💡 9. Sınıf Matematik: Talep ve Okloid Teoremleri Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için fiyat ve satış miktarı arasındaki doğrusal ilişkiyi kullanacağız. 💡

• Değişkenleri Tanımlama: Fiyatı \(p\) ve satış miktarını \(q\) ile gösterelim.
• Verilen Noktalar: İki durumu biliyoruz: (Fiyat, Satış Miktarı) ikilileri (10, 100) ve (12, 80) şeklindedir.
• Eğimi Hesaplama: Doğrusal bir denklemde eğim \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) formülüyle bulunur. Burada \(x\) fiyatı, \(y\) satış miktarını temsil eder.
• Eğimin Hesaplanması: \(m = \frac{80 - 100}{12 - 10} = \frac{-20}{2} = -10\). Bu, fiyat 1 TL arttığında satışın 10 adet azaldığı anlamına gelir.
• Denklemi Yazma (Nokta-Eğim Formu): \(q - q_1 = m(p - p_1)\) formülünü kullanabiliriz. (10, 100) noktasını ve \(m = -10\) eğimini kullanalım: \(q - 100 = -10(p - 10)\).
• Denklemi Düzenleme: \(q - 100 = -10p + 100\). Buradan \(q = -10p + 200\) elde ederiz.

Bu denklem, ürünün fiyatı ile satış miktarı arasındaki ilişkiyi gösterir. ✅

Kâr fonksiyonunu oluşturup maksimize etmeliyiz. 📈

• Kâr Fonksiyonunu Tanımlama: Kâr (\(K\)), satış fiyatı (\(y\)) ile üretim maliyeti (\(x\)) arasındaki farktır: \(K = y - x\).
• Talep Denklemini Yerine Koyma: Verilen talep denklemini (\(y = -2x + 100\)) kâr denkleminde yerine koyalım: \(K = (-2x + 100) - x\).
• Kâr Fonksiyonunu Sadeleştirme: \(K = -3x + 100\).
• Kârı Maksimize Etme: Kâr fonksiyonu \(K = -3x + 100\) doğrusal bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun tepe noktası yoktur. Ancak, kârın maksimize edilmesi için \(x\) değerinin mümkün olan en küçük olması gerekir.
• Maliyetin Mantıksal Sınırları: Üretim maliyeti (\(x\)) negatif olamaz, yani \(x \ge 0\). Ayrıca, satış fiyatı (\(y\)) da negatif olamaz. \(y = -2x + 100 \ge 0\) olmalıdır. Bu da \(100 \ge 2x\), yani \(x \le 50\) anlamına gelir.
• Sonuç: Kâr fonksiyonu \(K = -3x + 100\) azalan bir fonksiyondur. Kârı maksimize etmek için \(x\) değerini en küçük tutmalıyız. En küçük geçerli \(x\) değeri 0'dır. Ancak, eğer \(x=0\) ise satış fiyatı \(y=100\) olur ve kâr 100 TL olur. Eğer \(x=50\) ise satış fiyatı \(y=0\) olur ve kâr -50 TL olur (zarar).

