💡 9. Sınıf Matematik: Tales, öklid, pisagor bağıntıları Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bir ABC dik üçgeninde, dik kenar uzunlukları \( AB = 9 \) birim ve \( BC = 12 \) birim olarak verilmiştir. Buna göre, bu üçgenin hipotenüs uzunluğu olan \( AC = x \) kaç birimdir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için Pisagor Bağıntısı'nı kullanacağız. Pisagor bağıntısına göre dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Adım 1: Formülü yazalım: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
Adım 2: Verilen değerleri yerine koyalım: \( 9^2 + 12^2 = x^2 \)
Adım 5: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = 15 \) birim bulunur.
💡 İpucu: Bu üçgen, \( 3-4-5 \) özel üçgeninin \( 3 \) katı olan \( 9-12-15 \) üçgenidir.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir ABC dik üçgeninde, \( A \) açısı \( 90^\circ \) derecedir. \( A \) köşesinden \( BC \) hipotenüsüne bir \( AH \) dikmesi indirilmiştir. \( BH = 4 \) birim ve \( HC = 16 \) birim olduğuna göre, yükseklik olan \( AH = h \) kaç birimdir? 📏
Çözüm ve Açıklama
Dik üçgende dikten dik inildiği için Öklid Bağıntısı (Yükseklik Bağıntısı) uygulanır.
Adım 1: Öklid'in yükseklik formülünü hatırlayalım: \( h^2 = p \times k \)
Adım 2: Burada \( p = BH = 4 \) ve \( k = HC = 16 \) birimdir.
Adım 3: Değerleri formülde yerine yazalım: \( h^2 = 4 \times 16 \)
Adım 4: Çarpma işlemini yapalım: \( h^2 = 64 \)
Adım 5: Karekök alalım: \( h = 8 \) birim olarak bulunur. ✅
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir ABC üçgeninde, \( DE \) doğrusu \( BC \) tabanına paraleldir (\( DE // BC \)). \( AD = 6 \) birim, \( DB = 3 \) birim ve \( AE = 8 \) birim olduğuna göre, \( EC = x \) uzunluğu kaç birimdir? 🔍
Çözüm ve Açıklama
Üçgenlerde paralellik olduğu durumlarda Temel Benzerlik Teoremi (Tales) kullanılır.
Adım 1: Tales teoremine göre paralel doğruların ayırdığı parçalar orantılıdır: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
Adım 2: Verilenleri oranlayalım: \( \frac{6}{3} = \frac{8}{x} \)
Adım 3: Oranı sadeleştirelim: \( 2 = \frac{8}{x} \)
Adım 4: İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \times x = 8 \)
Adım 5: Sonucu bulalım: \( x = 4 \) birimdir.
4
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir dik üçgende dik kenarlardan biri diğerinin \( 3 \) katıdır. Hipotenüs uzunluğu \( 2 \times \sqrt{10} \) birim olduğuna göre, küçük dik kenarın uzunluğu kaç birimdir? 🧠
Adım 5: Her iki tarafı \( 10 \)'a bölelim: \( x^2 = 4 \)
Adım 6: Karekök alalım: \( x = 2 \) birim bulunur.
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir itfaiye merdiveni, yerden 15 metre yükseklikteki bir pencereye ulaştırılmak isteniyor. Merdivenin alt ucu binadan 8 metre uzağa yerleştirildiğine göre, bu merdivenin boyu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde bina, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur.
Bina yüksekliği (dik kenar): \( 15 \) metre
Uzaklık (diğer dik kenar): \( 8 \) metre
Merdiven boyu (hipotenüs): \( L \) metre
Hesaplama: \( 8^2 + 15^2 = L^2 \)
İşlemler: \( 64 + 225 = L^2 \)
Toplam: \( 289 = L^2 \)
Sonuç: \( L = 17 \) metre.
👉 Bu durum \( 8-15-17 \) özel dik üçgenine bir örnektir.
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Güneşli bir günde, boyu 1.5 metre olan bir öğrencinin gölge boyu 2 metre olarak ölçülüyor. Aynı anda, hemen yanındaki bir elektrik direğinin gölge boyu 12 metre olduğuna göre, elektrik direğinin gerçek boyu kaç metredir? ☀️
Çözüm ve Açıklama
Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için nesneler ve gölgeleri arasında Tales (Benzerlik) bağıntısı kurulur.
