💡 9. Sınıf Matematik: Tales Öklit Temel Benzerlik Teoremi Çözümlü Örnekler

Bu problemde Tales Teoremi (Temel Benzerlik Teoremi) uygulayacağız. Teorem gereği, paralel doğrular arasında kalan kesenlerin oranları birbirine eşittir. 💡

• Birinci kesendeki parçaların oranına bakalım: \( \frac{\text{1. parça}}{\text{2. parça}} = \frac{6}{9} \)
• İkinci kesendeki parçalar için de aynı oran geçerli olmalı. İkinci parçaya \(x\) diyelim.
• Denklemi kuralım: \[ \frac{6}{9} = \frac{8}{x} \]
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 6 \cdot x = 9 \cdot 8 \)
• \( 6x = 72 \)
• Her iki tarafı 6'ya bölelim: \( x = \frac{72}{6} \)
• Sonuç: \( x = 12 \) cm

✅ Yani, ikinci kesenin \(d_2\) ile \(d_3\) arasında ayırdığı parça 12 cm'dir.

Bu problemde Temel Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız. Bir üçgende bir kenara paralel çizilen bir doğru, diğer iki kenarı orantılı olarak böler. 👉

• Verilen bilgilere göre:
• AD = 4 cm
• DB = 6 cm
• AE = 5 cm
• EC = \(x\) (aranan değer)
• Temel Benzerlik Teoremi'ne göre oranlar şu şekildedir: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]
• Değerleri yerine yazalım: \[ \frac{4}{6} = \frac{5}{x} \]
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \cdot x = 6 \cdot 5 \)
• \( 4x = 30 \)
• Her iki tarafı 4'e bölelim: \( x = \frac{30}{4} \)
• Sadeleştirelim: \( x = \frac{15}{2} = 7.5 \) cm

✅ Buna göre, EC uzunluğu 7.5 cm'dir.

Bu problemde Öklit'in Yükseklik Bağıntısı'nı uygulayacağız. Dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. 📐

• Yüksekliğin uzunluğu (\(h\)) = 6 cm
• Hipotenüs parçalarından biri (\(p\)) = 4 cm
• Diğer hipotenüs parçası (\(k\)) = \(x\) (aranan değer)
• Öklit'in yükseklik bağıntısı: \( h^2 = p \cdot k \)
• Değerleri yerine yazalım: \( 6^2 = 4 \cdot x \)
• \( 36 = 4x \)
• Her iki tarafı 4'e bölelim: \( x = \frac{36}{4} \)
• Sonuç: \( x = 9 \) cm

✅ Hipotenüs üzerinde ayrılan diğer parçanın uzunluğu 9 cm'dir.

Bu problemde Öklit'in Dik Kenar Bağıntısı'nı kullanacağız. Bir dik kenarın karesi, hipotenüsün tamamı ile bu dik kenara yakın olan hipotenüs parçasının çarpımına eşittir. 💪

• Dik kenar AB'yi bulmak istiyoruz. AB'ye \(c\) diyelim.
• Hipotenüsün tamamı (BC) = 12 cm
• AB kenarına yakın olan hipotenüs parçası (BH) = 3 cm
• Öklit'in dik kenar bağıntısı: \( c^2 = p \cdot a \) (Burada \(a\) hipotenüsün tamamı, \(p\) ise dik kenara yakın parça.)
• Yani: \( AB^2 = BH \cdot BC \)
• Değerleri yerine yazalım: \( AB^2 = 3 \cdot 12 \)
• \( AB^2 = 36 \)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \( AB = \sqrt{36} \)
• Sonuç: \( AB = 6 \) cm

✅ AB kenarının uzunluğu 6 cm'dir.

Bu problemde Kelebek Benzerliği (Kum Saati Kuralı) uygulayacağız. Paralel doğrular arasında kesişen iki doğru parçası, benzer üçgenler oluşturur. 🦋

• AB // DC olduğu için, \( \triangle ABE \) ile \( \triangle CDE \) üçgenleri benzerdir.
• Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir: \[ \frac{AB}{DC} = \frac{AE}{EC} = \frac{BE}{DE} \]
• Verilen değerleri kullanalım:
• AB = 9 cm
• DC = 6 cm
• AE = 12 cm
• EC = \(x\) (aranan değer)
• Oranı kuralım: \[ \frac{9}{6} = \frac{12}{x} \]
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 9 \cdot x = 6 \cdot 12 \)
• \( 9x = 72 \)
• Her iki tarafı 9'a bölelim: \( x = \frac{72}{9} \)
• Sonuç: \( x = 8 \) cm

✅ EC uzunluğu 8 cm'dir.