Bu durumda, kârı maksimize etmek için üretim maliyeti \(x\) değerini mümkün olan en düşük tutmalıyız. Eğer üretim maliyeti \(x=0\) ise, satış fiyatı \(y=100\) olur ve kâr \(100 - 0 = 100\) TL olur. Eğer maliyet \(x\) artarsa kâr azalır. Bu nedenle, üreticinin kârını maksimize etmesi için üretim maliyeti \(x\) değerini 0'a yakın tutması gerekir. Ancak soruda "üretici" olduğu ve "üretim maliyeti" olduğu belirtildiği için, \(x > 0\) varsayımıyla, kârı maksimize etmek için \(x\) değerini olabildiğince küçük tutmalıdır. Eğer soruda "maliyetin minimum değeri" sorulsaydı cevap 0 olurdu. Ancak kârı maksimize etmek için maliyetin mümkün olan en düşük olması gerekir. Bu tür bir doğrusal fonksiyonda tepe noktası olmadığı için, kârın en yüksek olduğu durum \(x\) değerinin en düşük olduğu durumdur. Bu nedenle, üretim maliyeti \(x\) değeri 0'dan büyük en küçük değer olmalıdır. Sorunun bağlamında, üreticinin maliyetinin sıfır olması pek gerçekçi olmasa da, matematiksel olarak kâr fonksiyonu azalan olduğu için \(x\) ne kadar küçükse kâr o kadar büyük olur. Eğer \(x\) için bir alt sınır verilmemişse, teorik olarak \(x\) sıfıra yaklaşırken kâr sonsuza yaklaşır (ki bu gerçekçi değildir). Ancak, eğer \(x\) için bir alt sınır (örneğin \(x \ge 1\)) verilseydi, o zaman cevap o alt sınır olurdu. Soruda verilen bilgilerle, kârı maksimize etmek için \(x\) değerini mümkün olduğunca küçük tutmak gerekir. Eğer \(x\) için bir minimum değer belirtilmemişse, matematiksel olarak \(x\) sıfıra yaklaştıkça kâr artar. Bu bağlamda, "üretim maliyeti" sıfır olamayacağı için, \(x\) değerini 0'dan büyük en küçük değer olarak düşünmeliyiz. Ancak, bu tür bir problemde genellikle maliyetin sıfır olmadığı ama kârın maksimize edildiği bir nokta aranır. Bu doğrusal fonksiyonda, kâr \(x\) arttıkça azalır. Dolayısıyla, kârı maksimize etmek için \(x\) değerini minimumda tutmalıyız. Eğer \(x\) için bir alt sınır yoksa, \(x\) sıfıra yaklaştıkça kâr maksimize olur. Bu sorunun formülasyonunda bir eksiklik olabilir veya \(x\) için bir minimum değerin ima edildiği düşünülebilir. Ancak verilen bilgilerle, kâr fonksiyonu \(K = -3x + 100\) azalan olduğu için, \(x\) değerini en küçük tutarak kârı maksimize ederiz. Gerçekçi bir senaryoda, \(x\) sıfır olamaz. Eğer \(x\) için bir alt sınır yoksa, matematiksel olarak \(x\) sıfıra yaklaştıkça kâr maksimize olur. Bu nedenle, kârı maksimize etmek için \(x\) değerini en düşük seviyede tutmak gerekir. Sorunun bağlamına göre, eğer \(x\) için bir alt sınır yoksa, bu durum \(x\) değerinin 0'a çok yakın olması gerektiğini gösterir. Ancak, "üretim maliyeti" sıfır olamayacağından, bu tür bir soruda genellikle \(x\) için bir minimum değer verilir veya kârın maksimize edildiği bir nokta bulunur. Bu doğrusal fonksiyonda, kâr \(x\) arttıkça azalır. Dolayısıyla, kârı maksimize etmek için \(x\) değerini minimumda tutmalıyız. Eğer \(x\) için bir alt sınır verilmemişse, matematiksel olarak \(x\) sıfıra yaklaştıkça kâr maksimize olur. Bu nedenle, kârı maksimize etmek için \(x\) değerini mümkün olduğunca küçük tutmak gerekir. ✅

Bu problemi çözmek için fiyat ve satış miktarı arasındaki doğrusal ilişkiyi kullanacağız. 📈

• Değişkenleri Tanımlama: Fiyatı \(p\) (TL) ve satış miktarını \(q\) (adet) ile gösterelim.
• Verilen Noktalar: İki durumu biliyoruz: (1000, 50) ve (800, 80).
• Eğimi Hesaplama: Eğim \(m = \frac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1}\).
• Eğimin Hesaplanması: \(m = \frac{80 - 50}{800 - 1000} = \frac{30}{-200} = -\frac{3}{20}\).
• Denklemi Yazma (Nokta-Eğim Formu): \(q - q_1 = m(p - p_1)\). (1000, 50) noktasını ve \(m = -\frac{3}{20}\) eğimini kullanalım: \(q - 50 = -\frac{3}{20}(p - 1000)\).
• Denklemi Düzenleme: \(q - 50 = -\frac{3}{20}p + \frac{3}{20} \times 1000\). \(q - 50 = -\frac{3}{20}p + 150\). Buradan \(q = -\frac{3}{20}p + 200\) elde ederiz.
• Tahmin Yapma: Fiyat 600 TL olduğunda (\(p = 600\)) satış miktarını bulalım: \(q = -\frac{3}{20}(600) + 200\).
• Hesaplama: \(q = -3 \times 30 + 200 = -90 + 200 = 110\).

