💡 9. Sınıf Matematik: Tales, öklid, pisagor bağıntıları Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Pisagor Bağıntısı'nı kullanacağız. Pisagor bağıntısına göre dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.

• Adım 1: Formülü yazalım: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
• Adım 2: Verilen değerleri yerine koyalım: \( 9^2 + 12^2 = x^2 \)
• Adım 3: Kareleri hesaplayalım: \( 81 + 144 = x^2 \)
• Adım 4: Toplama işlemini yapalım: \( 225 = x^2 \)
• Adım 5: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = 15 \) birim bulunur.

💡 İpucu: Bu üçgen, \( 3-4-5 \) özel üçgeninin \( 3 \) katı olan \( 9-12-15 \) üçgenidir.

Dik üçgende dikten dik inildiği için Öklid Bağıntısı (Yükseklik Bağıntısı) uygulanır.

• Adım 1: Öklid'in yükseklik formülünü hatırlayalım: \( h^2 = p \times k \)
• Adım 2: Burada \( p = BH = 4 \) ve \( k = HC = 16 \) birimdir.
• Adım 3: Değerleri formülde yerine yazalım: \( h^2 = 4 \times 16 \)
• Adım 4: Çarpma işlemini yapalım: \( h^2 = 64 \)
• Adım 5: Karekök alalım: \( h = 8 \) birim olarak bulunur. ✅

Üçgenlerde paralellik olduğu durumlarda Temel Benzerlik Teoremi (Tales) kullanılır.

• Adım 1: Tales teoremine göre paralel doğruların ayırdığı parçalar orantılıdır: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
• Adım 2: Verilenleri oranlayalım: \( \frac{6}{3} = \frac{8}{x} \)
• Adım 3: Oranı sadeleştirelim: \( 2 = \frac{8}{x} \)
• Adım 4: İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \times x = 8 \)
• Adım 5: Sonucu bulalım: \( x = 4 \) birimdir.

Değişken atayarak Pisagor Bağıntısı'nı uygulayalım.

• Adım 1: Küçük kenara \( x \) diyelim. Bu durumda büyük dik kenar \( 3 \times x \) olur.
• Adım 2: Pisagor formülünü kuralım: \( x^2 + (3 \times x)^2 = (2 \times \sqrt{10})^2 \)
• Adım 3: Kareleri alalım: \( x^2 + 9 \times x^2 = 4 \times 10 \)
• Adım 4: Denklemi düzenleyelim: \( 10 \times x^2 = 40 \)
• Adım 5: Her iki tarafı \( 10 \)'a bölelim: \( x^2 = 4 \)
• Adım 6: Karekök alalım: \( x = 2 \) birim bulunur.

Bu problemde bina, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur.

• Bina yüksekliği (dik kenar): \( 15 \) metre
• Uzaklık (diğer dik kenar): \( 8 \) metre
• Merdiven boyu (hipotenüs): \( L \) metre
• Hesaplama: \( 8^2 + 15^2 = L^2 \)
• İşlemler: \( 64 + 225 = L^2 \)
• Toplam: \( 289 = L^2 \)
• Sonuç: \( L = 17 \) metre.

👉 Bu durum \( 8-15-17 \) özel dik üçgenine bir örnektir.

Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için nesneler ve gölgeleri arasında Tales (Benzerlik) bağıntısı kurulur.

• Adım 1: Orantıyı kuralım: \( \frac{\text{Öğrenci Boyu}}{\text{Öğrenci Gölgesi}} = \frac{\text{Direk Boyu}}{\text{Direk Gölgesi}} \)
• Adım 2: Değerleri yerleştirelim: \( \frac{1.5}{2} = \frac{h}{12} \)
• Adım 3: İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \times h = 1.5 \times 12 \)
• Adım 4: Çarpımı yapalım: \( 2 \times h = 18 \)
• Adım 5: Bölme işlemini yapalım: \( h = 9 \) metre.

Direğin boyu \( 9 \) metredir. 💡

Burada Öklid'in kenar bağıntısını kullanmak en hızlı yoldur.

• Adım 1: Kenar bağıntısı formülü: \( AB^2 = BH \times BC \)
• Adım 2: Verilenleri yerine yazalım: \( 6^2 = 3 \times BC \)
• Adım 3: Kareyi hesaplayalım: \( 36 = 3 \times BC \)
• Adım 4: Her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim: \( BC = 12 \) birim bulunur.

Bu soru doğrudan Tales Teoremi'nin temel tanımı ile ilgilidir.

• Adım 1: Paralel doğrular arasında kalan parçaların oranı birbirine eşittir.
• Adım 2: Orantıyı kuralım: \( \frac{4}{x} = \frac{6}{9} \)
• Adım 3: \( \frac{6}{9} \) oranını \( 3 \) ile sadeleştirelim: \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
• Adım 4: Yeni orantı: \( \frac{4}{x} = \frac{2}{3} \)
• Adım 5: İçler dışlar çarpımı: \( 2 \times x = 4 \times 3 \)
• Adım 6: \( 2 \times x = 12 \) ise \( x = 6 \) birimdir. ✅