🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid Ve Pisagor Bağıntısı Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid Ve Pisagor Bağıntısı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. 🔥 Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu Pisagor Bağıntısı kullanarak çözeceğiz. 📐
- 📌 Pisagor Bağıntısı Hatırlatma: Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları \( a \) ve \( b \), hipotenüsün uzunluğu \( c \) ise, \( a^2 + b^2 = c^2 \) formülü geçerlidir.
- ✅ Verilen dik kenarlar: \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm.
- Hipotenüs uzunluğunu \( c \) ile gösterelim.
- Formülü uygulayalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Hesaplamaları yapalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç olarak hipotenüs uzunluğu: \( c = 10 \) cm'dir.
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. A köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı H olsun. AH uzunluğu 6 cm, BH uzunluğu 4 cm olduğuna göre, HC uzunluğu kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in Yükseklik Bağıntısını kullanacağız.
- 📌 Öklid'in Yükseklik Bağıntısı Hatırlatma: Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir. Yani, \( h^2 = p \times k \).
- Verilenler: Yükseklik \( AH = h = 6 \) cm. Hipotenüs üzerindeki parçalardan biri \( BH = p = 4 \) cm.
- İstenen: Diğer parça \( HC = k \).
- Formülü uygulayalım: \( AH^2 = BH \times HC \)
- Değerleri yerine yazalım: \( 6^2 = 4 \times HC \)
- Hesaplamayı yapalım: \( 36 = 4 \times HC \)
- HC'yi bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim: \( HC = \frac{36}{4} \)
- Sonuç olarak HC uzunluğu: \( HC = 9 \) cm'dir. ✅
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir. A köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı H olsun. BH uzunluğu 3 cm ve hipotenüs BC uzunluğu 12 cm'dir. Buna göre AB dik kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Öklid'in Dik Kenar Bağıntısını kullanacağız.
- 📌 Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı Hatırlatma: Bir dik üçgende, dik kenarların karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı kendi tarafındaki parça ile tüm hipotenüsün çarpımına eşittir. Yani, \( c^2 = p \times a \) veya \( b^2 = k \times a \).
- Verilenler: Hipotenüs üzerindeki parça \( BH = p = 3 \) cm. Tüm hipotenüs \( BC = a = 12 \) cm.
- İstenen: Dik kenar \( AB = c \).
- Formülü uygulayalım: \( AB^2 = BH \times BC \)
- Değerleri yerine yazalım: \( AB^2 = 3 \times 12 \)
- Hesaplamayı yapalım: \( AB^2 = 36 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( AB = \sqrt{36} \)
- Sonuç olarak AB uzunluğu: \( AB = 6 \) cm'dir. 👍
Örnek 4:
Birbirine paralel \( d_1, d_2, d_3 \) doğruları, bir \( k \) doğrusunu A, B, C noktalarında, bir \( l \) doğrusunu ise D, E, F noktalarında kesmektedir. AB uzunluğu 5 cm, BC uzunluğu 10 cm ve DE uzunluğu 4 cm ise, EF uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda Tales Bağıntısı (Temel Orantı Teoremi)nı kullanacağız.
- 📌 Tales Bağıntısı Hatırlatma: Paralel doğrular, iki kesen üzerinde orantılı parçalar ayırır. Yani, \( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \).
- Verilenler: \( AB = 5 \) cm, \( BC = 10 \) cm, \( DE = 4 \) cm.
- İstenen: \( EF \).
- Formülü uygulayalım: \( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \)
- Değerleri yerine yazalım: \( \frac{5}{10} = \frac{4}{EF} \)
- Kesri sadeleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{4}{EF} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 1 \times EF = 2 \times 4 \)
- Sonuç olarak EF uzunluğu: \( EF = 8 \) cm'dir. ✅
Örnek 5:
Bir dik üçgenin dik kenarları 9 cm ve 12 cm'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu ve hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğunu bulunuz. 🧐
Çözüm:
Bu soruda hem Pisagor Bağıntısını hem de Öklid'in Alan Bağıntısını (veya Yükseklik Bağıntısı için öncelikle hipotenüs parçalarını bularak) kullanacağız.
- 1. Adım: Hipotenüs uzunluğunu bulma (Pisagor Bağıntısı)
- Dik kenarlar \( a = 9 \) cm, \( b = 12 \) cm. Hipotenüs \( c \) olsun.
