🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales öklid teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales öklid teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı 90 derecedir. A açısı \( 30^\circ \) ve hipotenüs AB kenarı 10 cm'dir. A'dan hipotenüse indirilen yükseklik CD'dir. CD uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soru, Öklid'in dik üçgenlerde yükseklik teoreminin bir uygulamasıdır. Ancak 9. sınıf müfredatında bu teorem doğrudan bu şekilde ele alınmayabilir. Temel trigonometri bilgisiyle çözülebilir.
- Öncelikle, ABC dik üçgeninde A açısı \( 30^\circ \) ise, B açısı \( 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) olur.
- ABC üçgeninde sinüs teoremini kullanarak BC kenarını bulalım: \( \sin(30^\circ) = \frac{BC}{AB} \).
- \( \frac{1}{2} = \frac{BC}{10} \) olduğundan, \( BC = 5 \) cm'dir.
- Şimdi, BCD dik üçgenine bakalım. B açısı \( 60^\circ \) ve hipotenüs BC kenarı 5 cm'dir.
- BCD üçgeninde sinüs teoremini kullanarak CD yüksekliğini bulalım: \( \sin(60^\circ) = \frac{CD}{BC} \).
- \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{CD}{5} \) olduğundan, \( CD = \frac{5\sqrt{3}}{2} \) cm'dir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde BC kenarına ait yükseklik AD'dir ve D noktası BC kenarı üzerindedir. \( AB = 13 \) cm, \( AC = 15 \) cm ve \( AD = 12 \) cm'dir. BC kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda dik üçgenlerde Pisagor teoremini ve Öklid'in dik üçgenlerde yükseklik teoreminin temel mantığını kullanacağız.
- ABC üçgeninde AD yüksekliği, ABD ve ACD olmak üzere iki dik üçgen oluşturur.
- Öncelikle ABD dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım: \( AB^2 = AD^2 + BD^2 \).
- \( 13^2 = 12^2 + BD^2 \)
- \( 169 = 144 + BD^2 \)
- \( BD^2 = 169 - 144 = 25 \)
- \( BD = \sqrt{25} = 5 \) cm'dir.
- Şimdi ACD dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım: \( AC^2 = AD^2 + CD^2 \).
- \( 15^2 = 12^2 + CD^2 \)
- \( 225 = 144 + CD^2 \)
- \( CD^2 = 225 - 144 = 81 \)
- \( CD = \sqrt{81} = 9 \) cm'dir.
- BC kenarının uzunluğu, BD ve CD kenar uzunluklarının toplamıdır: \( BC = BD + CD \).
- \( BC = 5 + 9 = 14 \) cm'dir.
Örnek 3:
Bir emlakçı, \( 12 \) metre uzunluğundaki bir duvarın tam ortasına, duvara dik olacak şekilde \( 5 \) metre uzunluğunda bir çit yerleştirecektir. Çitin duvara en uzak noktasının duvara olan mesafesi kaç metre olur?
Çözüm:
Bu problem, Tales teoreminin paralellik ve orantı ilkesini kullanır. Şekli hayal edelim:
- Duvar, bir doğru parçası olarak düşünülebilir.
- Çit, bu doğru parçasına dik ve ortasına yerleştirilmiş başka bir doğru parçasıdır.
- Sorulan mesafe, çitin ucundan duvarın en uzak noktasına olan dik mesafedir.
- Bu durumu bir yamuk (veya daha doğrusu bir dik yamuk) problemi gibi düşünebiliriz.
- Duvarın uzunluğu \( 12 \) metre, çitin uzunluğu \( 5 \) metre.
- Çit, duvarın tam ortasına yerleştirildiği için, duvarın her iki tarafında \( 12 / 2 = 6 \) metrelik bir mesafe kalır.
- Şimdi, çitin bir ucunu bir nokta, duvarın bir ucunu bir nokta ve çitin diğer ucunu başka bir nokta olarak düşünelim. Çitin duvara en uzak noktasının duvara olan mesafesi soruluyor.
- Bu aslında, çitin ortasından (duvarın ortası) çitin ucuna olan dik mesafedir.
- Yani, çitin yarısının uzunluğu sorulmaktadır.
- Çitin uzunluğu \( 5 \) metre ise, yarısı \( 5 / 2 = 2.5 \) metredir.
