🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid ve Pisagor İspatları Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid ve Pisagor İspatları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Birbirine paralel 3 doğru parçasının bir kesenle oluşturduğu benzerlikleri inceleyelim.
Paralel 3 doğru ve bunları kesen 2 farklı doğrumuz olsun.
Kesenden oluşan doğru parçalarının uzunlukları sırasıyla \( 4 \) cm, \( 6 \) cm ve \( x \) cm'dir. Diğer kesenden oluşan doğru parçalarının uzunlukları ise \( 3 \) cm, \( y \) cm ve \( 7.5 \) cm'dir.
Buna göre \( x \) ve \( y \) değerlerini bulunuz. 💡
Paralel 3 doğru ve bunları kesen 2 farklı doğrumuz olsun.
Kesenden oluşan doğru parçalarının uzunlukları sırasıyla \( 4 \) cm, \( 6 \) cm ve \( x \) cm'dir. Diğer kesenden oluşan doğru parçalarının uzunlukları ise \( 3 \) cm, \( y \) cm ve \( 7.5 \) cm'dir.
Buna göre \( x \) ve \( y \) değerlerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruda Tales Teoremi'nin (Benzerlik) temel prensibini kullanacağız. Paralel doğrular, kesenler üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.
- Tales Teoremi'ne Göre Orantı: Paralel doğrular tarafından kesilen doğru parçaları arasında şu orantı vardır:
\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \) - Verilen Değerler:
- İlk kesen üzerindeki parçalar: \( 4 \), \( 6 \), \( x \)
- İkinci kesen üzerindeki parçalar: \( 3 \), \( y \), \( 7.5 \)
- \( x \) Değerini Bulma: İlk kesen üzerindeki ilk iki parça ve ikinci kesen üzerindeki ilk iki parça arasındaki orantıyı kullanırız.
- \( \frac{4}{6} = \frac{3}{y} \)
- İçler dışlar çarpımı yapılırsa: \( 4y = 6 \times 3 \)
- \( 4y = 18 \)
- \( y = \frac{18}{4} = 4.5 \) cm
- \( y \) Değerini Bulma: İlk kesen üzerindeki ikinci ve üçüncü parçalar ile ikinci kesen üzerindeki ikinci ve üçüncü parçalar arasındaki orantıyı kullanırız.
- \( \frac{6}{x} = \frac{y}{7.5} \)
- \( y \) değerini yerine koyarsak: \( \frac{6}{x} = \frac{4.5}{7.5} \)
- İçler dışlar çarpımı yapılırsa: \( 6 \times 7.5 = 4.5x \)
- \( 45 = 4.5x \)
- \( x = \frac{45}{4.5} = 10 \) cm
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, dik açı olan B köşesinden hipotenüs AC'ye bir dikme (yükseklik) çiziliyor. Bu dikme, hipotenüsü AD ve DC olarak iki parçaya ayırıyor.
Eğer \( AD = 4 \) cm ve \( DC = 9 \) cm ise, ABC üçgeninin alanını bulunuz. 📐
Eğer \( AD = 4 \) cm ve \( DC = 9 \) cm ise, ABC üçgeninin alanını bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız. Bu teorem, dik üçgende hipotenüse indirilen dikmenin uzunluğunun, hipotenüs üzerindeki parçaların çarpımına eşit olduğunu söyler.
- Öklid'in Yükseklik Teoremi: Bir dik üçgende, dikten hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı doğru parçalarının uzunluklarının çarpımına eşittir.
\( h^2 = p \times k \) - Verilenler:
- Hipotenüsün bir parçası \( AD = p = 4 \) cm
- Hipotenüsün diğer parçası \( DC = k = 9 \) cm
- Yüksekliği (h) Bulma:
- \( h^2 = AD \times DC \)
- \( h^2 = 4 \times 9 \)
- \( h^2 = 36 \)
- \( h = \sqrt{36} = 6 \) cm
- ABC Üçgeninin Alanını Bulma: Bir üçgenin alanı \( \frac{taban \times yükseklik}{2} \) formülü ile bulunur. Bu durumda taban AC, yükseklik ise BD'dir.
