💡 9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid, Pisagor, Eşlik ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid, Pisagor, Eşlik ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
Eşlik Kavramı: Bir ABC üçgeni ile DEF üçgeni arasında yapılan ABC ≅ DEF eşlemesinde; \( m(A) = 60^\circ \) ve \( m(E) = 70^\circ \) olduğu bilinmektedir. Buna göre \( m(C) \) kaç derecedir? 📐
İki üçgenin eş olması, karşılıklı açılarının ve kenarlarının birbirine eşit olması demektir. ✅
- ABC ≅ DEF eşlemesine göre karşılıklı açılar şöyledir:
- \( m(A) = m(D) = 60^\circ \)
- \( m(B) = m(E) = 70^\circ \)
- \( m(C) = m(F) \)
- Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için ABC üçgeninde:
- \( 60^\circ + 70^\circ + m(C) = 180^\circ \)
- \( 130^\circ + m(C) = 180^\circ \)
- \( m(C) = 50^\circ \) bulunur.
Benzerlik (A.A. Kuralı): Bir ABC üçgeninde, BC kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir E noktası işaretleniyor. [DE] paraleldir [AB] olduğu veriliyor. \( |CD| = 4 \) birim, \( |DB| = 2 \) birim ve \( |DE| = 8 \) birim ise \( |AB| = x \) kaç birimdir? 🔍
Üçgenlerde paralellik varsa Temel Benzerlik Teoremi uygulanır. 💡
- [DE] // [AB] olduğu için CDE üçgeni ile CAB üçgeni benzerdir (CDE ~ CAB).
- Benzerlik oranını yazalım: \( \frac{|CD|}{|CB|} = \frac{|DE|}{|AB|} \)
- \( |CB| = |CD| + |DB| = 4 + 2 = 6 \) birimdir.
- Değerleri yerine koyalım: \( \frac{4}{6} = \frac{8}{x} \)
- İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 4 \times x = 6 \times 8 \)
- \( 4x = 48 \)
- \( x = 12 \) birim olarak bulunur.
Tales Teoremi: Birbirine paralel olan \( d1, d2, d3 \) doğrularını iki farklı kesen doğru kesmektedir. Birinci kesen üzerinde oluşan parçalar 3 ve 5 birimdir. İkinci kesen üzerinde bu parçalara karşılık gelen uzunluklar \( x \) ve 10 birim olduğuna göre \( x \) kaçtır? 📏
Tales Teoremi'ne göre, paralel doğrular kendilerini kesen doğruları orantılı parçalara ayırır. 📌
- Orantıyı kuralım: \( \frac{3}{5} = \frac{x}{10} \)
- Paydaları eşitlemek veya içler dışlar çarpımı yapmak mümkündür.
- \( 5 \times x = 3 \times 10 \)
- \( 5x = 30 \)
- \( x = 6 \) birim bulunur.
Pisagor Teoremi: Bir itfaiye eri, yerden 8 metre yükseklikteki bir pencereye ulaşmak istiyor. İtfaiye merdiveninin ayağını binadan 6 metre uzağa yerleştirdiğine göre, merdivenin boyu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Bina ile yer arasındaki açı \( 90^\circ \) kabul edilir. Bu durumda merdiven, bina ve zemin bir dik üçgen oluşturur. 📐
- Binanın yüksekliği (dik kenar): \( a = 8 \) metre
- Zemindeki uzaklık (dik kenar): \( b = 6 \) metre
- Merdivenin boyu (hipotenüs): \( c = x \) metre
- Pisagor bağıntısı: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
- \( 8^2 + 6^2 = x^2 \)
- \( 64 + 36 = x^2 \)
- \( 100 = x^2 \)
- \( x = 10 \) metre bulunur. (Bu aynı zamanda 3-4-5 üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 üçgenidir.)