Örnek 4:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın planını çizerken, bir duvarın iki ucundan çıkan ve birbirine paralel olan iki çizgi kullanıyor. Bu çizgilerin birinin uzunluğu 6 metre, diğerinin uzunluğu 9 metredir. İki çizgi arasındaki mesafe 3 metre ise, bu çizgilerin birleştiği noktadan duvarın ortasına kadar olan mesafe kaç metredir?
Çözüm:
Bu durum, Tales teoreminin bir uygulamasıdır. Paralel doğrular ve bunları kesen doğrular arasındaki orantıları inceleriz.
- İki paralel çizgi (duvarın iki kenarı gibi düşünebiliriz) ve bu çizgileri kesen bir üçüncü çizgi (binanın planındaki bir aks gibi) düşünelim.
- Bu problemde, "duvarın iki ucundan çıkan" ifadeleri, aslında bir noktadan çıkan ve duvara paralel olan iki ışın gibi düşünülebilir.
- Daha net bir ifadeyle, bir A noktasından çıkan ve birbirine paralel olan iki doğru parçası düşünelim. Bu doğru parçaları, bir doğrusunu kestiğinde oluşan 3 metre mesafeyi belirlesin.
- Paralel doğruların uzunlukları \( 6 \) metre ve \( 9 \) metre.
- Bu paralel doğruların birleştiği nokta ile duvarın ortasına olan mesafeyi bulmak istiyoruz.
- Tales teoremi gereği, benzer üçgenler oluşur.
- Küçük üçgenin tabanı \( 6 \) metre, büyük üçgenin tabanı \( 9 \) metre.
- Bu üçgenlerin yükseklikleri (yani birleşme noktasından paralel doğrulara kadar olan mesafeler) de aynı oranda olacaktır.
- Eğer birleşme noktasından \( 6 \) metrelik doğruya kadar olan mesafe \( x \) ise, birleşme noktasından \( 9 \) metrelik doğruya kadar olan mesafe \( x + 3 \) olur.
- Benzerlik oranından: \( \frac{6}{9} = \frac{x}{x+3} \)
- \( 6(x+3) = 9x \)
- \( 6x + 18 = 9x \)
- \( 18 = 3x \)
- \( x = 6 \) metre.
- Bu \( x \) değeri, birleşme noktasından \( 6 \) metrelik çizgiye olan mesafedir.
- Soruda duvarın ortasına olan mesafe soruluyor. Bu, aslında \( x \) mesafesidir.
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı \( 90^\circ \) 'dir. A'dan BC kenarına indirilen yükseklik AD'dir. \( BD = 4 \) cm ve \( CD = 9 \) cm'dir. AC kenarının uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Bu soru, Öklid'in dik üçgenlerde yükseklik teoremini doğrudan uygulamayı gerektirir.
- Öklid'in yükseklik teoremi der ki: Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri, hipotenüsün bu kenarların düştüğü parçalarla olan çarpımına eşittir.
- Daha yaygın olarak bilinen şekliyle, dikten indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir: \( AD^2 = BD \cdot CD \).
- Ancak bu soruda AC kenarı sorulmaktadır.
- Öklid'in dik kenar teoremi ise şöyledir: Bir dik kenarın karesi, hipotenüsün o kenarın düştüğü parçayla çarpımına eşittir.
- Yani, \( AC^2 = CD \cdot BC \) ve \( AB^2 = BD \cdot BC \) olur.
- Öncelikle BC kenarının uzunluğunu bulalım: \( BC = BD + CD \).
- \( BC = 4 + 9 = 13 \) cm'dir.
- Şimdi AC kenarını bulmak için Öklid'in dik kenar teoremini kullanalım: \( AC^2 = CD \cdot BC \).
- \( AC^2 = 9 \cdot 13 \)
- \( AC^2 = 117 \)
- \( AC = \sqrt{117} \) cm'dir.
- \( \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13} \) cm olarak da yazılabilir.
Örnek 6:
Bir ABC dik üçgeninde, C açısı \( 90^\circ \) 'dir. A'dan hipotenüs AB'ye indirilen yükseklik CD'dir. \( AD = 3 \) cm ve \( BD = 12 \) cm'dir. ABC üçgeninin alanını bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in yükseklik teoremini ve ardından alan formülünü kullanacağız.
- Öklid'in yükseklik teoremi: \( CD^2 = AD \cdot BD \).
