💡 9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid, Pisagor, Eşlik ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Eşlik Kavramı: Bir ABC üçgeni ile DEF üçgeni arasında yapılan ABC ≅ DEF eşlemesinde; \( m(A) = 60^\circ \) ve \( m(E) = 70^\circ \) olduğu bilinmektedir. Buna göre \( m(C) \) kaç derecedir? 📐
Çözüm ve Açıklama
İki üçgenin eş olması, karşılıklı açılarının ve kenarlarının birbirine eşit olması demektir. ✅
ABC ≅ DEF eşlemesine göre karşılıklı açılar şöyledir:
\( m(A) = m(D) = 60^\circ \)
\( m(B) = m(E) = 70^\circ \)
\( m(C) = m(F) \)
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için ABC üçgeninde:
\( 60^\circ + 70^\circ + m(C) = 180^\circ \)
\( 130^\circ + m(C) = 180^\circ \)
\( m(C) = 50^\circ \) bulunur.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Benzerlik (A.A. Kuralı): Bir ABC üçgeninde, BC kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir E noktası işaretleniyor. [DE] paraleldir [AB] olduğu veriliyor. \( |CD| = 4 \) birim, \( |DB| = 2 \) birim ve \( |DE| = 8 \) birim ise \( |AB| = x \) kaç birimdir? 🔍
Çözüm ve Açıklama
Üçgenlerde paralellik varsa Temel Benzerlik Teoremi uygulanır. 💡
[DE] // [AB] olduğu için CDE üçgeni ile CAB üçgeni benzerdir (CDE ~ CAB).
Tales Teoremi: Birbirine paralel olan \( d1, d2, d3 \) doğrularını iki farklı kesen doğru kesmektedir. Birinci kesen üzerinde oluşan parçalar 3 ve 5 birimdir. İkinci kesen üzerinde bu parçalara karşılık gelen uzunluklar \( x \) ve 10 birim olduğuna göre \( x \) kaçtır? 📏
Çözüm ve Açıklama
Tales Teoremi'ne göre, paralel doğrular kendilerini kesen doğruları orantılı parçalara ayırır. 📌
Paydaları eşitlemek veya içler dışlar çarpımı yapmak mümkündür.
\( 5 \times x = 3 \times 10 \)
\( 5x = 30 \)
\( x = 6 \) birim bulunur.
4
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Pisagor Teoremi: Bir itfaiye eri, yerden 8 metre yükseklikteki bir pencereye ulaşmak istiyor. İtfaiye merdiveninin ayağını binadan 6 metre uzağa yerleştirdiğine göre, merdivenin boyu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Çözüm ve Açıklama
Bina ile yer arasındaki açı \( 90^\circ \) kabul edilir. Bu durumda merdiven, bina ve zemin bir dik üçgen oluşturur. 📐
Binanın yüksekliği (dik kenar): \( a = 8 \) metre
Zemindeki uzaklık (dik kenar): \( b = 6 \) metre
Merdivenin boyu (hipotenüs): \( c = x \) metre
Pisagor bağıntısı: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
\( 8^2 + 6^2 = x^2 \)
\( 64 + 36 = x^2 \)
\( 100 = x^2 \)
\( x = 10 \) metre bulunur. (Bu aynı zamanda 3-4-5 üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 üçgenidir.)
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Öklid Teoremi: Bir ABC dik üçgeninde, dik açı A köşesindedir. [AH] yüksekliği [BC] hipotenüsüne indirilmiştir. \( |BH| = 4 \) birim ve \( |HC| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AH| = h \) yüksekliği kaç birimdir? ⚡
Çözüm ve Açıklama
Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde Öklid'in Yükseklik Bağıntısı kullanılır. 📝
Formül: \( h^2 = p \times k \)
Burada \( p = |BH| = 4 \) ve \( k = |HC| = 9 \) birimdir.
\( h^2 = 4 \times 9 \)
\( h^2 = 36 \)
\( h = 6 \) birim bulunur.
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Benzerlik ve Gölge: Boyu 1,5 metre olan bir öğrenci, düz bir zeminde bulunan bir sokak lambasından 4,5 metre uzaklıkta durmaktadır. Öğrencinin gölgesinin boyu 1,5 metre olduğuna göre, sokak lambasının yerden yüksekliği kaç metredir? 💡
Çözüm ve Açıklama
Bu soru, iç içe geçmiş iki dik üçgenin benzerliği ile çözülür. 🚶♂️
Öğrencinin boyu ve gölgesi bir dik üçgen oluşturur.
Lambanın boyu (H) ve lambadan gölgenin bittiği yere kadar olan mesafe (4,5 + 1,5 = 6 metre) büyük dik üçgeni oluşturur.
Pisagor ve Öklid Bir Arada: Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \)'dir. [AH] diktir [BC] olacak şekilde H noktası hipotenüs üzerindedir. \( |AB| = 15 \) birim ve \( |BH| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AC| = x \) kaç birimdir? 🚀
Çözüm ve Açıklama
Adım adım ilerleyerek hem Pisagor hem de Öklid bağıntılarını kullanalım. 🛠️
1. Adım: ABH dik üçgeninde Pisagor yaparak \( |AH| \) yüksekliğini bulalım.
\( |AH|^2 + 9^2 = 15^2 \) (Bu 9-12-15 özel üçgenidir, 3-4-5'in 3 katı).
\( |AH| = 12 \) birim.
