💡 9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid, Pisagor teoremleri Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Pisagor Teoremi Temel Uygulama
Bir ABC dik üçgeninde B açısı \( 90^\circ \) olarak verilmiştir. Üçgenin dik kenar uzunlukları \( AB = 6 \) birim ve \( BC = 8 \) birim olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu olan \( AC = x \) kaç birimdir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Verilenleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = x^2 \)
Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = x^2 \)
Toplamı bulalım: \( 100 = x^2 \)
Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = 10 \) birim bulunur. ✅
💡 İpucu: Bu üçgen, meşhur \( 3-4-5 \) özel üçgeninin 2 katı olan \( 6-8-10 \) üçgenidir.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Temel Orantı (Tales) Teoremi
Bir ABC üçgeninde DE doğrusu BC kenarına paraleldir (\( DE // BC \)). D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir.
\( AD = 4 \) cm, \( DB = 2 \) cm ve \( AE = 6 \) cm olduğuna göre, \( EC = x \) kaç cm'dir? 📏
Çözüm ve Açıklama
Tales teoremine göre, bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen doğru, kestiği kenarları orantılı parçalara ayırır.
Her iki tarafı 4'e bölelim: \( x = 3 \) cm bulunur. ✅
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Öklid Teoremi - Yükseklik Bağıntısı
Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \)'dir. A köşesinden BC hipotenüsüne inilen AH yüksekliği, hipotenüsü H noktasında kesmektedir.
\( BH = 4 \) birim ve \( HC = 9 \) birim olduğuna göre, yüksekliğin uzunluğu \( AH = h \) kaç birimdir? ⚡
Çözüm ve Açıklama
Öklid teoreminin yükseklik bağıntısına göre, hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Formül: \( h^2 = p \times k \)
Verilen değerler: \( p = 4 \) ve \( k = 9 \)
Hesaplama: \( h^2 = 4 \times 9 \)
\( h^2 = 36 \)
Karekök alalım: \( h = 6 \) birim olarak bulunur. ✅
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Özel Dik Üçgenler ve Pisagor
Bir dik üçgende dik kenarlardan biri \( 5 \) cm, hipotenüs ise \( 13 \) cm'dir. Bu üçgenin diğer dik kenarının uzunluğu \( y \) kaç cm'dir? 🔍
Çözüm ve Açıklama
Pisagor teoremini kullanarak bilinmeyen kenarı bulalım:
Denklem: \( 5^2 + y^2 = 13^2 \)
Kareleri alalım: \( 25 + y^2 = 169 \)
\( y^2 = 169 - 25 \)
\( y^2 = 144 \)
Karekök alalım: \( y = 12 \) cm bulunur. ✅
📌 Not: Bu üçgen \( 5-12-13 \) özel dik üçgenidir.
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Tales Teoremi - Kelebek (Kum Saati) Modeli
AB doğrusu CD doğrusuna paraleldir (\( AB // CD \)). Bu doğrular bir K noktasında kesişen AD ve BC doğruları ile birleştirilmiştir.
\( AB = 10 \) birim, \( CD = 15 \) birim ve \( AK = 4 \) birim olduğuna göre, \( KD = x \) kaç birimdir? 🦋
Çözüm ve Açıklama
Paralellikten dolayı oluşan kelebek benzerliğinde, karşılıklı kenarlar orantılıdır.
Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \) ve \( AH \perp BC \)'dir.
\( BH = 2 \) cm ve \( BC = 8 \) cm olduğuna göre, dik kenar olan \( AB = c \) kaç cm'dir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Öklid'in kenar bağıntısına göre, bir dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki dik izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
Formül: \( c^2 = p \times a \)
Burada \( p = BH = 2 \) cm ve \( a = BC = 8 \) cm'dir.
Hesaplama: \( c^2 = 2 \times 8 \)
\( c^2 = 16 \)
Karekök alalım: \( c = 4 \) cm bulunur. ✅
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Merdiven ve Duvar Problemi
Bir boyacı, \( 5 \) metre uzunluğundaki merdiveni yere dik bir duvara yaslıyor. Merdivenin ayağının duvara olan uzaklığı \( 3 \) metredir. Boyacının çıktığı merdivenin duvardaki ucu yerden kaç metre yüksekliktedir? 🪜
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde duvar, yer ve merdiven bir dik üçgen oluşturur. Duvar ile yer arasındaki açı \( 90^\circ \)'dir.