- Verilenlere göre: \( AD = 3 \) cm ve \( BD = 12 \) cm.
- Bu değerleri teoremde yerine koyalım: \( CD^2 = 3 \cdot 12 \).
- \( CD^2 = 36 \)
- \( CD = \sqrt{36} = 6 \) cm'dir. Bu, üçgenin yüksekliğidir.
- Şimdi ABC üçgeninin alanını bulmak için temel alan formülünü kullanabiliriz: Alan = \( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \).
- Bu üçgende taban olarak AB kenarını alabiliriz.
- AB kenarının uzunluğu \( AB = AD + BD \) 'dir.
- \( AB = 3 + 12 = 15 \) cm'dir.
- Alan = \( \frac{1}{2} \times AB \times CD \)
- Alan = \( \frac{1}{2} \times 15 \times 6 \)
- Alan = \( \frac{1}{2} \times 90 \)
- Alan = \( 45 \) cm\( ^2 \)
Örnek 7:
Bir parkta, bir ağacın tepesinden yere dik olarak inen bir ip sarkıtılmıştır. İpin ucunda bir fener bulunmaktadır. Fenerin aydınlattığı alanın yere düşen izdüşümü, ağacın dibinden \( 8 \) metre uzaklıktadır. İpin uzunluğu \( 10 \) metre ise, fenerin aydınlattığı dairesel alanın yarıçapı kaç metredir?
Çözüm:
Bu problem, dik üçgenler ve Pisagor teoremi ile Tales teoreminin birleşimi olarak düşünülebilir.
- Ağacın tepesi bir nokta (A), ağacın dibi başka bir nokta (B) ve ipin ucu (fener) başka bir nokta (C) olsun.
- Bu durumda ABC bir dik üçgendir (C açısı \( 90^\circ \)).
- Ağacın yüksekliği \( AB \) (ip sarkıtıldığı için \( AB = 10 \) m).
- Fenerin aydınlattığı alanın yere düşen izdüşümü \( BC = 8 \) m.
- Sorulan, fenerin aydınlattığı dairesel alanın yarıçapıdır. Bu, aslında fenerin yerden yüksekliği ile ilgilidir ancak burada fenerin aydınlattığı çemberin yarıçapı soruluyor.
- Bu soruyu Tales teoremi ile ilişkilendirelim. Fenerin konumu ve aydınlattığı alan bir benzerlik ilişkisi kurar.
- Fenerin yerden yüksekliği \( h \) olsun. Fenerin aydınlattığı çemberin yarıçapı \( r \) olsun.
- Burada ipin uzunluğu \( 10 \) metre ve yere olan uzaklık \( 8 \) metre verilmiş.
- Bu bir dik üçgen oluşturur: \( h^2 + r^2 = 10^2 \) (Pisagor).
- Ancak verilen \( 8 \) metre, fenerin bulunduğu yerden yere dik olan mesafedir.
- Yani, ağacın yüksekliği \( 10 \) metre değil, ipin uzunluğu \( 10 \) metredir.
- Fenerin yerden yüksekliği \( h \) olsun. Fenerin aydınlattığı çemberin yarıçapı \( r \) olsun.
- Fenerin yerden uzaklığı \( 8 \) metredir. Bu, fenerin aydınlattığı çemberin yarıçapı olmayabilir.
- Soruyu tekrar inceleyelim: "Fenerin aydınlattığı alanın yere düşen izdüşümü, ağacın dibinden \( 8 \) metre uzaklıktadır." Bu, fenerin konumundan yere dik olarak inen çizginin, fenerin aydınlattığı çemberin üzerindeki bir noktaya olan uzaklığıdır.
- Bu sorunun Tales teoremi ile doğrudan bir ilişkisi yok gibi görünüyor. Daha çok Pisagor teoremi ile çözülür.
- Ağacın tepesi (A), ağacın dibi (B), fener (C).
- AB = Ağacın Yüksekliği (soruda verilmemiş).
- BC = 8 m (Fenerin aydınlattığı alanın yere düşen izdüşümü).
- AC = 10 m (İpin uzunluğu).
- Bu durumda B açısı \( 90^\circ \) olmalı.
- Pisagor teoremi: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
- \( AB^2 + 8^2 = 10^2 \)
- \( AB^2 + 64 = 100 \)
- \( AB^2 = 36 \)
- \( AB = 6 \) m (Ağacın yüksekliği).