2. Adım: Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanarak \( |HC| \)'yi bulalım.
9. Sınıf Matematik: Tales, Öklid, Pisagor, Eşlik ve Benzerlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Eşlik Kavramı: Bir ABC üçgeni ile DEF üçgeni arasında yapılan ABC ≅ DEF eşlemesinde; \( m(A) = 60^\circ \) ve \( m(E) = 70^\circ \) olduğu bilinmektedir. Buna göre \( m(C) \) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
İki üçgenin eş olması, karşılıklı açılarının ve kenarlarının birbirine eşit olması demektir. ✅
ABC ≅ DEF eşlemesine göre karşılıklı açılar şöyledir:
\( m(A) = m(D) = 60^\circ \)
\( m(B) = m(E) = 70^\circ \)
\( m(C) = m(F) \)
Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğu için ABC üçgeninde:
\( 60^\circ + 70^\circ + m(C) = 180^\circ \)
\( 130^\circ + m(C) = 180^\circ \)
\( m(C) = 50^\circ \) bulunur.
Örnek 2:
Benzerlik (A.A. Kuralı): Bir ABC üçgeninde, BC kenarı üzerinde bir D noktası ve AC kenarı üzerinde bir E noktası işaretleniyor. [DE] paraleldir [AB] olduğu veriliyor. \( |CD| = 4 \) birim, \( |DB| = 2 \) birim ve \( |DE| = 8 \) birim ise \( |AB| = x \) kaç birimdir? 🔍
Çözüm:
Üçgenlerde paralellik varsa Temel Benzerlik Teoremi uygulanır. 💡
[DE] // [AB] olduğu için CDE üçgeni ile CAB üçgeni benzerdir (CDE ~ CAB).
Tales Teoremi: Birbirine paralel olan \( d1, d2, d3 \) doğrularını iki farklı kesen doğru kesmektedir. Birinci kesen üzerinde oluşan parçalar 3 ve 5 birimdir. İkinci kesen üzerinde bu parçalara karşılık gelen uzunluklar \( x \) ve 10 birim olduğuna göre \( x \) kaçtır? 📏
Çözüm:
Tales Teoremi'ne göre, paralel doğrular kendilerini kesen doğruları orantılı parçalara ayırır. 📌
Paydaları eşitlemek veya içler dışlar çarpımı yapmak mümkündür.
\( 5 \times x = 3 \times 10 \)
\( 5x = 30 \)
\( x = 6 \) birim bulunur.
Örnek 4:
Pisagor Teoremi: Bir itfaiye eri, yerden 8 metre yükseklikteki bir pencereye ulaşmak istiyor. İtfaiye merdiveninin ayağını binadan 6 metre uzağa yerleştirdiğine göre, merdivenin boyu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Çözüm:
Bina ile yer arasındaki açı \( 90^\circ \) kabul edilir. Bu durumda merdiven, bina ve zemin bir dik üçgen oluşturur. 📐
Binanın yüksekliği (dik kenar): \( a = 8 \) metre
Zemindeki uzaklık (dik kenar): \( b = 6 \) metre
Merdivenin boyu (hipotenüs): \( c = x \) metre
Pisagor bağıntısı: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
\( 8^2 + 6^2 = x^2 \)
\( 64 + 36 = x^2 \)
\( 100 = x^2 \)
\( x = 10 \) metre bulunur. (Bu aynı zamanda 3-4-5 üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 üçgenidir.)
Örnek 5:
Öklid Teoremi: Bir ABC dik üçgeninde, dik açı A köşesindedir. [AH] yüksekliği [BC] hipotenüsüne indirilmiştir. \( |BH| = 4 \) birim ve \( |HC| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AH| = h \) yüksekliği kaç birimdir? ⚡
Çözüm:
Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik çizildiğinde Öklid'in Yükseklik Bağıntısı kullanılır. 📝
Formül: \( h^2 = p \times k \)
Burada \( p = |BH| = 4 \) ve \( k = |HC| = 9 \) birimdir.
\( h^2 = 4 \times 9 \)
\( h^2 = 36 \)
\( h = 6 \) birim bulunur.
Örnek 6:
Benzerlik ve Gölge: Boyu 1,5 metre olan bir öğrenci, düz bir zeminde bulunan bir sokak lambasından 4,5 metre uzaklıkta durmaktadır. Öğrencinin gölgesinin boyu 1,5 metre olduğuna göre, sokak lambasının yerden yüksekliği kaç metredir? 💡
Çözüm:
Bu soru, iç içe geçmiş iki dik üçgenin benzerliği ile çözülür. 🚶♂️
Öğrencinin boyu ve gölgesi bir dik üçgen oluşturur.
Lambanın boyu (H) ve lambadan gölgenin bittiği yere kadar olan mesafe (4,5 + 1,5 = 6 metre) büyük dik üçgeni oluşturur.
Pisagor ve Öklid Bir Arada: Bir ABC dik üçgeninde \( m(A) = 90^\circ \)'dir. [AH] diktir [BC] olacak şekilde H noktası hipotenüs üzerindedir. \( |AB| = 15 \) birim ve \( |BH| = 9 \) birim olduğuna göre, \( |AC| = x \) kaç birimdir? 🚀
Çözüm:
Adım adım ilerleyerek hem Pisagor hem de Öklid bağıntılarını kullanalım. 🛠️
1. Adım: ABH dik üçgeninde Pisagor yaparak \( |AH| \) yüksekliğini bulalım.
\( |AH|^2 + 9^2 = 15^2 \) (Bu 9-12-15 özel üçgenidir, 3-4-5'in 3 katı).
\( |AH| = 12 \) birim.
2. Adım: Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanarak \( |HC| \)'yi bulalım.