

Oranı sadeleştirme: \( \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)
Denklem: \( \frac{3}{2} = \frac{6}{|DC|} \)
İçler dışlar çarpımı: \( 3 \times |DC| = 2 \times 6 \)
\( 3 \times |DC| = 12 \)
\( |DC| = \frac{12}{3} \)
\( |DC| = 4 \) birim

✅ Sonuç olarak, \( |DC| \) uzunluğu 4 birimdir. 📌 Açıortay Teoremi, Tales teoreminin geometrideki önemli bir uygulamasıdır.

Örnek 5:

Çözüm:

Bu soru, harita ölçeği ile gerçek mesafeler arasındaki ilişkiyi ve Tales teoreminin temel mantığını birleştirir.

Ölçeği Anlama: Haritanın ölçeği 1:500.000 demektir. Bu, haritada 1 birimlik mesafenin gerçekte 500.000 birim olduğu anlamına gelir.
Gerçek Mesafeyi Hesaplama:

A ve B şehirleri arasındaki gerçek mesafe: \( 4 \text{ cm} \times 500.000 = 2.000.000 \text{ cm} \)
Bu mesafeyi kilometreye çevirelim: \( 2.000.000 \text{ cm} = 20.000 \text{ metre} = 20 \text{ km} \)
Yani, A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu mesafe gerçekte 20 km'dir.

Problemi Geometrik Olarak Modelleme:

A noktasını başlangıç noktası kabul edelim.
B noktası, A'dan 20 km uzaklıkta.
Otobüs, A'dan C'ye 120 km gidiyor ve C'den B'ye 180 km gidiyor. Bu, otobüsün yolunun kuş uçuşu mesafeden daha uzun olduğunu gösterir.
Burada Tales teoreminin doğrudan bir uygulaması olmasa da, ölçek mantığı ile benzerlik prensibi devreye girer.
A'dan çıkan yolun tamamı (kuş uçuşu) 20 km'dir.
Otobüsün A'dan C'ye giden yolu 120 km.
Otobüsün C'den B'ye giden yolu 180 km.
Toplam otobüs yolu: \( 120 \text{ km} + 180 \text{ km} = 300 \text{ km} \)

Haritadaki Mesafeyi Hesaplama:

Gerçek A-B mesafesi: 20 km
Haritadaki A-B mesafesi: 4 cm
Gerçek A-C mesafesi: 120 km
Haritadaki A-C mesafesi \( x \) cm olsun.
Burada bir orantı kurabiliriz: Gerçek mesafeler ile haritadaki mesafeler orantılıdır.
Denklemi Çözme:

Oranı sadeleştirme: \( \frac{20}{4} = 5 \) km/cm
Denklem: \( 5 = \frac{120}{x} \)
İçler dışlar çarpımı: \( 5 \times x = 120 \)
\( x = \frac{120}{5} \)
\( x = 24 \) cm

✅ Otobüsün A'dan C'ye giderken haritada temsil edilen mesafesi 24 cm'dir. 👉 Ölçek, gerçek dünya ile harita arasındaki bir köprüdür ve benzerlik oranını belirler.

Örnek 6:

Çözüm:

Bu problem, Tales teoreminin güneş ışınlarının paralel olması prensibinden yararlanan bir uygulamasıdır.

Problemi Anlama: Güneşten gelen ışınlar paralel kabul edildiğinde, cisimlerin boyları ile gölgeleri arasında benzerlik oranı oluşur.
Geometrik Yorum:

Birinci Dik Üçgen: 1.5 metrelik çubuk ve 2 metrelik gölgesinin oluşturduğu dik üçgen.
İkinci Dik Üçgen: Binanın yüksekliği (h) ve 20 metrelik gölgesinin oluşturduğu dik üçgen.
Bu iki dik üçgen, aynı güneş ışınları açısı nedeniyle benzerdir.

Benzerlik Oranı: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir.

\( \frac{\text{Cisimlerin Boyları}}{\text{Gölgelerinin Uzunlukları}} \)

Orantıyı Kurma:
Denklemi Çözme:

Oranı sadeleştirme: \( \frac{1.5}{2} = 0.75 \)
Denklem: \( 0.75 = \frac{h}{20} \)
İçler dışlar çarpımı: \( 0.75 \times 20 = h \)
\( h = 15 \) metre

✅ Binanın yüksekliği 15 metredir. 💡 Bu yöntem, yüksekliği ölçülemeyen nesnelerin boyunu tahmin etmek için sıkça kullanılır.

Örnek 7:

Çözüm:

Bu soru, Tales teoreminin üçgenler için geçerli olan benzerlik oranını kullanır.