- Soruda sorulan "fenerin aydınlattığı dairesel alanın yarıçapı", aslında fenerin yerden yüksekliği ile orantılıdır. Eğer fenerin ışığı dairesel bir alan oluşturuyorsa ve bu alanın yarıçapı \( r \) ise, bu \( r \) değeri fenerin yüksekliğine bağlıdır.
- Bu sorunun tam olarak ne sorduğu net değil. Eğer fenerin aydınlattığı alanın yarıçapı soruluyorsa, bu değer fenerin ışık yayma açısına bağlıdır ve bu bilgi verilmemiş.
- Eğer soru, fenerin aydınlattığı çemberin yere olan uzaklığı ile ilgiliyse, bu \( 8 \) metre olarak verilmiş.
- Eğer soru, fenerin yerden yüksekliğini soruyorsa, bu \( 6 \) metredir.
- Soruda "fenerin aydınlattığı dairesel alanın yarıçapı kaç metredir?" deniyor. Bu, fenerin ışık kaynağı olduğunu ve bir koni şeklinde ışık yaydığını varsayarsak, yere düşen çemberin yarıçapıdır.
- Bu, fenerin yüksekliği \( 6 \) metre ve yere olan uzaklık \( 8 \) metre ile doğrudan ilgili olmayabilir.
- Soruyu Tales teoremi bağlamında ele alırsak, bir ışık kaynağının yaydığı ışık konisi düşünülebilir.
- Bu sorunun en olası yorumu şudur: Ağacın tepesinden sarkıtılan ipin ucundaki fener, yere dairesel bir aydınlatma alanı oluşturuyor. Bu çemberin merkezi, fenerden yere dik inen çizginin ayağıdır. Fenerin yerden yüksekliği \( 6 \) metredir. Fenerin aydınlattığı çemberin yarıçapı \( r \) olsun. Bu \( r \) değeri, fenerin ışık yayma açısına bağlıdır ve bu bilgi verilmemiş.
- Ancak, eğer "aydınlattığı alanın yere düşen izdüşümü, ağacın dibinden \( 8 \) metre uzaklıktadır" ifadesi, fenerin aydınlattığı çemberin yarıçapı \( 8 \) metre anlamına geliyorsa, o zaman cevap \( 8 \) metredir. Bu durumda ipin uzunluğu \( 10 \) metre ve ağacın yüksekliği \( 6 \) metre bilgileri, fenerin konumunu doğrulamak için kullanılmıştır.
- Bu yorum en makul olanıdır.
Örnek 8:
Bir fotoğrafçı, geniş bir manzara fotoğrafı çekerken, iki ağaç arasındaki mesafeyi ölçmek istiyor. Birinci ağaçtan ikinci ağaca doğru baktığında, yanında duran bir direğin tepesinden geçen ve ikinci ağacın dibine uzanan bir çizgi çiziyor. Bu çizginin direğin dibinden yüksekliği 3 metre ve direğin uzunluğu 5 metredir. İki ağaç arasındaki mesafe 20 metre olduğuna göre, direğin tepesi ile ikinci ağacın dibi arasındaki çizginin direğin dibinden yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
Bu soru, Tales teoreminin benzerlik prensibini kullanır. Şekli gözümüzde canlandıralım:
- İki ağaç arasındaki mesafe, bir taban çizgisi (20 metre) olarak düşünülebilir.
- Birinci ağaç bir nokta, ikinci ağaç başka bir nokta.
- Direk, birinci ağaç ile ikinci ağaç arasında bir yerdedir ve yere diktir (5 metre).
- Direğin tepesinden geçen ve ikinci ağacın dibine uzanan bir çizgi var.
- Bu çizgi, birinci ağaçtan çıkan ve ikinci ağaca doğru giden bir görüş çizgisi gibi düşünülebilir.
- Bu durumda, direğin tepesi, birinci ağaçtan çıkan görüş çizgisi üzerinde bir noktadır.
- Soruda kafa karıştırıcı bir ifade var: "direğin tepesinden geçen ve ikinci ağacın dibine uzanan bir çizgi çiziyor. Bu çizginin direğin dibinden yüksekliği 3 metre..." Bu ifade çelişkilidir. Direğin tepesi zaten direğin kendisidir ve yüksekliği 5 metredir.
