🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales, Pisagor, Öklid Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales, Pisagor, Öklid Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Tales Teoremi Uygulaması:
Bir ABC üçgeninde, [DE] doğru parçası [BC] kenarına paraleldir.
D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir.
\( |AD| = 6 \) birim, \( |DB| = 3 \) birim ve \( |AE| = 8 \) birim olduğuna göre, \( |EC| = x \) kaç birimdir? 💡
Bir ABC üçgeninde, [DE] doğru parçası [BC] kenarına paraleldir.
D noktası [AB] üzerinde, E noktası [AC] üzerindedir.
\( |AD| = 6 \) birim, \( |DB| = 3 \) birim ve \( |AE| = 8 \) birim olduğuna göre, \( |EC| = x \) kaç birimdir? 💡
Çözüm:
Çözüm Adımları:
- Üçgende paralellik varsa Temel Benzerlik Teoremi (Tales) uygulanır.
- Kuralımıza göre: \( \frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AE|}{|EC|} \) bağıntısı geçerlidir.
- Verilen değerleri yerine koyalım:
\[ \frac{6}{3} = \frac{8}{x} \] - İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 6 \times x = 3 \times 8 \)
\( 6x = 24 \) - Her iki tarafı 6'ya böldüğümüzde:
\( x = 4 \) birim olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
Pisagor Teoremi Temel Soru:
Bir ABC dik üçgeninde B açısı \( 90^\circ \) derecedir.
\( |AB| = 8 \) cm ve \( |BC| = 15 \) cm olduğuna göre, hipotenüs olan \( |AC| = x \) kaç cm'dir? 📐
Bir ABC dik üçgeninde B açısı \( 90^\circ \) derecedir.
\( |AB| = 8 \) cm ve \( |BC| = 15 \) cm olduğuna göre, hipotenüs olan \( |AC| = x \) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Çözüm Adımları:
- Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir.
- Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerleştirelim:
\[ 8^2 + 15^2 = x^2 \] - Kareleri hesaplayalım:
\( 64 + 225 = x^2 \)
\( 289 = x^2 \) - Hangi sayının karesi 289'dur?
\( x = 17 \) cm (Bu bir 8-15-17 özel üçgenidir). ✅
Örnek 3:
Öklid Bağıntısı (Yükseklik):
Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \) derecedir. [AH] yüksekliği [BC] hipotenüsüne dik olarak indirilmiştir.
\( |BH| = 4 \) birim ve \( |HC| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AH| = h \) yüksekliği kaç birimdir? ⚡
Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \) derecedir. [AH] yüksekliği [BC] hipotenüsüne dik olarak indirilmiştir.
\( |BH| = 4 \) birim ve \( |HC| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AH| = h \) yüksekliği kaç birimdir? ⚡
Çözüm:
Çözüm Adımları:
- Dikten dik inildiği için Öklid Bağıntısı kullanılır.
- Yükseklik bağıntısı: \( h^2 = p \times k \)
- Burada \( p = 4 \) ve \( k = 9 \) değerlerini kullanalım:
\[ h^2 = 4 \times 9 \] - Çarpma işlemini yapalım:
\( h^2 = 36 \) - Her iki tarafın karekökünü aldığımızda:
\( h = 6 \) birim bulunur. ✅
Örnek 4:
Tales Teoremi (Kelebek Benzerliği):
[AB] ve [CD] doğru parçaları E noktasında kesişmektedir. [AC] doğrusu [BD] doğrusuna paraleldir.
\( |AE| = 10 \) birim, \( |EB| = 5 \) birim ve \( |AC| = 12 \) birim olduğuna göre, \( |BD| = x \) kaç birimdir? 🦋
[AB] ve [CD] doğru parçaları E noktasında kesişmektedir. [AC] doğrusu [BD] doğrusuna paraleldir.
\( |AE| = 10 \) birim, \( |EB| = 5 \) birim ve \( |AC| = 12 \) birim olduğuna göre, \( |BD| = x \) kaç birimdir? 🦋
Çözüm:
Çözüm Adımları:
- Paralel doğrular arasında oluşan bu şekle "Kelebek" veya "Kum Saati" benzerliği denir.
- Benzerlik oranını kuralım:
\[ \frac{|AE|}{|EB|} = \frac{|AC|}{|BD|} \] - Verileri yerine yazalım:
\[ \frac{10}{5} = \frac{12}{x} \] - Oranlarsak:
\( 2 = \frac{12}{x} \) - Buradan içler dışlar çarpımı ile:
\( 2x = 12 \)
\( x = 6 \) birim bulunur. ✅
Örnek 5:
Pisagor ve Öklid Karma Soru:
Bir ABC dik üçgeninde A açısı diktir. [AH] dikmesi [BC] üzerine indirilmiştir.
