🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Tales Öklid Pisagor Konu Anlatımı Çalışma Kağıdı Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales Öklid Pisagor Konu Anlatımı Çalışma Kağıdı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları \( 6 \) cm ve \( 8 \) cm'dir. Buna göre, bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu problemde Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.
Yani, dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. 💡
- 👉 Dik kenarlar \( a = 6 \) cm ve \( b = 8 \) cm olarak verilmiş.
- 👉 Hipotenüs uzunluğunu \( c \) ile gösterelim.
- ✅ Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:
- \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- \( 36 + 64 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{100} = \sqrt{c^2} \)
- Sonuç olarak, \( c = 10 \) cm bulunur.
Yani, dik üçgenin hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. 💡
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde, A köşesi dik açı \( (m(\hat{A}) = 90^\circ) \) ve AB kenarı \( 5 \) cm'dir. AC kenarının uzunluğu \( 12 \) cm olduğuna göre, BC kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu da bir Pisagor Teoremi uygulamasıdır. Dik üçgenin dik kenarları ve hipotenüsü arasındaki ilişkiyi kullanacağız.
ABC üçgeninin BC kenarının uzunluğu 13 cm'dir. ✨
- 👉 Verilenler: Dik kenarlar \( AB = 5 \) cm ve \( AC = 12 \) cm.
- 👉 İstenen: Hipotenüs \( BC \) uzunluğu. Bu uzunluğu \( x \) ile gösterelim.
- ✅ Pisagor Teoremi: \( (\text{Dik Kenar 1})^2 + (\text{Dik Kenar 2})^2 = (\text{Hipotenüs})^2 \)
- Formülü değerlerle yazalım: \( 5^2 + 12^2 = x^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + 144 = x^2 \)
- Toplama işlemini yapalım: \( 169 = x^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{169} = \sqrt{x^2} \)
- Sonuç olarak, \( x = 13 \) cm bulunur.
ABC üçgeninin BC kenarının uzunluğu 13 cm'dir. ✨
Örnek 3:
Bir merdiven, duvara dayalı olarak durmaktadır. Merdivenin ayağı duvardan \( 3 \) metre uzakta ve merdivenin üst ucu yerden \( 4 \) metre yükseklikteki bir noktaya değmektedir. Bu merdivenin uzunluğu kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu problemde, merdiven, duvar ve yer arasında bir dik üçgen oluştuğunu hayal edebiliriz. Duvar ve yer birbirine diktir. Merdiven hipotenüsü oluşturur.
Merdivenin uzunluğu 5 metredir. 🏠
- 👉 Duvar ile merdiven ayağı arasındaki yatay uzaklık (dik kenar) \( a = 3 \) metre.
- 👉 Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği (diğer dik kenar) \( b = 4 \) metre.
- 👉 Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) \( c \) olsun.
- ✅ Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 3^2 + 4^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 9 + 16 = c^2 \)
- Toplama işlemini yapalım: \( 25 = c^2 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{25} = \sqrt{c^2} \)
- Sonuç olarak, \( c = 5 \) metre bulunur.
Merdivenin uzunluğu 5 metredir. 🏠
Örnek 4:
Bir dik üçgenin dik açısının olduğu köşeden hipotenüse indirilen yüksekliğin uzunluğu \( h \) olsun. Bu yükseklik, hipotenüsü \( p = 4 \) cm ve \( k = 9 \) cm uzunluğunda iki parçaya ayırıyor. Buna göre, yüksekliğin uzunluğu \( h \) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu problem Öklid Bağıntılarından Yükseklik Teoremi'nin doğrudan bir uygulamasıdır.
Yüksekliğin uzunluğu 6 cm'dir. 💡
- 👉 Yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçalar \( p = 4 \) cm ve \( k = 9 \) cm olarak verilmiş.
- 👉 Yüksekliğin uzunluğu \( h \) isteniyor.
- ✅ Öklid Yükseklik Teoremi formülü: \( h^2 = p \cdot k \)
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( h^2 = 4 \cdot 9 \)
- Çarpma işlemini yapalım: \( h^2 = 36 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{h^2} = \sqrt{36} \)
- Sonuç olarak, \( h = 6 \) cm bulunur.
Yüksekliğin uzunluğu 6 cm'dir. 💡
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı dik açıdır. A köşesinden BC hipotenüsüne indirilen yükseklik \( AH \) olsun. \( BH = 2 \) cm ve \( BC = 10 \) cm olduğuna göre, \( AB \) kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu problemde Öklid Bağıntılarından Dik Kenar Teoremi'ni kullanacağız.
AB kenarının uzunluğu \( 2\sqrt{5} \) cm'dir. ✅
- 👉 Hipotenüsün tamamı \( BC = 10 \) cm olarak verilmiş.
- 👉 Yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçalardan biri \( BH = 2 \) cm.
- 👉 Diğer parça \( HC = BC - BH = 10 - 2 = 8 \) cm'dir.
- 👉 \( AB \) kenarının uzunluğu isteniyor. \( AB \) bir dik kenardır.
- ✅ Öklid Dik Kenar Teoremi formülü (AB için): \( AB^2 = BH \cdot BC \)
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \( AB^2 = 2 \cdot 10 \)
- Çarpma işlemini yapalım: \( AB^2 = 20 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( AB = \sqrt{20} \)
- \( \sqrt{20} \) ifadesini \( \sqrt{4 \cdot 5} \) olarak yazabiliriz.
- Sonuç olarak, \( AB = 2\sqrt{5} \) cm bulunur.