- Soruyu şu şekilde yorumlayalım: Birinci ağaçtan çıkan bir ışın, direğin tepesinden geçerek ikinci ağaca doğru ilerliyor. Direğin yüksekliği 5 metredir. Direğin dibinden ikinci ağacın dibine olan mesafe 20 metredir. Direğin tepesinden ikinci ağacın dibine olan çizginin direğin dibinden yüksekliği soruluyor. Bu da direğin kendi yüksekliği olur ki bu 5 metredir.
- Ancak, sorunun devamı "direğin tepesi ile ikinci ağacın dibi arasındaki çizginin direğin dibinden yüksekliği kaç metredir?" şeklinde gelmiş. Bu da yine 5 metreye işaret ediyor.
- Sorunun orijinal metninde bir hata olabilir. Varsayalım ki, fotoğrafçı direğin yanından bakıyor ve direğin tepesinden geçerek ikinci ağacı görüyor.
- Daha olası bir senaryo: Birinci ağaçtan çıkan bir ışın, direğin tepesinden geçiyor ve ikinci ağacın dibine ulaşıyor.
- Şimdi, Tales teoremi için benzer üçgenler oluşturalım.
- Birinci ağaç (A), direğin dibi (B), direğin tepesi (C), ikinci ağacın dibi (D) olsun.
- AC, direğin tepesinden geçen ve AD'ye uzanan doğru olsun.
- Yani, A, C, D noktaları doğrusaldır.
- AB, birinci ağacın yüksekliği (bilinmiyor). BC = 5 m (direğin yüksekliği). BD = 20 m (ağaçlar arası mesafe).
- Sorulan, direğin tepesi (C) ile ikinci ağacın dibi (D) arasındaki çizginin direğin dibinden (B) yüksekliği. Bu, CD çizgisinin BD doğrusuna olan dik mesafesidir.
- Eğer A, C, D doğrusalsa ve AB dik ise, o zaman ABC ve ABD benzer üçgenler olmaz.
- Soruyu başka bir şekilde yorumlayalım: Birinci ağaçtan (A) çıkan bir ışın, direğin tepesinden (C) geçip ikinci ağacın dibine (D) ulaşıyor. Direk (BC) yere dik ve yüksekliği 5 metre. İki ağaç arasındaki mesafe (BD) 20 metre.
- Bu durumda, ABC üçgeni ile ABD üçgeni benzerdir (A ortak açı, BC || AD varsayımıyla).
- Ancak burada BC'nin yüksekliği 5 metre, AD ise ikinci ağacın yüksekliği olur.
- Sorunun "Bu çizginin direğin dibinden yüksekliği 3 metre" kısmı, eğer direğin tepesinden ikinci ağaca uzanan çizginin, direğin dibinden olan uzaklığı ise, bu da \( 3 \) metre olur. Ama bu direğin yüksekliğiyle çelişir.
- Soruyu şu şekilde düzeltelim (en olası yorum): Birinci ağaçtan (A) çıkan bir ışın, direğin tepesinden (C) geçerek ikinci ağacın tepesine (D) ulaşıyor. Direk (BC) yere dik ve yüksekliği 5 metre. İki ağaç arasındaki mesafe (BD) 20 metre. Direğin tepesi ile ikinci ağacın tepesi arasındaki çizginin direğin dibinden yüksekliği soruluyor.
- Bu durumda, A, C, D noktaları doğrusaldır. BC diktir BD'ye.
- Soruda "Bu çizginin direğin dibinden yüksekliği 3 metre" ifadesi, eğer CD çizgisinin yüksekliği ise, bu da \( 3 \) metre olur.
- Eğer soru, "direğin tepesinden ikinci ağacın dibine uzanan çizginin, direğin dibinden olan düşey mesafesi" ise, bu da \( 3 \) metre olur.
- Eğer soru, direğin tepesinden ikinci ağacın dibine uzanan çizginin, birinci ağacın dibinden olan uzaklığı ise, bu da \( 20 \) metre olur.
- Sorunun orijinal haliyle çözümü zor. En basit yorumla, "direğin tepesinden geçen ve ikinci ağacın dibine uzanan bir çizgi çiziyor. Bu çizginin direğin dibinden yüksekliği 3 metre" ifadesi, direğin tepesinden ikinci ağacın dibine olan düşey mesafenin 3 metre olduğunu belirtiyorsa, cevap 3 metredir. Ancak bu, direğin kendi yüksekliği olan 5 metre ile çelişir.
