🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales Öklid Pisagor Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales Öklid Pisagor Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \(90^\circ\)'dir.
AB kenarının uzunluğu 6 cm ve AC kenarının uzunluğu 8 cm olduğuna göre, BC kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
AB kenarının uzunluğu 6 cm ve AC kenarının uzunluğu 8 cm olduğuna göre, BC kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
👉 Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.
Yani, \( a^2 + b^2 = c^2 \) formülü geçerlidir.
Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.
Yani, \( a^2 + b^2 = c^2 \) formülü geçerlidir.
- ✅ 1. Adım: Verilen değerleri Pisagor Teoremi'ne yerleştirelim.
Dik kenarlarımız AB = 6 cm ve AC = 8 cm'dir. Hipotenüsümüz ise BC kenarıdır.
\( 6^2 + 8^2 = BC^2 \) - ✅ 2. Adım: Kareleri hesaplayalım.
\( 36 + 64 = BC^2 \) - ✅ 3. Adım: Toplama işlemini yapalım.
\( 100 = BC^2 \) - ✅ 4. Adım: Her iki tarafın karekökünü alarak BC uzunluğunu bulalım.
\( BC = \sqrt{100} \)
\( BC = 10 \) cm
Örnek 2:
📏 Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \(90^\circ\)'dir ve AH, BC kenarına ait yüksekliktir.
BH = 4 cm ve HC = 9 cm olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir?
BH = 4 cm ve HC = 9 cm olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
👉 Bu soruyu çözmek için Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı kullanacağız.
Öklid'in yükseklik bağıntısı, bir dik üçgende hipotenüse inen yüksekliğin karesinin, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşit olduğunu belirtir.
Yani, \( h^2 = p \cdot k \) formülü kullanılır.
Öklid'in yükseklik bağıntısı, bir dik üçgende hipotenüse inen yüksekliğin karesinin, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşit olduğunu belirtir.
Yani, \( h^2 = p \cdot k \) formülü kullanılır.
- ✅ 1. Adım: Verilen değerleri Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'na yerleştirelim.
AH yüksekliği \(h\), BH parçası \(p = 4\) cm ve HC parçası \(k = 9\) cm'dir.
\( AH^2 = BH \cdot HC \)
\( AH^2 = 4 \cdot 9 \) - ✅ 2. Adım: Çarpma işlemini yapalım.
\( AH^2 = 36 \) - ✅ 3. Adım: Her iki tarafın karekökünü alarak AH yüksekliğini bulalım.
\( AH = \sqrt{36} \)
\( AH = 6 \) cm
Örnek 3:
📐 Bir PRS dik üçgeninde, P açısı \(90^\circ\)'dir ve PT, RS kenarına ait yüksekliktir.
RT = 3 cm ve RS = 12 cm olduğuna göre, PR kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
RT = 3 cm ve RS = 12 cm olduğuna göre, PR kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
👉 Bu problemde Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı'nı kullanacağız.
Öklid'in dik kenar bağıntısı, bir dik üçgende bir dik kenarın karesinin, hipotenüsün tamamı ile bu dik kenara komşu olan hipotenüs parçasının çarpımına eşit olduğunu söyler.
Yani, \( b^2 = k \cdot a \) veya \( c^2 = p \cdot a \) formülü geçerlidir.
Öklid'in dik kenar bağıntısı, bir dik üçgende bir dik kenarın karesinin, hipotenüsün tamamı ile bu dik kenara komşu olan hipotenüs parçasının çarpımına eşit olduğunu söyler.
Yani, \( b^2 = k \cdot a \) veya \( c^2 = p \cdot a \) formülü geçerlidir.
- ✅ 1. Adım: Verilen değerleri belirleyelim.
PR dik kenarımızdır. RS hipotenüsün tamamıdır, yani \(a = 12\) cm.
RT ise PR kenarına komşu olan hipotenüs parçasıdır, yani \(k = 3\) cm.