Bu problemde hem Pisagor Teoremi, hem Öklit Bağıntısı hem de Temel Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız. Adım adım ilerleyelim. 👣

• Adım 1: Hipotenüs AC'yi bulalım (Pisagor Teoremi).
• \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
• \( AC^2 = 6^2 + 8^2 \)
• \( AC^2 = 36 + 64 \)
• \( AC^2 = 100 \)
• \( AC = 10 \) cm
• Adım 2: BH yüksekliğini bulalım (Öklit'in Alan Bağıntısı).
• Dik üçgenin alanı iki farklı şekilde hesaplanabilir: \( \frac{AB \cdot BC}{2} = \frac{AC \cdot BH}{2} \)
• \( AB \cdot BC = AC \cdot BH \)
• \( 6 \cdot 8 = 10 \cdot BH \)
• \( 48 = 10 \cdot BH \)
• \( BH = 4.8 \) cm
• Adım 3: CH uzunluğunu bulalım (Öklit'in Dik Kenar Bağıntısı).
• \( BC^2 = CH \cdot AC \)
• \( 8^2 = CH \cdot 10 \)
• \( 64 = 10 \cdot CH \)
• \( CH = 6.4 \) cm
• Adım 4: HK uzunluğunu bulalım (Temel Benzerlik Teoremi).
• HK // AB olduğu için, \( \triangle CHK \) ile \( \triangle CBA \) üçgenleri benzerdir.
• Benzerlik oranı: \( \frac{CH}{CA} = \frac{HK}{AB} \)
• Değerleri yerine yazalım: \( \frac{6.4}{10} = \frac{HK}{6} \)
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 10 \cdot HK = 6.4 \cdot 6 \)
• \( 10 \cdot HK = 38.4 \)
• \( HK = \frac{38.4}{10} \)
• Sonuç: \( HK = 3.84 \) cm

✅ HK uzunluğu 3.84 cm'dir.

Bu tür gölge problemleri, Temel Benzerlik Teoremi'nin günlük hayattaki en güzel örneklerinden biridir. Güneş ışınları paralel geldiği için, ağaç ve gölgesi ile kişi ve gölgesi arasında oluşan dik üçgenler benzerdir. ☀️

• Kişinin boyu = 1.80 m
• Kişinin gölge boyu = 3 m
• Ağacın gölge boyu = 15 m
• Ağacın boyu = \(x\) (aranan değer)
• Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir: \[ \frac{\text{Kişinin boyu}}{\text{Kişinin gölge boyu}} = \frac{\text{Ağacın boyu}}{\text{Ağacın gölge boyu}} \]
• Değerleri yerine yazalım: \[ \frac{1.80}{3} = \frac{x}{15} \]
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 3 \cdot x = 1.80 \cdot 15 \)
• \( 3x = 27 \)
• Her iki tarafı 3'e bölelim: \( x = \frac{27}{3} \)
• Sonuç: \( x = 9 \) metre

✅ Ağacın boyu 9 metredir.

Bu problemde de Temel Benzerlik Teoremi'ni kullanacağız. Tabanlara paralel kesim yapıldığı için, oluşan küçük üçgen büyük üçgene benzerdir. 💡

• Büyük üçgenin tabanı (\(T_B\)) = 12 cm
• Büyük üçgenin yüksekliği (\(H_B\)) = 9 cm
• Küçük üçgenin yüksekliği (\(H_K\)) = 4 cm
• Küçük üçgenin tabanı (\(T_K\)) = \(x\) (aranan değer)
• Benzer üçgenlerde, yüksekliklerin oranı tabanların oranına eşittir: \[ \frac{H_K}{H_B} = \frac{T_K}{T_B} \]
• Değerleri yerine yazalım: \[ \frac{4}{9} = \frac{x}{12} \]
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 9 \cdot x = 4 \cdot 12 \)
• \( 9x = 48 \)
• Her iki tarafı 9'a bölelim: \( x = \frac{48}{9} \)
• Sadeleştirelim (her iki tarafı 3'e bölelim): \( x = \frac{16}{3} \) cm

✅ Üstteki küçük üçgenin taban uzunluğu yaklaşık 5.33 cm olmalıdır.