Hipotenüs (Merdiven): \( 5 \) m
Taban (Yerdeki mesafe): \( 3 \) m
Yükseklik (Duvar): \( h \)
Pisagor uygulayalım: \( 3^2 + h^2 = 5^2 \)
\( 9 + h^2 = 25 \)
\( h^2 = 16 \)
\( h = 4 \) metre. ✅
🌟 Boyacı yerden 4 metre yükseğe ulaşmıştır.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Parktaki Yürüyüş Yolları
Bir parkta birbirine paralel iki yürüyüş yolu vardır. Bu yolları dik kesen bir ana cadde ve bu yolları eğik kesen bir kestirme yol bulunmaktadır.
Kestirme yolun paralel yollar arasında kalan kısmının uzunluğu \( 10 \) metredir. Ana caddenin paralel yollar arasında kalan kısmı ise \( 8 \) metredir. Kestirme yolun başlangıç noktasının ana caddeye olan yatay uzaklığı kaç metredir? 🌳
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu bir dik üçgen modeliyle çözebiliriz. Ana cadde yüksekliği (\( h \)), yatay uzaklık (\( x \)) ve kestirme yol hipotenüsü (\( c \)) temsil eder.
Paralel yollar arasındaki dik mesafe (ana cadde) \( 8 \) metredir. Bu bizim dik kenarımızdır.
Kestirme yolun uzunluğu \( 10 \) metredir. Bu hipotenüstür.
Pisagor teoremi: \( x^2 + 8^2 = 10^2 \)
\( x^2 + 64 = 100 \)
\( x^2 = 36 \)
\( x = 6 \) metre bulunur. ✅
👉 Kestirme yolun başlangıcının ana caddeye yatay uzaklığı 6 metredir.
9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid, Pisagor teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Pisagor Teoremi Temel Uygulama
Bir ABC dik üçgeninde B açısı \( 90^\circ \) olarak verilmiştir. Üçgenin dik kenar uzunlukları \( AB = 6 \) birim ve \( BC = 8 \) birim olduğuna göre, hipotenüs uzunluğu olan \( AC = x \) kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Verilenleri yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = x^2 \)
Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = x^2 \)
Toplamı bulalım: \( 100 = x^2 \)
Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = 10 \) birim bulunur. ✅
💡 İpucu: Bu üçgen, meşhur \( 3-4-5 \) özel üçgeninin 2 katı olan \( 6-8-10 \) üçgenidir.
Örnek 2:
Temel Orantı (Tales) Teoremi
Bir ABC üçgeninde DE doğrusu BC kenarına paraleldir (\( DE // BC \)). D noktası AB kenarı üzerinde, E noktası ise AC kenarı üzerindedir.
\( AD = 4 \) cm, \( DB = 2 \) cm ve \( AE = 6 \) cm olduğuna göre, \( EC = x \) kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Tales teoremine göre, bir üçgenin bir kenarına paralel olan ve diğer iki kenarı kesen doğru, kestiği kenarları orantılı parçalara ayırır.
Her iki tarafı 4'e bölelim: \( x = 3 \) cm bulunur. ✅
Örnek 3:
Öklid Teoremi - Yükseklik Bağıntısı
Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \)'dir. A köşesinden BC hipotenüsüne inilen AH yüksekliği, hipotenüsü H noktasında kesmektedir.