\( |AB| = 6 \) birim ve \( |BH| = 3 \) birim olduğuna göre, \( |BC| = x \) uzunluğu kaç birimdir? 🔍
Bir ABC dik üçgeninde A açısı diktir. [AH] dikmesi [BC] üzerine indirilmiştir.
\( |AB| = 6 \) birim ve \( |BH| = 3 \) birim olduğuna göre, \( |BC| = x \) uzunluğu kaç birimdir? 🔍
Çözüm:
Çözüm Adımları:
- Öklid'in yan kenar bağıntısını kullanabiliriz: Bir dik kenarın karesi, altındaki parça ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
- Bağıntı: \( |AB|^2 = |BH| \times |BC| \)
- Verilenleri formüle yerleştirelim:
\[ 6^2 = 3 \times x \] - Hesaplayalım:
\( 36 = 3x \) - Her iki tarafı 3'e bölelim:
\( x = 12 \) birim olarak bulunur. ✅
Örnek 6:
Merdiven ve Duvar (Pisagor):
Bir boyacı, 10 metre uzunluğundaki merdiveni yere dik olan bir duvara yaslıyor. Merdivenin ayağının duvara olan uzaklığı 6 metredir.
Buna göre merdivenin tepe noktası yerden kaç metre yüksekliktedir? 🏠
Bir boyacı, 10 metre uzunluğundaki merdiveni yere dik olan bir duvara yaslıyor. Merdivenin ayağının duvara olan uzaklığı 6 metredir.
Buna göre merdivenin tepe noktası yerden kaç metre yüksekliktedir? 🏠
Çözüm:
Çözüm Adımları:
- Duvar yere dik olduğu için burada bir dik üçgen oluşur.
- Merdiven uzunluğu hipotenüstür: \( c = 10 \)
- Yerdeki mesafe bir dik kenardır: \( a = 6 \)
- Yükseklik diğer dik kenardır: \( b = x \)
- Pisagor bağıntısını kuralım:
\[ 6^2 + x^2 = 10^2 \] - Kareleri alalım:
\( 36 + x^2 = 100 \) - Çıkarma yapalım:
\( x^2 = 100 - 36 = 64 \) - Karekök alalım:
\( x = 8 \) metre (6-8-10 üçgeni). ✅
Örnek 7:
Gölge Boyu Sorusu (Tales):
Güneşli bir günde, boyu 1,5 metre olan bir öğrencinin gölgesinin boyu 2 metredir.
Aynı anda yanındaki bayrak direğinin gölgesinin boyu 12 metre olarak ölçüldüğüne göre, bayrak direğinin boyu kaç metredir? 🚩
Güneşli bir günde, boyu 1,5 metre olan bir öğrencinin gölgesinin boyu 2 metredir.
Aynı anda yanındaki bayrak direğinin gölgesinin boyu 12 metre olarak ölçüldüğüne göre, bayrak direğinin boyu kaç metredir? 🚩
Çözüm:
Çözüm Adımları:
- Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için nesneler ve gölgeleri arasında benzerlik oluşur (Tales mantığı).
- Orantı kuralım:
\( \frac{Öğrenci Boyu}{Öğrenci Gölgesi} = \frac{Direk Boyu}{Direk Gölgesi} \) - Değerleri yerleştirelim:
\[ \frac{1.5}{2} = \frac{x}{12} \] - İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 2 \times x = 1.5 \times 12 \) - Hesaplama:
\( 2x = 18 \) - Sonuç:
\( x = 9 \) metre olarak bulunur. ✅
Örnek 8:
Öklid Bağıntısı (Kenar Bulma):
Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \) ve \( [AH] \perp [BC] \)'dir.
\( |BH| = 2 \) cm ve \( |HC| = 8 \) cm olduğuna göre, \( |AC| = y \) kaç cm'dir? 📏
Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \) ve \( [AH] \perp [BC] \)'dir.
\( |BH| = 2 \) cm ve \( |HC| = 8 \) cm olduğuna göre, \( |AC| = y \) kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Çözüm Adımları:
- Öklid'in diğer yan kenar bağıntısını kullanalım.
- Bağıntı: \( |AC|^2 = |HC| \times |BC| \)
- Önce hipotenüsün tamamını bulalım:
\( |BC| = |BH| + |HC| = 2 + 8 = 10 \) cm. - Şimdi formülde yerine yazalım:
\[ y^2 = 8 \times 10 \] - Hesaplayalım:
\( y^2 = 80 \) - Karekök alalım:
\( y = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} \)
\( y = 4\sqrt{5} \) cm bulunur. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-pisagor-oklid/sorular