Tales Teoremi: DE // BC olduğunda, \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) oranı geçerlidir.
Verilen İfadeler:

\( |AD| = 2x - 1 \)
\( |DB| = x + 1 \)
\( |AE| = x \)
\( |EC| = 3 \)

Orantıyı Kurma: Verilen ifadeleri teoremdeki yerlerine yazalım:
Denklemi Çözme:

İçler dışlar çarpımı yapılır: \( 3 \times (2x - 1) = x \times (x + 1) \)
Dağılma özelliğini uygulayalım: \( 6x - 3 = x^2 + x \)
Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim:
Bu ikinci dereceden denklemi çözmek için diskriminant yöntemini kullanabiliriz veya çarpanlara ayırmaya çalışabiliriz. Ancak bu denklem kolayca çarpanlara ayrılmıyor.
Düzeltme: Sorunun orijinalindeki sayılarla daha basit bir çözüm elde edilebilir. Eğer \( |EC| \) değeri farklı olsaydı, denklem daha basit olabilirdi. Ancak verilen değerlerle devam edelim.
Alternatif Yaklaşım (Sorunun Olası Hatalı Olması Durumu): Eğer \( |EC| \) yerine \( |AC| \) veya \( |AB| \) gibi bir ifade verilseydi veya \( x \) değeri tam sayı çıkacak şekilde sayılar seçilseydi daha kolay olurdu. Ancak verilenlerle devam ediyoruz.
Diskriminant Yöntemi: \( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminde \( \Delta = b^2 - 4ac \)
Burada \( a = 1, b = -5, c = 3 \)
\( \Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 25 - 12 = 13 \)
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{13}}{2 \times 1} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2} \)
İki olası x değeri vardır: \( x_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2} \) ve \( x_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2} \)
Ancak, kenar uzunlukları pozitif olmalıdır.

\( |DB| = x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \)
\( |AE| = x > 0 \)
\( |AD| = 2x - 1 > 0 \Rightarrow 2x > 1 \Rightarrow x > 0.5 \)

\( \sqrt{13} \) yaklaşık olarak 3.6'dır.
\( x_1 = \frac{5 + 3.6}{2} = \frac{8.6}{2} = 4.3 \) (Bu değerler pozitif kenar uzunluklarını sağlar.)
\( x_2 = \frac{5 - 3.6}{2} = \frac{1.4}{2} = 0.7 \) (Bu değer de pozitif kenar uzunluklarını sağlar.)
Sorunun Kontrolü: Genellikle bu tür sorularda \( x \) tam sayı çıkar. Eğer soruda bir hata yoksa, bu köklerden biri doğru cevaptır. Ancak \( x \) değeri genellikle daha basit bir sayı olurdu.
Varsayımsal Düzeltme ile Çözüm: Eğer \( |EC| = 2 \) olsaydı:
Verilen Sorudaki Değerlerle Devam: Sorunun orijinal haliyle \( x \) değeri \( \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2} \) olarak bulunur.

Örnek 8:

Çözüm:

Bu soru, Tales teoreminin paralel doğrular ve kesenler arasındaki orantı prensibini kullanır.

Temel Prensip: Paralel doğrular tarafından kesilen iki doğrunun üzerindeki doğru parçaları orantılıdır.
Verilenler:

\( d_1 \) // \( d_2 \)
A, B, C noktaları bir kesen üzerinde.
D, E, F noktaları diğer kesen üzerinde.
\( |AB| = 3 \) cm
\( |BC| = 5 \) cm
\( |DE| = 6 \) cm

Orantı Kurulumu: Tales teoremine göre, kesenler üzerindeki karşılıklı doğru parçaları orantılıdır.

\( \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|EF|} \)

Sayısal Değerleri Yerine Koyma:
Denklemi Çözme:

İçler dışlar çarpımı yapılır: \( 3 \times |EF| = 5 \times 6 \)
\( 3 \times |EF| = 30 \)
\( |EF| = \frac{30}{3} \)
\( |EF| = 10 \) cm

✅ Sonuç olarak, \( |EF| \) uzunluğu 10 cm'dir. 👉 Tales teoremi, paralel çizgilerle oluşturulan orantıları anlamak için harikadır.

Örnek 9:

Bir ABC üçgeninde, DE kenarı BC kenarına paraleldir. \( |AD| = 6 \) birim, \( |AB| = 10 \) birim ve \( |AE| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AC| \) kaç birimdir?

Çözüm:

Bu soru, Tales teoreminin üçgenler için geçerli olan benzerlik oranını kullanır.

Teoremin Anlamı: Bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen bir doğru, bu kenarlar üzerinde orantılı bölümler oluşturur.
Verilenler:

ABC üçgeni.
DE doğrusu BC'ye paralel.
\( |AD| = 6 \) birim
\( |AB| = 10 \) birim
\( |AE| = 9 \) birim

Orantı Kurulumu: DE // BC olduğundan, \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} \) ilişkisi geçerlidir.
Sayısal Değerleri Yerine Koyma:
Denklemi Çözme:

Oranı sadeleştirme: \( \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
Denklem: \( \frac{3}{5} = \frac{9}{|AC|} \)
İçler dışlar çarpımı: \( 3 \times |AC| = 5 \times 9 \)
\( 3 \times |AC| = 45 \)
\( |AC| = \frac{45}{3} \)
\( |AC| = 15 \) birim

✅ Sonuç olarak, \( |AC| \) uzunluğu 15 birimdir. 📌 Bu teorem aynı zamanda \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) şeklinde de kullanılabilir.

Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun

https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-problemleri/sorular

İçerik Hazırlanıyor...

Lütfen sayfayı kapatmayın, bu işlem 30-40 saniye sürebilir.

💡 9. Sınıf Matematik: Tales problemleri Çözümlü Örnekler

9. Sınıf Matematik: Tales problemleri Çözümlü Örnekler

İçerik Hazırlanıyor...