\( PR^2 = RT \cdot RS \) - ✅ 2. Adım: Değerleri formüle yerleştirelim ve çarpma işlemini yapalım.
\( PR^2 = 3 \cdot 12 \)
\( PR^2 = 36 \) - ✅ 3. Adım: Her iki tarafın karekökünü alarak PR kenarını bulalım.
\( PR = \sqrt{36} \)
\( PR = 6 \) cm
Örnek 4:
🛣️ Birbirine paralel olan d1, d2 ve d3 doğruları, bir k doğrusunu A, B, C noktalarında; bir m doğrusunu ise D, E, F noktalarında kesmektedir.
AB = 5 cm, BC = 7 cm ve DE = 10 cm olduğuna göre, EF uzunluğu kaç cm'dir?
AB = 5 cm, BC = 7 cm ve DE = 10 cm olduğuna göre, EF uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
👉 Bu soruyu çözmek için Tales Teoremi (Temel Orantı Teoremi)'ni kullanacağız.
Tales Teoremi, paralel doğruların farklı kesenler üzerinde orantılı parçalar ayırdığını söyler.
Yani, \( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \) formülü geçerlidir.
Tales Teoremi, paralel doğruların farklı kesenler üzerinde orantılı parçalar ayırdığını söyler.
Yani, \( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \) formülü geçerlidir.
- ✅ 1. Adım: Verilen uzunlukları orantıya yerleştirelim.
\( \frac{5}{7} = \frac{10}{EF} \) - ✅ 2. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak EF uzunluğunu bulmaya çalışalım.
\( 5 \cdot EF = 7 \cdot 10 \)
\( 5 \cdot EF = 70 \) - ✅ 3. Adım: EF'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı 5'e bölelim.
\( EF = \frac{70}{5} \)
\( EF = 14 \) cm
Örnek 5:
🖼️ Kenar uzunlukları 15 cm ve 20 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
👉 Bu bir Pisagor Teoremi uygulamasıdır.
Dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
📌 Hipotenüsün uzunluğu 25 cm'dir.
Dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
- ✅ 1. Adım: Verilen dik kenar uzunluklarını formüle yerleştirelim.
\( 15^2 + 20^2 = c^2 \) - ✅ 2. Adım: Kareleri hesaplayalım.
\( 225 + 400 = c^2 \) - ✅ 3. Adım: Toplama işlemini yapalım.
\( 625 = c^2 \) - ✅ 4. Adım: Her iki tarafın karekökünü alarak hipotenüs uzunluğunu bulalım.
\( c = \sqrt{625} \)
\( c = 25 \) cm
📌 Hipotenüsün uzunluğu 25 cm'dir.
Örnek 6:
🗺️ Bir koordinat düzleminde A(1, 2) ve B(4, 6) noktaları arasındaki en kısa mesafe kaç birimdir?
Çözüm:
👉 İki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız.
Bu noktalar arasındaki yatay ve dikey farkları kullanarak bir dik üçgen oluşturabiliriz.
Bu noktalar arasındaki yatay ve dikey farkları kullanarak bir dik üçgen oluşturabiliriz.
- ✅ 1. Adım: Noktaların x ve y koordinatlarındaki farkları bulalım.
Yatay fark (\(\Delta x\)) = \( |x_2 - x_1| = |4 - 1| = 3 \) birim.
Dikey fark (\(\Delta y\)) = \( |y_2 - y_1| = |6 - 2| = 4 \) birim. - ✅ 2. Adım: Bu farkları dik üçgenin dik kenarları olarak kabul edip Pisagor Teoremi'ni uygulayalım.
Mesafe (\(d\)) hipotenüs olacaktır.
\( d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 \)
\( d^2 = 3^2 + 4^2 \) - ✅ 3. Adım: Kareleri hesaplayıp toplayalım.
\( d^2 = 9 + 16 \)
\( d^2 = 25 \) - ✅ 4. Adım: Her iki tarafın karekökünü alarak mesafeyi bulalım.
