💡 9. Sınıf Matematik: Tales Öklid Ve Pisagor Teoremi Çözümlü Örnekler

Bu soruyu Pisagor Teoremi kullanarak çözeceğiz. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.

Yani, eğer dik kenarlar \(a\) ve \(b\), hipotenüs \(c\) ise:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \] Şimdi adımları takip edelim:

• 👉 Verilen dik kenarlar: \(a = 6\) cm ve \(b = 8\) cm.
• 👉 Formülü yerine koyalım: \(6^2 + 8^2 = c^2\)
• 👉 Karelerini alalım: \(36 + 64 = c^2\)
• 👉 Toplayalım: \(100 = c^2\)
• 👉 Hipotenüsü bulmak için karekök alalım: \(c = \sqrt{100}\)
• ✅ Sonuç: \(c = 10\) cm'dir.

Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. 📏

Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi'ne göre \(a^2 + b^2 = c^2\) idi.

Şimdi verilenleri yerine yazıp bilmeyeni bulalım:

• 👉 Verilen hipotenüs: \(c = 13\) cm.
• 👉 Verilen dik kenarlardan biri: \(a = 5\) cm.
• 👉 Diğer dik kenarı bulacağız (onu \(b\) olarak işaretleyelim): \(5^2 + b^2 = 13^2\)
• 👉 Karelerini alalım: \(25 + b^2 = 169\)
• 👉 \(b^2\)'yi yalnız bırakmak için 25'i karşıya atalım: \(b^2 = 169 - 25\)
• 👉 Çıkaralım: \(b^2 = 144\)
• 👉 \(b\)'yi bulmak için karekök alalım: \(b = \sqrt{144}\)
• ✅ Sonuç: \(b = 12\) cm'dir.

Diğer dik kenarın uzunluğu 12 cm'dir. 💡

Bu soru için Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız. Öklid'in Yükseklik Teoremi, bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesinin, hipotenüsü ayırdığı parçaların çarpımına eşit olduğunu belirtir.

Eğer yükseklik \(h\), hipotenüsü ayırdığı parçalar \(p\) ve \(k\) ise:
\[ h^2 = p \times k \] Şimdi adımları takip edelim:

• 👉 Hipotenüsü ayırdığı parçalar: \(p = 4\) cm ve \(k = 9\) cm.
• 👉 Formülü yerine koyalım: \(h^2 = 4 \times 9\)
• 👉 Çarpalım: \(h^2 = 36\)
• 👉 \(h\)'yi bulmak için karekök alalım: \(h = \sqrt{36}\)
• ✅ Sonuç: \(h = 6\) cm'dir.

Yüksekliğin uzunluğu 6 cm'dir. 🎯

Bu soru için Öklid'in Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız. Öklid'in Dik Kenar Teoremi, bir dik üçgende bir dik kenarın karesinin, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçası ile tüm hipotenüsün çarpımına eşit olduğunu söyler.

Eğer dik kenar \(c\), hipotenüs üzerindeki parçası \(p\) ve tüm hipotenüs \(a\) ise:
\[ c^2 = p \times a \] Şimdi adımları takip edelim:

• 👉 Hipotenüs üzerindeki parça (AB kenarına yakın olan): \(p = BD = 3\) cm.
• 👉 Tüm hipotenüs: \(a = BC = 12\) cm.
• 👉 AB dik kenarının uzunluğunu (\(c\)) arıyoruz. Formülü yerine koyalım: \(c^2 = 3 \times 12\)
• 👉 Çarpalım: \(c^2 = 36\)
• 👉 \(c\)'yi bulmak için karekök alalım: \(c = \sqrt{36}\)
• ✅ Sonuç: \(c = 6\) cm'dir.

AB dik kenarının uzunluğu 6 cm'dir. 📌

Bu problem Tales Teoremi veya diğer adıyla Temel Orantı Teoremi ile çözülür. Paralel doğrularla kesilen iki doğru üzerinde oluşan parçaların oranları birbirine eşittir.

Şekli hayal edelim: Kesişen iki doğru bir noktada birleşiyor. Bu noktadan uzaklaştıkça paralel doğrular bu kolları kesiyor. Küçük üçgenin kenarları ile büyük üçgenin kenarları arasında benzerlik oluşur.

• 👉 \(m\) doğrusu üzerinde, kesişim noktasından \(d_1\) doğrusuna kadar olan parça \(A_1 = 10\) cm.
• 👉 \(m\) doğrusu üzerinde, \(d_1\) ile \(d_2\) arasında kalan parça \(B_1 = 5\) cm. Bu durumda kesişim noktasından \(d_2\) doğrusuna kadar olan toplam parça \(A_1 + B_1 = 10 + 5 = 15\) cm olur.
• 👉 \(n\) doğrusu üzerinde, \(d_1\) ile \(d_2\) arasında kalan parça \(B_2 = 3\) cm.
• 👉 \(n\) doğrusu üzerinde, kesişim noktasından \(d_1\) doğrusuna kadar olan parçayı \(A_2\) olarak arıyoruz.