Adım 2: Değerleri yerleştirelim: \( \frac{1.5}{2} = \frac{h}{12} \)
Adım 3: İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \times h = 1.5 \times 12 \)
Adım 4: Çarpımı yapalım: \( 2 \times h = 18 \)
Adım 5: Bölme işlemini yapalım: \( h = 9 \) metre.
Direğin boyu \( 9 \) metredir. 💡
7
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir ABC dik üçgeninde \( A \) açısı diktir. Hipotenüse ait yükseklik \( AH \)'dir. \( AB = 6 \) birim ve \( BH = 3 \) birim olduğuna göre, hipotenüsün tamamı (\( BC \)) kaç birimdir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Burada Öklid'in kenar bağıntısını kullanmak en hızlı yoldur.
Adım 1: Kenar bağıntısı formülü: \( AB^2 = BH \times BC \)
Adım 2: Verilenleri yerine yazalım: \( 6^2 = 3 \times BC \)
Adım 3: Kareyi hesaplayalım: \( 36 = 3 \times BC \)
Adım 4: Her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim: \( BC = 12 \) birim bulunur.
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Birbirine paralel olan \( d1, d2, d3 \) doğrularını iki farklı doğru kesmektedir. Birinci doğru üzerinde oluşan parçalar 4 ve x birimdir. İkinci doğru üzerinde bu parçalara karşılık gelen uzunluklar sırasıyla 6 ve 9 birimdir. Buna göre \( x \) değeri kaçtır? 📏
Çözüm ve Açıklama
Bu soru doğrudan Tales Teoremi'nin temel tanımı ile ilgilidir.
Adım 1: Paralel doğrular arasında kalan parçaların oranı birbirine eşittir.
Adım 2: Orantıyı kuralım: \( \frac{4}{x} = \frac{6}{9} \)
Adım 3: \( \frac{6}{9} \) oranını \( 3 \) ile sadeleştirelim: \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
Adım 4: Yeni orantı: \( \frac{4}{x} = \frac{2}{3} \)
Adım 5: İçler dışlar çarpımı: \( 2 \times x = 4 \times 3 \)
Adım 6: \( 2 \times x = 12 \) ise \( x = 6 \) birimdir. ✅
9. Sınıf Matematik: Tales, öklid, pisagor bağıntıları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde, dik kenar uzunlukları \( AB = 9 \) birim ve \( BC = 12 \) birim olarak verilmiştir. Buna göre, bu üçgenin hipotenüs uzunluğu olan \( AC = x \) kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Bağıntısı'nı kullanacağız. Pisagor bağıntısına göre dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Adım 1: Formülü yazalım: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)
Adım 2: Verilen değerleri yerine koyalım: \( 9^2 + 12^2 = x^2 \)
Adım 5: Her iki tarafın karekökünü alalım: \( x = 15 \) birim bulunur.
💡 İpucu: Bu üçgen, \( 3-4-5 \) özel üçgeninin \( 3 \) katı olan \( 9-12-15 \) üçgenidir.
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, \( A \) açısı \( 90^\circ \) derecedir. \( A \) köşesinden \( BC \) hipotenüsüne bir \( AH \) dikmesi indirilmiştir. \( BH = 4 \) birim ve \( HC = 16 \) birim olduğuna göre, yükseklik olan \( AH = h \) kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Dik üçgende dikten dik inildiği için Öklid Bağıntısı (Yükseklik Bağıntısı) uygulanır.
Adım 1: Öklid'in yükseklik formülünü hatırlayalım: \( h^2 = p \times k \)
Adım 2: Burada \( p = BH = 4 \) ve \( k = HC = 16 \) birimdir.
Adım 3: Değerleri formülde yerine yazalım: \( h^2 = 4 \times 16 \)
Adım 4: Çarpma işlemini yapalım: \( h^2 = 64 \)
Adım 5: Karekök alalım: \( h = 8 \) birim olarak bulunur. ✅
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde, \( DE \) doğrusu \( BC \) tabanına paraleldir (\( DE // BC \)). \( AD = 6 \) birim, \( DB = 3 \) birim ve \( AE = 8 \) birim olduğuna göre, \( EC = x \) uzunluğu kaç birimdir? 🔍
Çözüm:
Üçgenlerde paralellik olduğu durumlarda Temel Benzerlik Teoremi (Tales) kullanılır.
