💡 9. Sınıf Matematik: Tales, öklid, pisagor teoremleri ile ilgili problemler Çözümlü Örnekler

Bu problemde Pisagor teoremini kullanacağız. Pisagor teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.

• Verilenler: AC = 6 cm, BC = 8 cm
• İstenen: AB (hipotenüs) uzunluğu
• Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Burada 'a' ve 'b' dik kenarlar, 'c' ise hipotenüstür.
• Uygulama: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)
• \( 6^2 + 8^2 = AB^2 \)
• \( 36 + 64 = AB^2 \)
• \( 100 = AB^2 \)
• Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( AB = \sqrt{100} \)
• Sonuç: \( AB = 10 \) cm ✅

Bu problemi çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. Problemi bir dik üçgen olarak görselleştirebiliriz.

• Görselleştirme: İki ağaç arasındaki yatay mesafeyi taban, iki ağacın boyları arasındaki farkı dikey kenar ve kuşun uçtuğu mesafeyi hipotenüs olarak düşünebiliriz.
• Yatay Mesafe (Taban): 15 metre
• Dikey Kenar (Boy Farkı): \( 25 \, \text{m} - 10 \, \text{m} = 15 \) metre
• Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Burada 'a' yatay mesafe, 'b' dikey kenar ve 'c' kuşun uçtuğu mesafedir.
• Uygulama: \( 15^2 + 15^2 = c^2 \)
• \( 225 + 225 = c^2 \)
• \( 450 = c^2 \)
• Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( c = \sqrt{450} \)
• \( c = \sqrt{225 \times 2} \)
• Sonuç: \( c = 15\sqrt{2} \) metre ✅

Bu problem, bir dik üçgen oluşturduğu için Pisagor teoremi ile çözülebilir.

• Dik Üçgenin Kenarları:
• Duvarın yüksekliği (dik kenar 'a'): 12 metre
• Merdivenin uzunluğu (hipotenüs 'c'): 5 metre
• Merdivenin duvara değdiği nokta ile yerdeki ayağı arasındaki mesafe (diğer dik kenar 'b'): Bilinmiyor.
• Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Uygulama: \( 12^2 + b^2 = 5^2 \)
• \( 144 + b^2 = 25 \)
• Burada bir hata olduğunu fark ediyoruz! Hipotenüs (merdivenin uzunluğu), dik kenarlardan biri olamaz ve daha kısa olamaz. Bu sorunun fiziksel olarak mümkün olmadığını gösterir.
• Düzeltilmiş Soru Varsayımı: Eğer merdiven 13 metre uzunluğunda olsaydı, \( 12^2 + b^2 = 13^2 \) olurdu. \( 144 + b^2 = 169 \), \( b^2 = 25 \), \( b = 5 \) metre olurdu.
• Not: Soruda verilen değerlerle gerçekçi bir durum oluşmamaktadır. Gerçek hayatta merdivenin uzunluğu, duvara dayandığı yerden zemine olan mesafeden ve duvardaki yüksekliğin kendisinden büyük olmalıdır.

Bu problemde Tales teoreminin (Benzerlik teoremi) bir uygulaması olan temel orantı teoremini kullanacağız.

• Tales Teoremi (Temel Orantı): Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı olarak böler.
• Verilenler: DE || BC, AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 5 cm
• İstenen: EC uzunluğu
• Orantı: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
• Uygulama: \( \frac{4}{6} = \frac{5}{EC} \)
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \times EC = 6 \times 5 \)
• \( 4 \times EC = 30 \)
• EC'yi bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim: \( EC = \frac{30}{4} \)
• Sonuç: \( EC = 7.5 \) cm ✅

Bu problem, ölçek bilgisini kullanarak gerçek mesafeyi bulmayı gerektirir. Ölçek, haritadaki bir birimin gerçekte kaç birime karşılık geldiğini gösterir.

