🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales, Pisagor ve Öklid teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales, Pisagor ve Öklid teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel \( d_1, d_2, d_3 \) doğrularını kesen iki farklı doğru düşünelim. Birinci doğru üzerinde ayrılan parçaların uzunlukları \( 4 \) cm ve \( 6 \) cm'dir. İkinci doğru üzerinde bu parçalara karşılık gelen uzunluklardan biri \( x \) cm ve diğeri \( 9 \) cm olduğuna göre, \( x \) değerini bulunuz. 📏
Çözüm:
Tales Teoremi'ne göre, paralel doğrular kendilerini kesen doğruları orantılı parçalara ayırır.
- Orantı kuralını kuralım: \( \frac{4}{6} = \frac{x}{9} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 6 \cdot x = 4 \cdot 9 \)
- \( 6 \cdot x = 36 \)
- Her iki tarafı \( 6 \) sayısına bölelim: \( x = 6 \) cm bulunur. ✅
Örnek 2:
Dik kenar uzunlukları \( 8 \) cm ve \( 15 \) cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu \( c \) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Pisagor Teoremi'ni uygulayarak hipotenüsü bulabiliriz.
- Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine yazalım: \( 8^2 + 15^2 = c^2 \)
- Karelerini alalım: \( 64 + 225 = c^2 \)
- Toplama işlemini yapalım: \( 289 = c^2 \)
- \( 289 \) sayısı \( 17 \) sayısının karesidir: \( c = 17 \) cm bulunur. 🎯
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde \( [AB] \perp [BC] \) ve hipotenüse ait \( [BH] \) yüksekliği çizilmiştir. \( H \) noktası hipotenüs üzerindedir. \( |AH| = 4 \) cm ve \( |HC| = 9 \) cm olduğuna göre, yüksekliğin uzunluğu \( |BH| = h \) kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
Öklid Teoremi'nin yükseklik bağıntısını (H² = p . k) kullanalım:
- Yükseklik bağıntısı: \( h^2 = |AH| \cdot |HC| \)
- Verilen değerleri yerleştirelim: \( h^2 = 4 \cdot 9 \)
- Çarpma işlemini yapalım: \( h^2 = 36 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( h = 6 \) cm bulunur. ✨
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( [DE] // [BC] \) olacak şekilde \( D \) noktası \( [AB] \) kenarı üzerinde, \( E \) noktası ise \( [AC] \) kenarı üzerindedir. \( |AD| = 3 \) cm, \( |DB| = 6 \) cm ve \( |AE| = 4 \) cm olduğuna göre, \( |EC| = x \) uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Üçgende Temel Orantı Teoremi (Tales) gereği, bir kenara paralel olan doğru diğer kenarları orantılı böler.
- Orantı: \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \)
- Sayıları yerleştirelim: \( \frac{3}{6} = \frac{4}{x} \)
- Sadeleştirme yapalım: \( \frac{1}{2} = \frac{4}{x} \)
- İçler dışlar çarpımı sonucunda: \( x = 8 \) cm bulunur. ✅
Örnek 5:
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu \( 10 \) cm ve dik kenarlardan biri \( 6 \) cm'dir. Diğer dik kenarın uzunluğu \( b \) kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Pisagor Teoremi'ni kullanarak bilinmeyen kenarı hesaplayalım.
- Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yazalım: \( 6^2 + b^2 = 10^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + b^2 = 100 \)
- Bilineni karşıya atalım: \( b^2 = 100 - 36 \)
- \( b^2 = 64 \)
- Karekök alalım: \( b = 8 \) cm bulunur. (Bu üçgen 3-4-5 üçgeninin 2 katıdır) 💡
Örnek 6:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle B = 90^\circ \) ve hipotenüse dik inen \( [BH] \) yüksekliği çizilmiştir. Hipotenüs üzerindeki parçalardan \( |AH| = 2 \) cm ve tüm hipotenüs uzunluğu \( |AC| = 8 \) cm olduğuna göre, dik kenar uzunluğu \( |AB| = c \) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Öklid Teoremi'nin dik kenar bağıntısını kullanalım:
- Dik kenar bağıntısı: \( c^2 = p \cdot a \) (Kenarın karesi, kendi tarafındaki parça ile tamamının çarpımıdır)
- Burada \( p = |AH| = 2 \) ve \( a = |AC| = 8 \) birimdir.
- Formülde yerine koyalım: \( c^2 = 2 \cdot 8 \)
- \( c^2 = 16 \)
- Karekök aldığımızda: \( c = 4 \) cm olarak bulunur. ✅
Örnek 7:
Bir itfaiye eri, \( 13 \) metre uzunluğundaki merdiveni bir binanın duvarına yaslamıştır. Merdivenin ayağının duvara olan uzaklığı \( 5 \) metredir. Buna göre merdivenin ulaştığı noktanın yerden yüksekliği kaç metredir? 🚒
Çözüm:
Bu problemde duvar, zemin ve merdiven bir dik üçgen yapısı oluşturur.
- Merdiven uzunluğu hipotenüstür: \( c = 13 \)
- Yatay uzaklık dik kenarlardan biridir: \( a = 5 \)
- Yükseklik diğer dik kenardır: \( b = x \)
- Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( 5^2 + x^2 = 13^2 \)
- \( 25 + x^2 = 169 \)
- \( x^2 = 169 - 25 = 144 \)
- \( x = 12 \) metre olarak bulunur. (5-12-13 özel üçgeni) 🏠
Örnek 8:
Güneşli bir günde, boyu \( 1,6 \) metre olan bir öğrencinin gölge boyu \( 2 \) metre olarak ölçülmüştür. Aynı anda yanındaki okul binasının gölge boyu \( 15 \) metre olduğuna göre, okul binasının gerçek boyu \( h \) kaç metredir? ☀️
Çözüm:
Güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğu için nesneler ve gölgeleri arasında benzerlik (Tales) ilişkisi kurulur.
- Orantı: Öğrencinin boyu / Öğrencinin gölgesi = Binanın boyu / Binanın gölgesi
- Değerleri yerine yazalım: \( \frac{1,6}{2} = \frac{h}{15} \)
- Sol tarafı sadeleştirelim: \( 0,8 = \frac{h}{15} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( h = 0,8 \cdot 15 \)
- \( h = 12 \) metre bulunur. Okul binasının boyu \( 12 \) metredir. 🏫
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-pisagor-ve-oklid-teoremleri/sorular