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 9^2 + 12^2 = c^2 \)
- \( 81 + 144 = c^2 \)
- \( 225 = c^2 \)
- \( c = \sqrt{225} \Rightarrow c = 15 \) cm. 👉 Hipotenüs uzunluğu 15 cm'dir.
- 2. Adım: Hipotenüse ait yüksekliği bulma (Öklid'in Alan Bağıntısı)
- Dik üçgenin alanı iki farklı şekilde hesaplanabilir: (dik kenarlar çarpımı)/2 veya (hipotenüs \times hipotenüse ait yükseklik)/2.
- Dik kenarlar \( a = 9 \), \( b = 12 \), hipotenüs \( c = 15 \). Hipotenüse ait yükseklik \( h \) olsun.
- \( a \times b = c \times h \)
- \( 9 \times 12 = 15 \times h \)
- \( 108 = 15 \times h \)
- \( h = \frac{108}{15} \)
- Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı 3'e bölelim): \( h = \frac{36}{5} \)
- Sonuç olarak hipotenüse ait yükseklik: \( h = 7.2 \) cm'dir. ✅
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, düz bir zeminde bulunan 6 metre yüksekliğindeki bir duvara 10 metre uzunluğunda bir merdiven dayıyor. Merdivenin ayağı duvardan ne kadar uzaktadır? Duvar ile merdiven arasındaki açı dar açı olmalıdır. Merdivenin duvarla yaptığı açı 90 dereceden küçük bir açıdır. 👷♂️
Çözüm:
Bu bir Pisagor Bağıntısı uygulamasıdır. Duvar, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur.
- 📌 Dik Üçgen Elemanları:
- Duvarın yüksekliği: Dik kenarlardan biri \( a = 6 \) metre.
- Merdivenin uzunluğu: Hipotenüs \( c = 10 \) metre.
- Merdivenin ayağının duvardan uzaklığı: Diğer dik kenar \( b \) (aranan değer).
- Pisagor Bağıntısı: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine yazalım: \( 6^2 + b^2 = 10^2 \)
- Hesaplamaları yapalım: \( 36 + b^2 = 100 \)
- \( b^2 \) yalnız bırakalım: \( b^2 = 100 - 36 \)
- \( b^2 = 64 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{64} \)
- Sonuç olarak merdivenin ayağı duvardan: \( b = 8 \) metre uzaktadır. ✅
Örnek 7:
Bir parkta, 3 metre boyundaki bir direğin gölgesi 4 metre uzunluğundadır. Aynı anda, direkten 15 metre uzakta bulunan bir ağacın gölgesi kaç metre olur? (Ağacın boyunu bulmanıza gerek yoktur, gölge boyu oranını kullanın.) ☀️
Çözüm:
Bu problem, Tales Bağıntısının benzer üçgenler prensibiyle günlük hayata uygulanmış halidir. Güneş ışınları paralel geldiği için, direk ve ağaç ile gölgeleri arasında oluşan üçgenler benzerdir ve orantılıdır.
- 📌 Benzer Üçgenler ve Tales Bağıntısı: Aynı anda farklı cisimlerin oluşturduğu gölgelerle cisimlerin boyları arasındaki oran sabittir.
- Verilenler:
- Direğin boyu \( = 3 \) metre.
- Direğin gölgesi \( = 4 \) metre.
- Ağacın direkten uzaklığı (bu bilgi yanıltıcıdır, burada önemli olan ağacın boyu ile gölgesi arasındaki orandır).
- Ağacın gölgesi \( = x \) metre (aranan değer).
- Orantıyı kuralım: \( \frac{\text{Direğin Boyu}}{\text{Direğin Gölgesi}} = \frac{\text{Ağacın Boyu}}{\text{Ağacın Gölgesi}} \)
- Ancak ağacın boyunu bilmiyoruz. Bu durumda direkt gölge oranından gidemeyiz. Soruyu farklı yorumlamalıyız: Eğer direğin gölgesi 4 metre ise ve direk 3 metre ise, birim boya düşen gölge uzunluğu sabittir. Veya daha basitçe, eğer ağacın boyu da \( h \) ise, \( \frac{3}{4} = \frac{h}{x} \) olacaktır. Ama ağacın boyunu bilmiyoruz.
- Soruyu tekrar okuyalım: "Aynı anda, direkten 15 metre uzakta bulunan bir ağacın gölgesi kaç metre olur?" Bu ifade, aslında ağacın boyunu bulmadan direkt bir orantı kurmayı ima ediyor. Ancak, "direkten 15 metre uzakta" bilgisi, ağacın boyu hakkında bir bilgi vermez. Bu durumda, gölge boyunun direğin boyuna oranının sabit kalacağı varsayılır.