• Ölçek: 1:50000 demektir ki, haritadaki 1 cm gerçekte 50000 cm'ye karşılık gelir.
• Haritadaki Mesafe: 8 cm
• Gerçek Mesafe (cm cinsinden): \( 8 \, \text{cm} \times 50000 = 400000 \, \text{cm} \)
• Kilometreye Çevirme: 1 kilometre = 1000 metre ve 1 metre = 100 cm'dir. Yani 1 kilometre = 100000 cm'dir.
• Gerçek Mesafe (km cinsinden): \( \frac{400000 \, \text{cm}}{100000 \, \text{cm/km}} \)
• Sonuç: 4 km ✅

Bu problemde Öklid'in yükseklik teoremini kullanacağız. Öklid'in yüksekliği teoremi, dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalarla ilgili bir ilişkidir. Ancak burada verilen bilgilerle doğrudan yükseklik teoremi uygulanamaz. Önce Pisagor teoremi ile AB kenarını bulmaya çalışalım veya üçgenin alanını kullanarak ilerleyelim. Alternatif Yaklaşım (Alan Kullanarak): 1. ABC Üçgeninin Alanı (CD yüksekliği ile): * Dik kenarlar AC ve BC olduğundan, üçgenin alanı \( \frac{1}{2} \times AC \times BC \) olmalıdır. Ancak bu bir dik üçgen mi, yoksa sadece C'den AB'ye dikme inen bir üçgen mi olduğu net değil. Soru metninde "ABC dik üçgeninde" ifadesi geçmediği için, sadece C'den AB'ye dikme indiğini varsayalım. * Eğer CD dikmesi ise, ABC üçgeninin alanı \( \frac{1}{2} \times AB \times CD \) olarak da yazılabilir. 2. Pisagor Teoremi ile Kenarları İlişkilendirme: * ADC dik üçgeninde: \( AD^2 + CD^2 = AC^2 \implies AD^2 + 8^2 = 10^2 \implies AD^2 + 64 = 100 \implies AD^2 = 36 \implies AD = 6 \) cm. * BDC dik üçgeninde: \( BD^2 + CD^2 = BC^2 \implies BD^2 + 8^2 = 12^2 \implies BD^2 + 64 = 144 \implies BD^2 = 80 \implies BD = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \) cm. 3. Sonuç: * AD uzunluğu 6 cm olarak bulunur. ✅ * Bu durumda AB kenarının uzunluğu \( AD + BD = 6 + 4\sqrt{5} \) cm olur. Öklid Teoremi (Yükseklik Teoremi) ile Doğrulama: * Öklid'in yükseklik teoremi \( h^2 = p \times q \) şeklindedir, burada h yükseklik, p ve q ise hipotenüs üzerindeki ayırdığı parçalardır. * Bizim durumumuzda \( CD^2 = AD \times BD \) olmalıdır eğer ABC dik üçgen olsaydı ve CD hipotenüse inen yükseklik olsaydı. * \( 8^2 = 6 \times 4\sqrt{5} \) * \( 64 = 24\sqrt{5} \) * Bu eşitlik sağlanmadığı için, ABC üçgeni dik üçgen değildir ve CD bu üçgenin hipotenüse inen yüksekliği değildir. Sadece C'den AB kenarına indirilen bir dikmedir. Bu nedenle ilk bulduğumuz AD = 6 cm sonucu doğrudur.

Bu problem, bir dik üçgen oluşturduğu için Pisagor teoremi ile çözülebilir.

• Dik Üçgenin Kenarları:
• Pencerenin yerden yüksekliği (dik kenar 'a'): 3 metre
• İpin uzunluğu (hipotenüs 'c'): 5 metre
• Pencere ile ipin yere değdiği nokta arasındaki yatay mesafe (diğer dik kenar 'b'): Bilinmiyor.
• Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Uygulama: \( 3^2 + b^2 = 5^2 \)
• \( 9 + b^2 = 25 \)
• \( b^2 = 25 - 9 \)
• \( b^2 = 16 \)
• Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( b = \sqrt{16} \)
• Sonuç: \( b = 4 \) metre ✅

Bu problem, bir dik üçgen oluşturduğu için Pisagor teoremi ile çözülebilir.