Tales Teoremi'ne göre, küçük üçgenin kenarının büyük üçgenin kenarına oranı, diğer kenarlar için de aynı olmalıdır:
\[ \frac{A_1}{A_1 + B_1} = \frac{A_2}{A_2 + B_2} \] Veya daha basit bir oranla (eğer kesişim noktası ile \(d_1\) arası ve \(d_1\) ile \(d_2\) arası parçaları kullanırsak):
\[ \frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{B_2} \] Şimdi hesaplayalım:

• 👉 Verilenleri formüle yerleştirelim: \( \frac{10}{5} = \frac{A_2}{3} \)
• 👉 Oranı hesaplayalım: \(2 = \frac{A_2}{3}\)
• 👉 \(A_2\)'yi bulmak için her iki tarafı 3 ile çarpalım: \(A_2 = 2 \times 3\)
• ✅ Sonuç: \(A_2 = 6\) cm'dir.

\(d_1\) doğrusundan \(n\) doğrusu üzerindeki kesişim noktasına kadar olan parça 6 cm'dir. 🌟

Bu durum da Tales Teoremi'nin bir uygulaması olan Temel Orantı Teoremi'dir. Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır.

Yani, DE // BC ise: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \] Şimdi adımları uygulayalım:

• 👉 Verilen uzunluklar: \(AD = 4\) cm, \(DB = 6\) cm, \(AE = 5\) cm.
• 👉 Aranan uzunluk: \(EC\).
• 👉 Formülü yerine koyalım: \( \frac{4}{6} = \frac{5}{EC} \)
• 👉 Oranı sadeleştirelim: \( \frac{2}{3} = \frac{5}{EC} \)
• 👉 İçler dışlar çarpımı yapalım: \(2 \times EC = 3 \times 5\)
• 👉 Çarpalım: \(2 \times EC = 15\)
• 👉 \(EC\)'yi bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim: \(EC = \frac{15}{2}\)
• ✅ Sonuç: \(EC = 7.5\) cm'dir.

EC uzunluğu 7.5 cm'dir. ✅

Bu problemde ilk olarak merdivenin boyunu bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız, ardından merdiven kaydırıldıktan sonraki yeni yüksekliği hesaplayacağız.
1. Adım: Merdivenin Boyunu Hesaplayalım

• 👉 Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur.
• 👉 Dik kenarlar: Duvara uzaklık = 3 m, Duvara değen yükseklik = 4 m.
• 👉 Hipotenüs (merdivenin boyu) = \(c\).
• 👉 Pisagor Teoremi: \(3^2 + 4^2 = c^2\)
• 👉 Hesaplayalım: \(9 + 16 = c^2 \Rightarrow 25 = c^2 \Rightarrow c = \sqrt{25} \Rightarrow c = 5\) m.
• ✅ Merdivenin boyu 5 metredir.

2. Adım: Merdiven Kaydırıldıktan Sonraki Durumu Hesaplayalım

• 👉 Merdivenin alt ucu duvara doğru 1 metre kaydırıldı.
• 👉 Yeni duvara uzaklık: \(3 - 1 = 2\) m.
• 👉 Merdivenin boyu sabit kalır: \(c = 5\) m.
• 👉 Yeni yüksekliği (\(h\)) bulmak için tekrar Pisagor Teoremi kullanalım: \(2^2 + h^2 = 5^2\)
• 👉 Hesaplayalım: \(4 + h^2 = 25\)
• 👉 \(h^2 = 25 - 4 \Rightarrow h^2 = 21\)
• 👉 Yeni yükseklik: \(h = \sqrt{21}\) m.

3. Adım: Merdivenin Ne Kadar Yukarı Çıktığını Bulalım

• 👉 İlk yükseklik: 4 m.
• 👉 Yeni yükseklik: \( \sqrt{21} \) m.
• 👉 Yükselme miktarı: \( \sqrt{21} - 4 \) m.
• 👉 (\( \sqrt{21} \) yaklaşık 4.58 olduğu için, \(4.58 - 4 = 0.58\) m yaklaşık olarak yükselmiştir.)
• ✅ Merdivenin üst ucu yaklaşık \( \sqrt{21} - 4 \) metre daha yukarı çıkar.

Bu problem, Pisagor Teoremi'nin günlük hayattaki uygulamasını gösterir. 🏠

Bu problemde Tales Teoremi'nin bir uygulaması olan benzerlik ilkesini kullanacağız. Güneş ışınları paralel geldiği için, Ali'nin boyu ve gölgesi ile ağacın boyu ve gölgesi benzer dik üçgenler oluşturur.

Benzerlik oranı kullanarak ağacın boyunu bulabiliriz:
\[ \frac{\text{Ali'nin Boyu}}{\text{Ali'nin Gölgesi}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölgesi}} \] Şimdi adımları takip edelim:

• 👉 Ali'nin boyu: \(1.8\) m.
• 👉 Ali'nin gölgesi: \(3\) m.
• 👉 Ağacın gölgesi: \(12\) m.
• 👉 Ağacın boyu (\(x\)) arıyoruz.
• 👉 Formülü yerine koyalım: \( \frac{1.8}{3} = \frac{x}{12} \)
• 👉 Oranı hesaplayalım: \(0.6 = \frac{x}{12}\)
• 👉 \(x\)'i bulmak için her iki tarafı 12 ile çarpalım: \(x = 0.6 \times 12\)
• ✅ Sonuç: \(x = 7.2\) m'dir.

Ağacın boyu 7.2 metredir. ☀️ Bu yöntem, ulaşılması zor yükseklikleri ölçmek için pratik bir yoldur!