\( BH = 4 \) birim ve \( HC = 9 \) birim olduğuna göre, yüksekliğin uzunluğu \( AH = h \) kaç birimdir? ⚡
Çözüm:
Öklid teoreminin yükseklik bağıntısına göre, hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Formül: \( h^2 = p \times k \)
Verilen değerler: \( p = 4 \) ve \( k = 9 \)
Hesaplama: \( h^2 = 4 \times 9 \)
\( h^2 = 36 \)
Karekök alalım: \( h = 6 \) birim olarak bulunur. ✅
Örnek 4:
Özel Dik Üçgenler ve Pisagor
Bir dik üçgende dik kenarlardan biri \( 5 \) cm, hipotenüs ise \( 13 \) cm'dir. Bu üçgenin diğer dik kenarının uzunluğu \( y \) kaç cm'dir? 🔍
Çözüm:
Pisagor teoremini kullanarak bilinmeyen kenarı bulalım:
Denklem: \( 5^2 + y^2 = 13^2 \)
Kareleri alalım: \( 25 + y^2 = 169 \)
\( y^2 = 169 - 25 \)
\( y^2 = 144 \)
Karekök alalım: \( y = 12 \) cm bulunur. ✅
📌 Not: Bu üçgen \( 5-12-13 \) özel dik üçgenidir.
Örnek 5:
Tales Teoremi - Kelebek (Kum Saati) Modeli
AB doğrusu CD doğrusuna paraleldir (\( AB // CD \)). Bu doğrular bir K noktasında kesişen AD ve BC doğruları ile birleştirilmiştir.
\( AB = 10 \) birim, \( CD = 15 \) birim ve \( AK = 4 \) birim olduğuna göre, \( KD = x \) kaç birimdir? 🦋
Çözüm:
Paralellikten dolayı oluşan kelebek benzerliğinde, karşılıklı kenarlar orantılıdır.
Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \) ve \( AH \perp BC \)'dir.
\( BH = 2 \) cm ve \( BC = 8 \) cm olduğuna göre, dik kenar olan \( AB = c \) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Öklid'in kenar bağıntısına göre, bir dik kenarın karesi, o kenarın hipotenüs üzerindeki dik izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
Formül: \( c^2 = p \times a \)
Burada \( p = BH = 2 \) cm ve \( a = BC = 8 \) cm'dir.
Hesaplama: \( c^2 = 2 \times 8 \)
\( c^2 = 16 \)
Karekök alalım: \( c = 4 \) cm bulunur. ✅
Örnek 7:
Merdiven ve Duvar Problemi
Bir boyacı, \( 5 \) metre uzunluğundaki merdiveni yere dik bir duvara yaslıyor. Merdivenin ayağının duvara olan uzaklığı \( 3 \) metredir. Boyacının çıktığı merdivenin duvardaki ucu yerden kaç metre yüksekliktedir? 🪜
Çözüm:
Bu problemde duvar, yer ve merdiven bir dik üçgen oluşturur. Duvar ile yer arasındaki açı \( 90^\circ \)'dir.
Hipotenüs (Merdiven): \( 5 \) m
Taban (Yerdeki mesafe): \( 3 \) m
Yükseklik (Duvar): \( h \)
Pisagor uygulayalım: \( 3^2 + h^2 = 5^2 \)
\( 9 + h^2 = 25 \)
\( h^2 = 16 \)
\( h = 4 \) metre. ✅
🌟 Boyacı yerden 4 metre yükseğe ulaşmıştır.
Örnek 8:
Parktaki Yürüyüş Yolları
Bir parkta birbirine paralel iki yürüyüş yolu vardır. Bu yolları dik kesen bir ana cadde ve bu yolları eğik kesen bir kestirme yol bulunmaktadır.
Kestirme yolun paralel yollar arasında kalan kısmının uzunluğu \( 10 \) metredir. Ana caddenin paralel yollar arasında kalan kısmı ise \( 8 \) metredir. Kestirme yolun başlangıç noktasının ana caddeye olan yatay uzaklığı kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu soruyu bir dik üçgen modeliyle çözebiliriz. Ana cadde yüksekliği (\( h \)), yatay uzaklık (\( x \)) ve kestirme yol hipotenüsü (\( c \)) temsil eder.
Paralel yollar arasındaki dik mesafe (ana cadde) \( 8 \) metredir. Bu bizim dik kenarımızdır.
Kestirme yolun uzunluğu \( 10 \) metredir. Bu hipotenüstür.
Pisagor teoremi: \( x^2 + 8^2 = 10^2 \)
\( x^2 + 64 = 100 \)
\( x^2 = 36 \)
\( x = 6 \) metre bulunur. ✅
👉 Kestirme yolun başlangıcının ana caddeye yatay uzaklığı 6 metredir.