• Dik Üçgenin Kenarları:
• İki yol arasındaki dik mesafe (dik kenar 'a'): 10 metre
• Bisikletlinin kat ettiği mesafe (hipotenüs 'c'): 26 metre
• Bisikletlinin başladığı noktadan ikinci yoldaki hedefine kadar olan yatay mesafe (diğer dik kenar 'b'): Bilinmiyor.
• Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Uygulama: \( 10^2 + b^2 = 26^2 \)
• \( 100 + b^2 = 676 \)
• \( b^2 = 676 - 100 \)
• \( b^2 = 576 \)
• Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( b = \sqrt{576} \)
• Sonuç: \( b = 24 \) metre ✅

Bu problemde Tales teoreminin (Temel Orantı Teoremi) bir uygulaması kullanılacaktır.

• Tales Teoremi: Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı olarak böler.
• Verilenler: DE || BC, AD = 3x, DB = 2x, AE = 9 cm, EC = 6 cm
• Orantı: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
• Uygulama: \( \frac{3x}{2x} = \frac{9}{6} \)
• Denklemi basitleştirelim: \( \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \)
• Her iki tarafı 3 ile sadeleştirelim: \( \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \)
• Bu eşitlik, verilen değerlerin Tales teoremine uyduğunu gösterir. Ancak x'in değerini bulmak için orijinal orantıyı kullanmalıyız:
• \( \frac{3x}{2x} = \frac{9}{6} \)
• x'ler sadeleşir (x sıfır olmamak kaydıyla, ki bu bir uzunluk olduğu için mantıklıdır): \( \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \)
• Eğer soruda AD = 3, DB = 2 ve AE = 9, EC = 6 olsaydı, \( \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \) eşitliği doğru olurdu.
• x'i bulmak için farklı bir orantı kurmalıyız:
• \( \frac{AD}{AE} = \frac{DB}{EC} \) veya \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)
• Önce \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) orantısını kullanalım:
• \( \frac{3x}{2x} = \frac{9}{6} \)
• \( \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \)
• Bu durumda x'in değeri, orantıyı bozmayacak herhangi bir değer olabilir. Ancak sorunun amacı x'i bulmak ise, kenar uzunlukları cinsinden bir denklem kurulmalıdır.
• Düzeltilmiş Yaklaşım:
• \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
• \( \frac{3x}{2x} = \frac{9}{6} \)
• Burada x'ler sadeleştiği için bu orantı x'in değerini doğrudan vermez. Sorunun bu haliyle x'in tek bir değeri yoktur.
• Eğer soru şu şekilde olsaydı: AD = 3x, DB = 2x, AE = 9 cm ve EC = 3 cm olsaydı:
• \( \frac{3x}{2x} = \frac{9}{3} \)
• \( \frac{3}{2} = 3 \) (Bu da tutarsız olurdu.)
• Sorunun Doğru Kurulmuş Hali Varsayımı:
• \( \frac{AD}{AE} = \frac{DB}{EC} \)
• \( \frac{3x}{9} = \frac{2x}{6} \)
• İçler dışlar çarpımı: \( (3x)(6) = (9)(2x) \)
• \( 18x = 18x \)
• Bu yine x'in tüm değerleri için doğrudur.
• Sonuç: Sorunun bu haliyle x'in tek bir değeri bulunamaz. Ancak, eğer problemde bir hata yoksa ve x'in bulunması isteniyorsa, bu durum Tales teoreminin kenar oranlarının her zaman sabit kaldığını gösterir. Eğer x'in bir değeri olsaydı, bu değerler bu oranı sağlardı. Genellikle bu tür sorularda, kenar uzunlukları cinsinden bir denklem kurulur. Mevcut haliyle, x'in değeri belirsizdir. Ancak, eğer bir ders sorusu ise ve x'in bulunması gerekiyorsa, sorunun yazımında bir eksiklik olabilir.
• Varsayımsal Olarak x'i Bulabileceğimiz Bir Durum: Eğer \( AD = 3x \), \( DB = 2x-1 \) gibi bir ifade olsaydı, o zaman x'i bulabilirdik.
• Mevcut Sorudaki Mantıkla: Sorunun orijinal haliyle, x'in değeri belirsizdir. Ancak, eğer x'in bir değeri olsaydı, bu oranlar sağlanırdı. Eğer bir sınav sorusu ise, muhtemelen x'in değeri için başka bir bilgi eksiktir veya sorunun yapısı gereği x'in değeri bulunamaz.