💡 9. Sınıf Matematik: Tales, Pisagor ve Öklid Çözümlü Örnekler

Bu soruda yöndeş açılar kavramını kullanacağız.

• Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu açılarda, aynı yöne bakan ve aynı konumda bulunan açılar yöndeş açılardır.
• Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir.
• Soruda verilen \( 75^\circ \) 'lik açı ile \( \alpha \) açısı yöndeş açılardır.
• Bu nedenle, \( \alpha = 75^\circ \) olur. ✅

Pisagor teoremi, dik üçgenlerde dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
Teorem şu şekildedir: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada 'a' ve 'b' dik kenarlar, 'c' ise hipotenüstür.

• Verilenlere göre, dik kenarlarımız AC = 6 ve BC = 8'dir.
• Pisagor teoremini uygulayalım: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)
• Değerleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = AB^2 \)
• Hesaplamaları yapalım: \( 36 + 64 = AB^2 \)
• \( 100 = AB^2 \)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \( AB = \sqrt{100} \)
• Sonuç olarak hipotenüs uzunluğu \( AB = 10 \) birimdir. 👉

Öklid'in yükseklik teoremi, dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesinin, hipotenüs üzerindeki iki parçanın çarpımına eşit olduğunu söyler.
Ancak, bu teoremi doğrudan uygulamak için hipotenüs üzerindeki parçaları bilmemiz gerekir.
Bu soruda, Öklid'in dik kenar teoremini veya alan formülünü kullanmak daha pratik olacaktır.
Önce hipotenüs uzunluğunu Pisagor'dan bulalım: \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) birim.
Şimdi alan formülünü kullanalım: Dik üçgenin alanı = \( \frac{1}{2} \times \text{dik kenarlar çarpımı} = \frac{1}{2} \times AC \times BC \).
Ayrıca, alan = \( \frac{1}{2} \times \text{hipotenüs} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times AB \times CD \).

• Alan hesaplaması: \( \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \) birim kare.
• Bu alanı hipotenüs ve yükseklik cinsinden eşitleyelim: \( \frac{1}{2} \times 10 \times CD = 24 \)
• \( 5 \times CD = 24 \)
• CD'yi bulalım: \( CD = \frac{24}{5} = 4.8 \) birim. ✅

Bu problemde, verilen bilgiler bir dik üçgen oluşturmaktadır.

• İki duvar arasındaki mesafe (9 metre) ve bir duvarın uzunluğu (12 metre) dik üçgenin dik kenarlarını temsil eder.
• Karşı duvara kadar olan en kısa mesafe ise bu dik üçgenin hipotenüsü olacaktır.
• Bu tür bir problemi çözmek için Pisagor teoremi kullanılır.
• Pisagor teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada 'a' ve 'b' dik kenarlar, 'c' hipotenüstür.
• Değerleri yerine koyarsak: \( 9^2 + 12^2 = c^2 \)
• Hesaplamalar: \( 81 + 144 = c^2 \)
• \( 225 = c^2 \)
• Hipotenüsü bulmak için karekök alırız: \( c = \sqrt{225} = 15 \) metre.

Bu nedenle, mühendisin bulması gereken mesafe 15 metredir. 👉

Bu senaryo, bir dik üçgen problemi olarak modellenebilir.

• A ve B şehirleri arasındaki kuş uçuşu uzaklık (50 km), dik üçgenin hipotenüsü olarak düşünülebilir.
• A şehrinden doğuya doğru gidilen mesafe (30 km), dik üçgenin dik kenarlarından biri (AC) olarak alınabilir.
• C noktasından B şehrine olan uzaklık ise dik üçgenin diğer dik kenarı (CB) olacaktır.
• Bu durumda, Pisagor teoremi kullanarak bilinmeyen dik kenarı bulabiliriz.
• Teorem: \( AC^2 + CB^2 = AB^2 \)
• Değerleri yerine koyalım: \( 30^2 + CB^2 = 50^2 \)
• Hesaplamalar: \( 900 + CB^2 = 2500 \)
• \( CB^2 = 2500 - 900 \)
• \( CB^2 = 1600 \)
• CB'yi bulmak için karekök alırız: \( CB = \sqrt{1600} = 40 \) km. ✅

C noktasından B şehrine olan kuş uçuşu uzaklık 40 km'dir. 💡

Bu soruda Öklid'in dik kenar teoremini kullanacağız. Bu teorem, dik üçgende bir dik kenarın karesinin, hipotenüsün o kenara ait izdüşümünün uzunluğu ile hipotenüsün çarpımına eşit olduğunu söyler.
Önce hipotenüs BC'nin uzunluğunu Pisagor teoremi ile bulalım:
\( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \) birim.
Şimdi Öklid'in dik kenar teoremini uygulayalım.
AB kenarı için teorem: \( AB^2 = BD \times BC \)