- Eğer soru, "direğin boyu 3 metre, gölgesi 4 metre; ağacın boyu 15 metre ise gölgesi kaç metredir?" şeklinde olsaydı, \( \frac{3}{4} = \frac{15}{x} \) olurdu.
- Burada soruyu Tales Bağıntısı'nın temel orantı teoremi bağlamında yorumlayalım: Eğer güneş ışınları paralel ise, direğin boyunun gölgesine oranı, ağacın boyunun gölgesine oranına eşittir. Ancak ağacın boyu verilmemiş. Bu durumda sorunun eksik bilgi içerdiğini düşünebiliriz.
- Ancak, 9. sınıf müfredatında bu tür sorular genellikle benzer üçgenler üzerinden çözülür. Eğer direğin boyu \( D_b \) ve gölgesi \( D_g \), ağacın boyu \( A_b \) ve gölgesi \( A_g \) ise, \( \frac{D_b}{D_g} = \frac{A_b}{A_g} \).
- Soruda "direkten 15 metre uzakta bulunan bir ağacın gölgesi" ifadesi, ağacın boyu hakkında bilgi vermediği için, bu haliyle doğrudan Tales veya benzerlikten bir sayısal sonuç elde etmek zor. Ancak, eğer kastedilen ağacın boyu 15 metre ise, o zaman orantı kurulabilir.
- Varsayım: Ağacın boyu \( 15 \) metre ise. (Sorunun bu şekilde anlaşılması beklenir.)
- Direk için oran: \( \frac{\text{Boy}}{\text{Gölge}} = \frac{3}{4} \)
- Ağaç için bu oran sabit kalmalıdır: \( \frac{15}{\text{Ağacın Gölgesi}} = \frac{3}{4} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 3 \times \text{Ağacın Gölgesi} = 15 \times 4 \)
- \( 3 \times \text{Ağacın Gölgesi} = 60 \)
- \( \text{Ağacın Gölgesi} = \frac{60}{3} \)
- Sonuç olarak ağacın gölgesi: \( 20 \) metredir. 🌳
Örnek 8:
Bir ABCD dikdörtgeni düşünün. AB kenarının uzunluğu 12 cm, BC kenarının uzunluğu 5 cm'dir. Dikdörtgenin A köşesinden C köşesine bir köşegen çiziliyor. Bu köşegenin uzunluğunu bulunuz. Daha sonra, A köşesinden AC köşegenine indirilen dikmenin (yüksekliğin) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda hem Pisagor Bağıntısını hem de Öklid'in Alan Bağıntısını kullanacağız.
- 1. Adım: Köşegen uzunluğunu bulma (Pisagor Bağıntısı)
- Dikdörtgenin köşegeni, dikdörtgeni iki adet dik üçgene ayırır. Örneğin, ABC üçgeni bir dik üçgendir (B açısı 90 derecedir).
- Dik kenarlar: \( AB = 12 \) cm ve \( BC = 5 \) cm.
- Köşegen \( AC \) bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
- Pisagor Bağıntısı: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
- Değerleri yerine yazalım: \( 12^2 + 5^2 = AC^2 \)
- Hesaplamaları yapalım: \( 144 + 25 = AC^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 169 = AC^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( AC = \sqrt{169} \Rightarrow AC = 13 \) cm. 👉 Köşegen uzunluğu 13 cm'dir.
- 2. Adım: Köşegene ait yüksekliği bulma (Öklid'in Alan Bağıntısı)
- ABC dik üçgeninde, A köşesinden hipotenüs AC'ye indirilen yüksekliği \( h \) ile gösterelim.
- Dik üçgenin alanı: \( \frac{1}{2} \times \text{dik kenar 1} \times \text{dik kenar 2} \) veya \( \frac{1}{2} \times \text{hipotenüs} \times \text{yükseklik} \).
- Bu iki alan formülünü eşitleyebiliriz: \( AB \times BC = AC \times h \)
- Değerleri yerine yazalım: \( 12 \times 5 = 13 \times h \)
- Çarpımları yapalım: \( 60 = 13 \times h \)
- \( h \) değerini bulmak için her iki tarafı 13'e bölelim: \( h = \frac{60}{13} \) cm.
- Sonuç olarak A köşesinden AC köşegenine indirilen yüksekliğin uzunluğu: \( \frac{60}{13} \) cm'dir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-oklid-ve-pisagor-bagintisi/sorular