\( d = \sqrt{25} \)
\( d = 5 \) birim
Örnek 7:
☀️ Güneşli bir günde, 1.8 metre boyundaki bir kişinin gölge boyu 2.4 metredir.
Aynı anda, yanındaki bir ağacın gölge boyu 8 metredir. Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? 🌳
Aynı anda, yanındaki bir ağacın gölge boyu 8 metredir. Buna göre, ağacın boyu kaç metredir? 🌳
Çözüm:
👉 Bu problemde Tales Teoremi'nin bir uygulaması olan benzer üçgenler prensibini kullanacağız.
Güneş ışınları paralel geldiği için, kişi ve ağaç ile onların gölgeleri arasında oluşan üçgenler benzerdir. Benzer üçgenlerde kenarlar orantılıdır.
Güneş ışınları paralel geldiği için, kişi ve ağaç ile onların gölgeleri arasında oluşan üçgenler benzerdir. Benzer üçgenlerde kenarlar orantılıdır.
- ✅ 1. Adım: Kişinin boyu ile gölge boyu arasındaki oranı yazalım.
Kişinin boyu = 1.8 m
Kişinin gölge boyu = 2.4 m
Oran: \( \frac{\text{Kişinin boyu}}{\text{Kişinin gölge boyu}} = \frac{1.8}{2.4} \) - ✅ 2. Adım: Ağacın boyu (\(x\)) ile gölge boyu arasındaki oranı yazalım.
Ağacın gölge boyu = 8 m
Oran: \( \frac{\text{Ağacın boyu}}{\text{Ağacın gölge boyu}} = \frac{x}{8} \) - ✅ 3. Adım: Benzerlikten dolayı bu iki oranı eşitleyelim.
\( \frac{1.8}{2.4} = \frac{x}{8} \) - ✅ 4. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak \(x\)'i bulalım.
\( 2.4 \cdot x = 1.8 \cdot 8 \)
\( 2.4 \cdot x = 14.4 \) - ✅ 5. Adım: \(x\)'i yalnız bırakmak için her iki tarafı 2.4'e bölelim.
\( x = \frac{14.4}{2.4} \)
\( x = 6 \) metre
Örnek 8:
📐 Bir ABC dik üçgeninde, A açısı \(90^\circ\)'dir.
AH, BC kenarına ait yüksekliktir. BH = 3 cm ve HC = 6 cm olduğuna göre, AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
AH, BC kenarına ait yüksekliktir. BH = 3 cm ve HC = 6 cm olduğuna göre, AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
👉 Bu soruyu çözmek için Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı'nı kullanacağız.
Öklid'in dik kenar bağıntısı, bir dik üçgende bir dik kenarın karesinin, hipotenüsün tamamı ile bu dik kenara komşu olan hipotenüs parçasının çarpımına eşit olduğunu söyler.
Öklid'in dik kenar bağıntısı, bir dik üçgende bir dik kenarın karesinin, hipotenüsün tamamı ile bu dik kenara komşu olan hipotenüs parçasının çarpımına eşit olduğunu söyler.
- ✅ 1. Adım: Hipotenüsün tamamının uzunluğunu bulalım.
Hipotenüs BC = BH + HC = 3 cm + 6 cm = 9 cm'dir. - ✅ 2. Adım: AB kenarı için Öklid'in dik kenar bağıntısını uygulayalım.
AB kenarına komşu olan hipotenüs parçası BH = 3 cm'dir.
Hipotenüsün tamamı BC = 9 cm'dir.
\( AB^2 = BH \cdot BC \) - ✅ 3. Adım: Verilen değerleri formüle yerleştirelim ve çarpma işlemini yapalım.
\( AB^2 = 3 \cdot 9 \)
\( AB^2 = 27 \) - ✅ 4. Adım: Her iki tarafın karekökünü alarak AB kenarının uzunluğunu bulalım.
\( AB = \sqrt{27} \)
\( AB = \sqrt{9 \cdot 3} \)
\( AB = 3\sqrt{3} \) cm
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-oklid-pisagor/sorular