- Tales teoremi ile çözülecek bir soru olması gerektiği düşünülürse, benzer üçgenler olmalı.
- Varsayım: Birinci ağaçtan (A) çıkan bir ışın, direğin tepesinden (C) geçerek ikinci ağacın dibine (D) ulaşıyor. Direğin yüksekliği (BC) 5 metre. İki ağaç arasındaki mesafe (BD) 20 metre.
- Soruda bir hata olduğu aşikardır. En mantıklı çözüm, eğer "direğin tepesi ile ikinci ağacın dibi arasındaki çizginin direğin dibinden yüksekliği" soruluyorsa ve bu değer 3 metre olarak verilmişse, cevap 3 metredir. Ancak bu, direğin yüksekliğiyle çelişir.
- Bu soruyu Tales teoremi ile çözebilmek için, "birinci ağaçtan çıkan ve direğin tepesinden geçen ışının ikinci ağacın neresine ulaştığı" gibi bilgiler gerekir.
- Örneğin, eğer birinci ağaçtan çıkan bir çizgi direğin tepesinden geçip ikinci ağacın tepesine ulaşıyorsa ve direğin yüksekliği 5 metre ise, ikinci ağacın tepesine olan mesafe soruluyorsa, o zaman Tales teoremi kullanılabilir.
- Bu soruya mevcut haliyle net bir Tales teoremi çözümü üretilemiyor.
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde, A noktasından BC kenarına çizilen yükseklik AD'dir. D noktası BC üzerindedir. \( AB = 5 \) cm, \( AC = 12 \) cm ve \( BC = 13 \) cm'dir. Bu üçgenin alanını bulunuz.
Çözüm:
Bu soru, temel üçgen alan formülü ile çözülebilir. Verilen kenar uzunlukları bir dik üçgeni işaret etmektedir.
- Kenar uzunlukları \( 5, 12, 13 \) olan bir üçgen, Pisagor teoremini sağlar: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \), ve \( 13^2 = 169 \).
- Bu demektir ki, \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \) olsaydı dik açı A'da olurdu. Ancak burada \( AB = 5, AC = 12, BC = 13 \) verilmiş.
- Yani, \( 5^2 + 12^2 = 13^2 \) olduğundan, üçgen dik üçgendir ve dik açı C'de değil, A'dadır.
- Ancak soruda A'dan BC'ye indirilen yükseklik AD'den bahsediliyor. Bu, BC'nin taban olduğu anlamına gelir.
- Eğer üçgenin kenarları \( 5, 12, 13 \) ise, bu kenarların bir dik üçgen oluşturduğunu ve en uzun kenarın (13 cm) hipotenüs olduğunu anlıyoruz.
- Bu durumda, dik açı, hipotenüsün karşısındaki köşededir, yani C açısı \( 90^\circ \) olamaz.
- Eğer A'dan BC'ye indirilen yükseklik AD ise, o zaman BC taban olur.
- Bu durumda, üçgenin dik olduğu köşe A olmalıdır. Yani \( AB \) ve \( AC \) dik kenarlar olmalıdır.
- Eğer \( AB = 5 \) ve \( AC = 12 \) dik kenarlar ise, BC hipotenüs \( \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) olur.
- Soruda AD yüksekliği verilmiş. Eğer A açısı \( 90^\circ \) ise, BC hipotenüs olur.
- Bu durumda, üçgenin alanı \( \frac{1}{2} \times AB \times AC \) olarak hesaplanır.
- Alan = \( \frac{1}{2} \times 5 \times 12 \)
- Alan = \( \frac{1}{2} \times 60 \)
- Alan = \( 30 \) cm\( ^2 \)
- Soruda AD yüksekliği verilmiş olsaydı, alan \( \frac{1}{2} \times BC \times AD \) ile de bulunabilirdi.
Örnek 10:
Bir harita üzerinde, üç köy A, B ve C noktalarıyla gösterilmiştir. A köyünden B köyüne giden bir yol, C köyünden geçen ve A köyünden B köyüne doğru ilerleyen bir yol ile kesişmektedir. A köyünden B köyüne olan mesafe 15 km, A köyünden C köyüne olan mesafe 9 km'dir. C köyünden geçen yol, A köyünden B köyüne olan yola paraleldir. Eğer C köyü, A köyünden B köyüne olan yol üzerinde bir noktada ise ve bu yol üzerinde A'dan uzaklığı 6 km ise, B köyü ile C köyü arasındaki mesafeyi bulunuz.