AB kenarının uzunluğu \( 2\sqrt{5} \) cm'dir. ✅
Örnek 6:
Bir duvar ustası, dikdörtgen şeklindeki bir kalıp bloğunun köşegenini hesaplamak için ölçüm yapıyor. Bloğun kısa kenarı \( 6 \) cm, uzun kenarı \( 8 \) cm'dir. Usta, bu bloğu bir dik üçgenin hipotenüsü olarak kullanmak istiyor. Eğer bu bloğun köşegen uzunluğu, bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçalardan biri \( 10 \) cm ve diğer parça \( x \) cm olduğunda, yüksekliğin \( 12 \) cm olması için uygunsa, \( x \) kaç olmalıdır? 🤔
Çözüm:
Bu soru iki aşamalıdır. Önce Pisagor Teoremi ile dikdörtgen bloğun köşegenini bulacağız, sonra Öklid Yükseklik Teoremi ile \( x \) değerini hesaplayacağız.
Ustanın istediği koşulun sağlanması için \( x \) değeri 10 cm olmalıdır. 🛠️
- Adım 1: Dikdörtgen bloğun köşegenini bulalım.
- 👉 Kısa kenar \( a = 6 \) cm, uzun kenar \( b = 8 \) cm.
- 👉 Köşegen uzunluğu \( c \) olsun (bir dik üçgenin hipotenüsü gibi).
- ✅ Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- \( 36 + 64 = c^2 \)
- \( 100 = c^2 \implies c = 10 \) cm.
- Yani, bloğun köşegen uzunluğu \( 10 \) cm'dir. Bu değer, diğer dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir (\( h = 10 \) cm).
- Adım 2: Öklid Yükseklik Teoremi'ni kullanarak \( x \) değerini bulalım.
- 👉 Yükseklik \( h = 10 \) cm (ilk adımdan bulduk).
- 👉 Hipotenüsü ayırdığı parçalar \( p = 10 \) cm ve \( k = x \) cm.
- ✅ Öklid Yükseklik Teoremi: \( h^2 = p \cdot k \)
- \( 10^2 = 10 \cdot x \)
- \( 100 = 10x \)
- Her iki tarafı \( 10 \) ile bölelim: \( x = \frac{100}{10} \)
- Sonuç olarak, \( x = 10 \) cm bulunur.
Ustanın istediği koşulun sağlanması için \( x \) değeri 10 cm olmalıdır. 🛠️
Örnek 7:
Aşağıdaki durumda, \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları birbirine paraleldir. Bu paralel doğruları kesen iki doğru (transversal) üzerinde oluşan parçaların uzunlukları verilmiştir. Buna göre, \( x \) uzunluğu kaç birimdir?
Birinci kesen üzerinde, paralel doğrular arasında kalan parçaların uzunlukları \( 3 \) ve \( 6 \) birimdir. İkinci kesen üzerinde, aynı paralel doğrular arasında kalan parçaların uzunlukları \( 4 \) ve \( x \) birimdir. ↔️
Birinci kesen üzerinde, paralel doğrular arasında kalan parçaların uzunlukları \( 3 \) ve \( 6 \) birimdir. İkinci kesen üzerinde, aynı paralel doğrular arasında kalan parçaların uzunlukları \( 4 \) ve \( x \) birimdir. ↔️
Çözüm:
Bu problem Tales Teoremi'nin (Temel Orantı Teoremi) bir uygulamasıdır. Paralel doğrular, kesenler üzerinde orantılı parçalar ayırır.
\( x \) uzunluğu 8 birimdir. 📌
- 👉 Birinci kesen üzerindeki parçalar: \( 3 \) ve \( 6 \).
- 👉 İkinci kesen üzerindeki parçalar: \( 4 \) ve \( x \).
- ✅ Tales Teoremi'ne göre, bu parçaların oranları birbirine eşittir: \( \frac{3}{6} = \frac{4}{x} \)
- Denklemi basitleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{4}{x} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 1 \cdot x = 2 \cdot 4 \)
- Sonuç olarak, \( x = 8 \) birim bulunur.
\( x \) uzunluğu 8 birimdir. 📌
Örnek 8:
Bir üçgenin içinde, tabana paralel bir doğru çizilmiştir. Bu doğru, üçgenin kenarlarını bölerek yeni bir küçük üçgen oluşturur. Büyük üçgenin sol kenarı üzerinde, tabana paralel doğru tarafından ayrılan parçaların uzunlukları yukarıdan aşağıya doğru \( 5 \) cm ve \( 10 \) cm'dir. Sağ kenarı üzerinde ise aynı şekilde ayrılan parçaların uzunlukları yukarıdan aşağıya doğru \( 4 \) cm ve \( y \) cm'dir. Buna göre, \( y \) kaç cm'dir? 🔺
Çözüm:
Bu problem de Tales Teoremi'nin (Temel Orantı Teoremi) üçgen içindeki bir uygulamasıdır. Paralel doğru, üçgenin kenarlarını orantılı olarak böler.
\( y \) uzunluğu 8 cm'dir. ✨
- 👉 Sol kenar üzerindeki parçalar: \( 5 \) cm ve \( 10 \) cm.
- 👉 Sağ kenar üzerindeki parçalar: \( 4 \) cm ve \( y \) cm.
- ✅ Tales Teoremi'ne göre, bu parçaların oranları birbirine eşittir: \( \frac{5}{10} = \frac{4}{y} \)
- Denklemi basitleştirelim: \( \frac{1}{2} = \frac{4}{y} \)
- İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 1 \cdot y = 2 \cdot 4 \)
- Sonuç olarak, \( y = 8 \) cm bulunur.
\( y \) uzunluğu 8 cm'dir. ✨
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-oklid-pisagor-konu-anlatimi-calisma-kagidi/sorular