Öklid Teoremi: Bir ABC dik üçgeninde, dik açı A köşesindedir. [AH] yüksekliği [BC] hipotenüsüne indirilmiştir. \( |BH| = 4 \) birim ve \( |HC| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AH| = h \) yüksekliği kaç birimdir? ⚡
Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde Öklid'in Yükseklik Bağıntısı kullanılır. 📝
- Formül: \( h^2 = p \times k \)
- Burada \( p = |BH| = 4 \) ve \( k = |HC| = 9 \) birimdir.
- \( h^2 = 4 \times 9 \)
- \( h^2 = 36 \)
- \( h = 6 \) birim bulunur.
Benzerlik ve Gölge: Boyu 1,5 metre olan bir öğrenci, düz bir zeminde bulunan bir sokak lambasından 4,5 metre uzaklıkta durmaktadır. Öğrencinin gölgesinin boyu 1,5 metre olduğuna göre, sokak lambasının yerden yüksekliği kaç metredir? 💡
Bu soru, iç içe geçmiş iki dik üçgenin benzerliği ile çözülür. 🚶♂️
- Öğrencinin boyu ve gölgesi bir dik üçgen oluşturur.
- Lambanın boyu (H) ve lambadan gölgenin bittiği yere kadar olan mesafe (4,5 + 1,5 = 6 metre) büyük dik üçgeni oluşturur.
- Açı-Açı (A.A.) benzerlik kuralına göre:
- \( \frac{Ogrenci Boyu}{Lamba Boyu} = \frac{Golge Boyu}{Toplam Mesafe} \)
- \( \frac{1,5}{H} = \frac{1,5}{4,5 + 1,5} \)
- \( \frac{1,5}{H} = \frac{1,5}{6} \)
- Buradan \( H = 6 \) metre olarak bulunur.
Pisagor ve Öklid Bir Arada: Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \)'dir. [AH] diktir [BC] olacak şekilde H noktası hipotenüs üzerindedir. \( |AB| = 15 \) birim ve \( |BH| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AC| = x \) kaç birimdir? 🚀
Adım adım ilerleyerek hem Pisagor hem de Öklid bağıntılarını kullanalım. 🛠️
- 1. Adım: ABH dik üçgeninde Pisagor yaparak \( |AH| \) yüksekliğini bulalım.
- \( |AH|^2 + 9^2 = 15^2 \) (Bu 9-12-15 özel üçgenidir, 3-4-5'in 3 katı).
- \( |AH| = 12 \) birim.
- 2. Adım: Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanarak \( |HC| \)'yi bulalım.
- \( |AH|^2 = |BH| \times |HC| \)
- \( 12^2 = 9 \times |HC| \)
- \( 144 = 9 \times |HC| \) => \( |HC| = 16 \) birim.
- 3. Adım: AHC dik üçgeninde Pisagor yaparak \( |AC| = x \)'i bulalım.
- \( 12^2 + 16^2 = x^2 \) (Bu 12-16-20 özel üçgenidir, 3-4-5'in 4 katı).
- \( x = 20 \) birim bulunur.
Kelebek (Kum Saati) Benzerliği: [AB] paraleldir [DE] olmak üzere, [AD] ve [BE] doğruları C noktasında kesişmektedir. \( |AB| = 10 \) birim, \( |DE| = 15 \) birim ve \( |BC| = 4 \) birim ise \( |CE| = x \) kaç birimdir? 🦋
Paralellikten dolayı iç ters açılar eşittir ve ABC ~ DEC benzerliği oluşur (Kelebek benzerliği). 🎯
- Benzerlik oranını kuralım: \( \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|CE|} \)
- Değerleri yerleştirelim: \( \frac{10}{15} = \frac{4}{x} \)
- Sadeleştirme yapalım: \( \frac{2}{3} = \frac{4}{x} \)
- İçler dışlar çarpımı: \( 2 \times x = 3 \times 4 \)
- \( 2x = 12 \)
- \( x = 6 \) birim bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-tales-oklid-pisagor-eslik-ve-benzerlik/sorular