Adım 1: Tales teoremine göre paralel doğruların ayırdığı parçalar orantılıdır: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
Adım 2: Verilenleri oranlayalım: \( \frac{6}{3} = \frac{8}{x} \)
Adım 3: Oranı sadeleştirelim: \( 2 = \frac{8}{x} \)
Adım 4: İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \times x = 8 \)
Adım 5: Sonucu bulalım: \( x = 4 \) birimdir.
Örnek 4:
Bir dik üçgende dik kenarlardan biri diğerinin \( 3 \) katıdır. Hipotenüs uzunluğu \( 2 \times \sqrt{10} \) birim olduğuna göre, küçük dik kenarın uzunluğu kaç birimdir? 🧠
Adım 5: Her iki tarafı \( 10 \)'a bölelim: \( x^2 = 4 \)
Adım 6: Karekök alalım: \( x = 2 \) birim bulunur.
Örnek 5:
Bir itfaiye merdiveni, yerden 15 metre yükseklikteki bir pencereye ulaştırılmak isteniyor. Merdivenin alt ucu binadan 8 metre uzağa yerleştirildiğine göre, bu merdivenin boyu en az kaç metre olmalıdır? 🚒
Çözüm:
Bu problemde bina, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur.
Bina yüksekliği (dik kenar): \( 15 \) metre
Uzaklık (diğer dik kenar): \( 8 \) metre
Merdiven boyu (hipotenüs): \( L \) metre
Hesaplama: \( 8^2 + 15^2 = L^2 \)
İşlemler: \( 64 + 225 = L^2 \)
Toplam: \( 289 = L^2 \)
Sonuç: \( L = 17 \) metre.
👉 Bu durum \( 8-15-17 \) özel dik üçgenine bir örnektir.
Örnek 6:
Güneşli bir günde, boyu 1.5 metre olan bir öğrencinin gölge boyu 2 metre olarak ölçülüyor. Aynı anda, hemen yanındaki bir elektrik direğinin gölge boyu 12 metre olduğuna göre, elektrik direğinin gerçek boyu kaç metredir? ☀️
Çözüm:
Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için nesneler ve gölgeleri arasında Tales (Benzerlik) bağıntısı kurulur.
Adım 2: Değerleri yerleştirelim: \( \frac{1.5}{2} = \frac{h}{12} \)
Adım 3: İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 2 \times h = 1.5 \times 12 \)
Adım 4: Çarpımı yapalım: \( 2 \times h = 18 \)
Adım 5: Bölme işlemini yapalım: \( h = 9 \) metre.
Direğin boyu \( 9 \) metredir. 💡
Örnek 7:
Bir ABC dik üçgeninde \( A \) açısı diktir. Hipotenüse ait yükseklik \( AH \)'dir. \( AB = 6 \) birim ve \( BH = 3 \) birim olduğuna göre, hipotenüsün tamamı (\( BC \)) kaç birimdir? 📐
Çözüm:
Burada Öklid'in kenar bağıntısını kullanmak en hızlı yoldur.
Adım 1: Kenar bağıntısı formülü: \( AB^2 = BH \times BC \)
Adım 2: Verilenleri yerine yazalım: \( 6^2 = 3 \times BC \)
Adım 3: Kareyi hesaplayalım: \( 36 = 3 \times BC \)
Adım 4: Her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim: \( BC = 12 \) birim bulunur.
Örnek 8:
Birbirine paralel olan \( d1, d2, d3 \) doğrularını iki farklı doğru kesmektedir. Birinci doğru üzerinde oluşan parçalar 4 ve x birimdir. İkinci doğru üzerinde bu parçalara karşılık gelen uzunluklar sırasıyla 6 ve 9 birimdir. Buna göre \( x \) değeri kaçtır? 📏
Çözüm:
Bu soru doğrudan Tales Teoremi'nin temel tanımı ile ilgilidir.
Adım 1: Paralel doğrular arasında kalan parçaların oranı birbirine eşittir.
Adım 2: Orantıyı kuralım: \( \frac{4}{x} = \frac{6}{9} \)
Adım 3: \( \frac{6}{9} \) oranını \( 3 \) ile sadeleştirelim: \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
Adım 4: Yeni orantı: \( \frac{4}{x} = \frac{2}{3} \)
Adım 5: İçler dışlar çarpımı: \( 2 \times x = 4 \times 3 \)
Adım 6: \( 2 \times x = 12 \) ise \( x = 6 \) birimdir. ✅