• Değerleri yerine koyalım: \( 8^2 = BD \times 17 \)
• \( 64 = BD \times 17 \)
• BD'yi bulmak için her iki tarafı 17'ye bölelim: \( BD = \frac{64}{17} \) birim. ✅

Bu teoremi AC kenarı için de uygulayarak DC uzunluğunu bulabilir ve BD + DC = BC eşitliğini kontrol edebilirsiniz. 👉

Bu soruda iç ters açılar kavramını kullanacağız.

• Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde, kesenin farklı tarafında bulunan ve paralel doğruların arasında kalan açılara iç ters açılar denir.
• İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
• Soruda verilen \( 50^\circ \) 'lik açı, paralel doğruların arasında değildir. Bu açı, kesenin bir tarafında ve dışarıdadır.
• Bu açı ile iç ters açı olan açı, kesenin diğer tarafında ve paralel doğruların arasında yer alır.
• Eğer verilen \( 50^\circ \) 'lik açı, paralel doğruların arasında olmayan bir açı ise, onunla iç ters açı olan açı, paralel doğruların arasında ve ters yönde olan açıdır.
• Ancak, soruda verilen \( 50^\circ \) 'lik açı ile iç ters açı oluşturan açı soruluyor. Bu durumda, verilen \( 50^\circ \) açının yöndeş açısı da \( 50^\circ \) olur.
• Bu \( 50^\circ \) 'lik yöndeş açının iç tersi olan açı ise \( 50^\circ \) olacaktır.
• Alternatif olarak: Verilen \( 50^\circ \) açının bütünleri \( 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \) olur. Bu \( 130^\circ \) 'lik açının iç tersi \( 130^\circ \) olur.
• Soruda verilen açı tipi net belirtilmediği için, eğer kastedilen, paralel doğruların arasında olmayan bir açının iç tersi ise, bu durumda öncelikle o açının yöndeşini bulmak gerekir.
• Eğer soruda kastedilen, paralel doğruların arasında olmayan bir açının, karşı tarafta kalan ve paralel doğruların arasında olan açıyla ilişkisi ise, bu durumda iç ters açı kavramı doğrudan uygulanamaz.
• Ancak, eğer soru "paralel doğrular arasında oluşan ve bir açısı \( 50^\circ \) olan bir açının iç tersi kaç derecedir?" şeklinde olsaydı cevap \( 50^\circ \) olurdu.
• Soruda "paralel doğruların arasında olmayan bir açı" denildiği için, bu açının yöndeş açısı \( 50^\circ \) olur. Bu \( 50^\circ \) 'lik açının iç tersi olan açı da \( 50^\circ \) olur.
• Dolayısıyla, \( 50^\circ \) olur. ✅

📌 Önemli Not: Sorunun tam anlaşılması için şekil üzerinde gösterilmesi daha net olacaktır. Ancak metinsel olarak, verilen \( 50^\circ \) açının iç tersi olan açının da \( 50^\circ \) olduğunu kabul ediyoruz.

Bu senaryo, bir dik üçgen ve Pisagor teoremi ile ilişkilendirilebilir.

• Çitin uzunluğu (5 metre) bir dik üçgenin hipotenüsü olarak düşünülebilir.
• Çitin uçlarının duvardan olan uzaklıkları (3 metre ve 4 metre), dik üçgenin dik kenarları olabilir.
• Burada, çitin kendisi hipotenüsü oluştururken, duvardan olan uzaklıklar dik kenarları temsil eder.
• Bu durum, Pisagor teoremi ile doğrulanabilir: \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \). Hipotenüsün karesi \( 5^2 = 25 \) olur.
• Yani, \( 3^2 + 4^2 = 5^2 \) eşitliği sağlanır.
• Bu, çitin konumunun bir dik üçgen oluşturduğunu ve Pisagor teoreminin bu durumu açıkça gösterdiğini belirtir.
• Ayrıca, eğer çitin duvara paralel olması durumu dikkate alınırsa, bu durumda çitin uzunluğu doğrudan duvardan olan uzaklıklarla ilişkilendirilemez. Ancak soruda çitin uçlarının farklı uzaklıklarda olması, bir eğim veya dik üçgen yapısı olduğunu gösterir.

Bu durumda, Pisagor teoremi çitin uzunluğunu ve konumunu anlamada temel bir rol oynar. 📏💡