Çözüm:
Bu problem, Tales teoreminin bir uygulamasıdır. Benzer üçgenler üzerinden orantı kuracağız.
- A, B ve C noktaları veriliyor.
- A'dan B'ye bir yol var (doğru parçası AB).
- C köyü, AB yolunun üzerinde bir nokta.
- A'dan C'ye mesafe 9 km verilmiş, ancak C'nin AB yolu üzerinde olduğu söyleniyor. Bu bir çelişki.
- Soruyu şu şekilde yorumlayalım: A, B ve C köyleri var. A'dan B'ye bir yol (AB doğrusu).
- C köyü, A'dan çıkan ve B'ye doğru giden bir yol üzerinde.
- Bir de, C köyünden geçen ve AB yoluna paralel bir yol var. Bu ifade de biraz karmaşık.
- Daha olası bir yorum: A ve B köyleri arasında 15 km'lik bir yol var.
- C köyü, A köyünden B köyüne doğru giden yolun üzerinde bir nokta.
- A'dan C'ye olan mesafe 6 km (Sorudaki 9 km yerine 6 km'yi kullandım, çünkü Tales teoremi için daha uygun bir değer).
- Bu durumda C noktası, AB doğru parçası üzerindedir ve AC = 6 km, AB = 15 km'dir.
- BC mesafesi \( BC = AB - AC = 15 - 6 = 9 \) km olur.
- Sorunun "C köyünden geçen ve A köyünden B köyüne doğru ilerleyen bir yol ile kesişmektedir" ve "C köyünden geçen yol, A köyünden B köyüne olan yola paraleldir" ifadeleri, eğer C noktası zaten AB üzerindeyse, bu paralellik ifadesi anlamsız olur.
- Tales teoremi uygulamak için benzer üçgenler olmalı.
- En basit yorumla: A noktasından çıkan bir ışın, C noktasından geçerek B noktasına ulaşıyor.
- AC = 6 km, AB = 15 km.
- Bu durumda C, AB doğru parçası üzerindedir.
- Sorulan, B köyü ile C köyü arasındaki mesafe.
- Bu mesafe \( BC = AB - AC \) olur.
- \( BC = 15 - 6 = 9 \) km.
- Eğer soruda "C köyünden geçen yol, A köyünden B köyüne olan yola paraleldir" ifadesi, C'den geçen ve AB'ye paralel olan başka bir yol anlamına geliyorsa, bu durumda farklı bir geometrik şekil oluşur.
- Ancak, "C köyü, A köyünden B köyüne olan yol üzerinde bir noktada" ifadesi, C'nin AB üzerindeki bir nokta olduğunu kesinleştirir.
- Dolayısıyla, Tales teoremini doğrudan uygulamak için ek bir paralel doğruya ihtiyacımız var.
- Soruyu şu şekilde revize edelim (Tales teoremi uygulamak için):
- A ve B köyleri arasında 15 km'lik bir yol var.
- A köyünden çıkan bir ışın (veya yol) üzerindeki C noktasının A'ya uzaklığı 6 km'dir.
- Bu ışın üzerindeki bir D noktasının (B köyü) A'ya uzaklığı 15 km'dir.
- Şimdi, A noktasından çıkan ve AB'ye paralel olmayan başka bir ışın düşünelim. Bu ışın üzerindeki bir E noktasının A'ya uzaklığı \( x \) olsun.
- Eğer bu ışın üzerindeki bir F noktasının A'ya uzaklığı \( y \) ise, Tales teoremi der ki: \( \frac{AC}{AD} = \frac{AE}{AF} \) eğer C, E noktaları birinci ışın üzerinde ve D, F noktaları ikinci ışın üzerindeyse.
- Sorunun orijinal haliyle en mantıklı çözümü, C'nin AB üzerindeki bir nokta olması ve mesafelerin doğrudan çıkarılmasıdır.
- AC = 6 km, AB = 15 km.
- BC = AB - AC = 15 - 6 = 9 km.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-oklid-teoremleri/sorular