- AC'nin uzunluğu = \( AD + DC = 4 + 9 = 13 \) cm
- ABC üçgeninin alanı = \( \frac{AC \times BD}{2} \)
- Alan = \( \frac{13 \times 6}{2} \)
- Alan = \( \frac{78}{2} = 39 \) cm²
Örnek 3:
Bir evin çatısının eğimini hesaplamak için bir marangoz, duvarın yüksekliğini ve tabandan çatıya kadar olan yatay mesafeyi ölçüyor.
Duvarın yüksekliği \( 3 \) metre ve tabandan çatıya kadar olan yatay mesafe \( 4 \) metre ise, çatının eğimli kenarının uzunluğunu (yani merdivenin dayanacağı kenar gibi düşünebilirsiniz) bulunuz. 📏
Duvarın yüksekliği \( 3 \) metre ve tabandan çatıya kadar olan yatay mesafe \( 4 \) metre ise, çatının eğimli kenarının uzunluğunu (yani merdivenin dayanacağı kenar gibi düşünebilirsiniz) bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu durum, dik üçgenin kenarlarını bulmak için Pisagor Teoremi'nin klasik bir uygulamasıdır.
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
\( a^2 + b^2 = c^2 \) - Verilenler:
- Dik kenar (duvar yüksekliği) \( a = 3 \) metre
- Diğer dik kenar (yatay mesafe) \( b = 4 \) metre
- Bulmak istediğimiz hipotenüs \( c \)
- Hipotenüsü (c) Bulma:
- \( 3^2 + 4^2 = c^2 \)
- \( 9 + 16 = c^2 \)
- \( 25 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{25} = 5 \) metre
Örnek 4:
Bir parkta bulunan iki ağaç arasındaki mesafeyi ölçmek isteyen Ayşe, ağaçların konumlarını bir koordinat sisteminde temsil ediyor.
Birinci ağaç \( A(2, 3) \) noktasında, ikinci ağaç ise \( B(5, 7) \) noktasında bulunmaktadır.
Ayşe, bu iki ağaç arasındaki düz çizgi mesafesini (gerçek uzaklıklarını) hesaplamak istiyor. Bu uzaklık kaç metredir? 🌳🌳
Birinci ağaç \( A(2, 3) \) noktasında, ikinci ağaç ise \( B(5, 7) \) noktasında bulunmaktadır.
Ayşe, bu iki ağaç arasındaki düz çizgi mesafesini (gerçek uzaklıklarını) hesaplamak istiyor. Bu uzaklık kaç metredir? 🌳🌳
Çözüm:
Bu soruda, iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için Pisagor Teoremi'nin analitik geometriye uyarlanmış halini kullanacağız. Bu, aslında bir dik üçgen oluşturarak hipotenüsü bulmaya benzer.
- İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Verilen Noktalar:
- \( A = (x_1, y_1) = (2, 3) \)
- \( B = (x_2, y_2) = (5, 7) \)
- Uzaklığı (d) Hesaplama:
- \( x_2 - x_1 = 5 - 2 = 3 \)
- \( y_2 - y_1 = 7 - 3 = 4 \)
- \( d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \)
- \( d = \sqrt{9 + 16} \)
- \( d = \sqrt{25} \)
- \( d = 5 \) birim
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 10 \) cm, \( BC = 12 \) cm ve \( AC = 14 \) cm'dir.
Bu üçgenin \( AC \) kenarına ait yüksekliğini bulunuz. ⛰️
Bu üçgenin \( AC \) kenarına ait yüksekliğini bulunuz. ⛰️
Çözüm:
Bu tür bir soruda, üçgenin kenar uzunlukları verildiğinde yüksekliği bulmak için genellikle Heron Formülü kullanılır. Heron Formülü ile üçgenin alanını hesaplar, ardından \( Alan = \frac{taban \times yükseklik}{2} \) formülünü kullanarak yüksekliği buluruz.
