📄 9. Sınıf Matematik: Tales öklid teoremleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

ABC dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs BC'nin uzunluğunu bulalım:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ BC^2 = 6^2 + 8^2 \]
\[ BC^2 = 36 + 64 \]
\[ BC^2 = 100 \]
\[ BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \]

Şimdi, dik üçgenin alanını iki farklı yolla hesaplayabiliriz:
1. Tabanı AB ve yüksekliği AC alarak: Alan = \( \frac{1}{2} \times AB \times AC \) = \( \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \) = 24 cm²
2. Tabanı BC ve yüksekliği AH alarak: Alan = \( \frac{1}{2} \times BC \times AH \) = \( \frac{1}{2} \times 10 \times AH \)

İki alan birbirine eşit olmalıdır:
\[ 24 = \frac{1}{2} \times 10 \times AH \]
\[ 24 = 5 \times AH \]
\[ AH = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ cm} \]

Alternatif olarak, yükseklik için Öklid teoremini kullanabiliriz. Ancak önce |BH| ve |CH| uzunluklarını bulmamız gerekir. Kenarlara ait Öklid teoremini kullanalım:
\[ AB^2 = BC \times BH \]
\[ 6^2 = 10 \times BH \]
\[ 36 = 10 \times BH \]
\[ BH = 3.6 \text{ cm} \]

\[ AC^2 = BC \times CH \]
\[ 8^2 = 10 \times CH \]
\[ 64 = 10 \times CH \]

\[ CH = 6.4 \text{ cm} \]

Şimdi yükseklik için Öklid teoremini uygulayabiliriz:
\[ AH^2 = BH \times CH \]
\[ AH^2 = 3.6 \times 6.4 \]
\[ AH^2 = 23.04 \]
\[ AH = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ cm} \]

Sonuç olarak, |AH| uzunluğu 4.8 cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen doğrular paralel olduğundan, Tales teoreminin temel özelliğini kullanabiliriz. Paralel doğrular, kestikleri doğrularda orantılı doğru parçaları oluşturur.

Kesen doğrumuz üzerindeki parçalar şunlardır: |AB|, |BC|, |CD| ve diğer kesen üzerindeki karşılıkları |EF|, |FG|, |GH|.

Tales teoremine göre, bu parçalar arasındaki oranlar eşittir:
\[ \frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FG} = \frac{CD}{GH} \]

Bilinen değerleri yerine koyalım:
\[ \frac{5}{12} = \frac{10}{FG} = \frac{15}{GH} \]

Öncelikle |FG|'yi hesaplayalım:
\[ \frac{5}{12} = \frac{10}{FG} \]

İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\[ 5 \times FG = 12 \times 10 \]

\[ 5 \times FG = 120 \]

\[ FG = \frac{120}{5} = 24 \text{ cm} \]

Şimdi de |GH|'yi hesaplayalım:
\[ \frac{5}{12} = \frac{15}{GH} \]

İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\[ 5 \times GH = 12 \times 15 \]

\[ 5 \times GH = 180 \]

\[ GH = \frac{180}{5} = 36 \text{ cm} \]

Sonuç olarak, |FG| = 24 cm ve |GH| = 36 cm'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen dik üçgenin kenarları 9 cm, 12 cm ve 15 cm'dir. En uzun kenar olan 15 cm, hipotenüstür (c). Dik kenarlar ise a = 9 cm ve b = 12 cm'dir. (Kontrol: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\), yani gerçekten bir dik üçgendir).

Dik köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğe h, hipotenüsün bu yükseklik tarafından ayrılan parçalarına ise p ve q diyelim. Hipotenüs c = 15 cm'dir.

Öklid teoremlerini kullanarak kenarların hipotenüs üzerindeki izdüşümlerini (p ve q'yu) bulabiliriz:

Kenarlara ait Öklid teoremi:
\[ a^2 = c \times p \]
Burada a = 9 cm, c = 15 cm:
\[ 9^2 = 15 \times p \]

\[ 81 = 15 \times p \]

\[ p = \frac{81}{15} = \frac{27}{5} = 5.4 \text{ cm} \]

Diğer dik kenar için de aynı teoremi uygulayalım:
\[ b^2 = c \times q \]
Burada b = 12 cm, c = 15 cm:

\[ 12^2 = 15 \times q \]

\[ 144 = 15 \times q \]

\[ q = \frac{144}{15} = \frac{48}{5} = 9.6 \text{ cm} \]

Parçaların uzunluklarını kontrol edelim: \(p + q = 5.4 + 9.6 = 15\) cm, bu hipotenüsün uzunluğuna eşittir. Doğru hesapladık.

Şimdi yükseklik h'yi bulmak için yükseklik Öklid teoremini kullanabiliriz:
\[ h^2 = p \times q \]

\[ h^2 = 5.4 \times 9.6 \]

\[ h^2 = \frac{27}{5} \times \frac{48}{5} = \frac{1296}{25} \]

\[ h = \sqrt{\frac{1296}{25}} = \frac{36}{5} = 7.2 \text{ cm} \]

Sonuç olarak, yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalar 5.4 cm ve 9.6 cm'dir. Yüksekliğin uzunluğu ise 7.2 cm'dir.