- Heron Formülü:
- Önce yarı çevreyi (u) hesaplarız: \( u = \frac{a+b+c}{2} \)
- Alan = \( \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} \)
- Verilen Kenarlar:
- \( a = BC = 12 \) cm
- \( b = AC = 14 \) cm
- \( c = AB = 10 \) cm
- Yarı Çevreyi (u) Hesaplama:
- \( u = \frac{12+14+10}{2} = \frac{36}{2} = 18 \) cm
- Üçgenin Alanını Hesaplama:
- Alan = \( \sqrt{18(18-12)(18-14)(18-10)} \)
- Alan = \( \sqrt{18 \times 6 \times 4 \times 8} \)
- Alan = \( \sqrt{3456} \)
- Alan = \( \sqrt{576 \times 6} = 24\sqrt{6} \) cm²
- \( AC \) Kenarına Ait Yüksekliği (h_b) Bulma:
- Alan = \( \frac{AC \times h_b}{2} \)
- \( 24\sqrt{6} = \frac{14 \times h_b}{2} \)
- \( 24\sqrt{6} = 7 h_b \)
- \( h_b = \frac{24\sqrt{6}}{7} \) cm
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini atmadan önce zeminin düzgünlüğünü kontrol ediyor.
Zeminde bir dik üçgen oluşturacak şekilde üç kazık çakıyor. Kazıklar arasındaki mesafeler \( 6 \) metre, \( 8 \) metre ve \( 10 \) metre olarak ölçülüyor.
Bu ölçümlerin zeminin dik açılı bir üçgen oluşturduğunu doğrulamak için hangi teoremi kullanabiliriz ve bu ölçüler bu teoremi sağlıyor mu? 🤔
Zeminde bir dik üçgen oluşturacak şekilde üç kazık çakıyor. Kazıklar arasındaki mesafeler \( 6 \) metre, \( 8 \) metre ve \( 10 \) metre olarak ölçülüyor.
Bu ölçümlerin zeminin dik açılı bir üçgen oluşturduğunu doğrulamak için hangi teoremi kullanabiliriz ve bu ölçüler bu teoremi sağlıyor mu? 🤔
Çözüm:
Bu senaryoda, zeminin dik açılı bir üçgen oluşturup oluşturmadığını kontrol etmek için Pisagor Teoremi'ni kullanırız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende en uzun kenarın (hipotenüs) karesinin, diğer iki kenarın (dik kenarlar) karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler.
- Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Verilen Kenar Uzunlukları: \( 6 \) m, \( 8 \) m, \( 10 \) m
- Kontrol Etme: En uzun kenar \( 10 \) m'dir. Bu hipotenüs olmalıdır. Diğer iki kenar \( 6 \) m ve \( 8 \) m'dir.
- Dik kenarların karelerinin toplamı: \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
- Hipotenüsün karesi: \( 10^2 = 100 \)
- Sonuç: Dik kenarların karelerinin toplamı \( 100 \) ve hipotenüsün karesi de \( 100 \) olduğundan, \( 6^2 + 8^2 = 10^2 \) eşitliği sağlanır.
Örnek 7:
Bir harita üzerinde iki şehir arasındaki mesafeyi \( 5 \) cm olarak ölçen bir kişi, haritanın ölçeğinin \( 1 : 200.000 \) olduğunu biliyor.
Bu iki şehir arasındaki gerçek mesafeyi kilometre cinsinden bulunuz. 🗺️
Bu iki şehir arasındaki gerçek mesafeyi kilometre cinsinden bulunuz. 🗺️
Çözüm:
Bu soru, Tales Teoremi'nin ölçeklendirme prensibiyle ilgilidir. Harita üzerindeki mesafenin gerçek mesafeye oranı sabittir.
- Ölçek Anlamı: \( 1 : 200.000 \) ölçeği, haritada \( 1 \) birimlik mesafenin gerçekte \( 200.000 \) birim olduğunu ifade eder.
- Verilenler:
- Harita üzerindeki mesafe = \( 5 \) cm
- Ölçek = \( 1 : 200.000 \)
- Gerçek Mesafeyi Hesaplama:
- Gerçek Mesafe = Harita Mesafesi \( \times \) Ölçek Paydası
- Gerçek Mesafe = \( 5 \) cm \( \times 200.000 \)
- Gerçek Mesafe = \( 1.000.000 \) cm
- Santimetreyi Kilometreye Çevirme:
- \( 1 \) metre = \( 100 \) cm
- \( 1 \) kilometre = \( 1000 \) metre = \( 1000 \times 100 \) cm = \( 100.000 \) cm
- Gerçek Mesafe (km) = \( \frac{1.000.000 \text{ cm}}{100.000 \text{ cm/km}} \)
- Gerçek Mesafe = \( 10 \) km
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde, \( AB = 6 \) birim ve \( BC = 8 \) birimdir. Dik açı B'dedir.
Bu üçgenin hipotenüsü AC'ye ait yüksekliğini (BD diyelim, D noktası AC üzerindedir) bulunuz. 📏
Bu üçgenin hipotenüsü AC'ye ait yüksekliğini (BD diyelim, D noktası AC üzerindedir) bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda hem Pisagor Teoremi hem de Öklid'in Yükseklik Teoremi'ni kullanacağız.
- 1. Adım: Hipotenüs AC'yi Bulma (Pisagor Teoremi)
- \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
- \( 6^2 + 8^2 = AC^2 \)
- \( 36 + 64 = AC^2 \)
- \( 100 = AC^2 \)
- \( AC = \sqrt{100} = 10 \) birim
- 2. Adım: Üçgenin Alanını Hesaplama
- Alan = \( \frac{AB \times BC}{2} \)
- Alan = \( \frac{6 \times 8}{2} \)
- Alan = \( \frac{48}{2} = 24 \) birimkare
- 3. Adım: Yüksekliği (BD) Bulma (Alan Formülünü Kullanarak)
- Alan = \( \frac{AC \times BD}{2} \)
- \( 24 = \frac{10 \times BD}{2} \)
- \( 24 = 5 \times BD \)
- \( BD = \frac{24}{5} = 4.8 \) birim
- Öklid'in Yükseklik Teoremi: \( h^2 = p \times k \)
- Bu teorem doğrudan yüksekliği bulmak için kullanılır ancak hipotenüsün parçalarını (p ve k) bilmemiz gerekir. Bizim durumumuzda bu parçaları bilmediğimiz için alan yöntemini kullanmak daha pratiktir. Ancak, eğer hipotenüsün parçaları (AD ve DC) verilseydi, bu teorem doğrudan kullanılabilirdi.
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde, \( AB = 15 \) cm, \( BC = 13 \) cm ve \( AC = 14 \) cm'dir.
Bu üçgenin \( BC \) kenarına ait yüksekliğini bulunuz. 📏
Bu üçgenin \( BC \) kenarına ait yüksekliğini bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda da, üçgenin üç kenarı verildiği için alanı Heron Formülü ile hesaplayıp, ardından \( Alan = \frac{taban \times yükseklik}{2} \) formülünü kullanarak istenen yüksekliği bulacağız.
- Heron Formülü:
- Önce yarı çevreyi (u) hesaplarız: \( u = \frac{a+b+c}{2} \)
- Alan = \( \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} \)
- Verilen Kenarlar:
- \( a = BC = 13 \) cm
- \( b = AC = 14 \) cm
- \( c = AB = 15 \) cm
- Yarı Çevreyi (u) Hesaplama:
- \( u = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \) cm
- Üçgenin Alanını Hesaplama:
- Alan = \( \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} \)
- Alan = \( \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} \)
- Alan = \( \sqrt{7056} \)
- Alan = \( 84 \) cm²
- \( BC \) Kenarına Ait Yüksekliği (h_a) Bulma:
- Alan = \( \frac{BC \times h_a}{2} \)
- \( 84 = \frac{13 \times h_a}{2} \)
- \( 168 = 13 h_a \)
- \( h_a = \frac{168}{13} \) cm
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-oklid-ve-pisagor-ispatlari/sorular