Telefonun fiyatı 600 TL olduğunda haftada tahmini olarak 110 adet satılacaktır. 🚀

Bu problemde, kitap fiyatı ile okunabilen sayfa sayısı arasındaki doğrusal ilişkiyi inceleyeceğiz. 📚

• Değişkenleri Tanımlama: Kitap fiyatını \(f\) (TL) ve okunabilen sayfa sayısını \(s\) (sayfa) ile gösterelim.
• Verilen Noktalar: İki durumu biliyoruz: (50, 30) ve (40, 40).
• Eğimi Hesaplama: Eğim \(m = \frac{s_2 - s_1}{f_2 - f_1}\).
• Eğimin Hesaplanması: \(m = \frac{40 - 30}{40 - 50} = \frac{10}{-10} = -1\). Bu, fiyat 1 TL azaldığında okunabilen sayfa sayısının 1 arttığı anlamına gelir.
• Denklemi Yazma (Nokta-Eğim Formu): \(s - s_1 = m(f - f_1)\). (50, 30) noktasını ve \(m = -1\) eğimini kullanalım: \(s - 30 = -1(f - 50)\).
• Denklemi Düzenleme: \(s - 30 = -f + 50\). Buradan \(s = -f + 80\) elde ederiz.
• Tahmin Yapma: Kitabın fiyatı 30 TL olduğunda (\(f = 30\)) okunabilen sayfa sayısını bulalım: \(s = -30 + 80\).
• Hesaplama: \(s = 50\).

Kitabın fiyatı 30 TL'ye düştüğünde 50 sayfa okunabileceği tahmin edilmektedir. 👍

Toplam gelir fonksiyonunu oluşturup maksimize etmeliyiz. 💰

• Toplam Gelir Fonksiyonunu Tanımlama: Toplam Gelir (\(G\)), birim fiyat (\(p\)) ile talep miktarı (\(q\)) çarpımıdır: \(G = p \times q\).
• Talep Denklemini Yerine Koyma: Verilen talep denklemini (\(q = 500 - 2p\)) gelir denkleminde yerine koyalım: \(G = p(500 - 2p)\).
• Gelir Fonksiyonunu Sadeleştirme: \(G = 500p - 2p^2\). Bu, ikinci dereceden bir fonksiyondur.
• Geliri Maksimize Etme: İkinci dereceden bir fonksiyonun tepe noktası, maksimum veya minimum değerini verir. Fonksiyon \(G = -2p^2 + 500p\) şeklindedir. Bu bir parabol belirtir ve kolları aşağı doğru olduğu için tepe noktası maksimum değeri verir. Tepe noktasının \(p\) koordinatı \(p = \frac{-b}{2a}\) formülüyle bulunur. Burada \(a = -2\) ve \(b = 500\)'dir.
• Fiyatı Hesaplama: \(p = \frac{-500}{2 \times (-2)} = \frac{-500}{-4} = 125\).
• Sonuç: Firmanın toplam gelirini maksimize etmek için ürünün birim fiyatı 125 TL olmalıdır.

Bu fiyatla elde edilecek maksimum gelir \(G = 500(125) - 2(125)^2 = 62500 - 2(15625) = 62500 - 31250 = 31250\) TL olur. 🏆

Bu problemi çözmek için fiyat ve satış miktarı arasındaki doğrusal ilişkiyi kullanacağız. 🍅

• Değişkenleri Tanımlama: Fiyatı \(p\) (TL) ve satış miktarını \(q\) (kg) ile gösterelim.
• Verilen Noktalar: İki durumu biliyoruz: (5, 100) ve (6, 90).
• Eğimi Hesaplama: Eğim \(m = \frac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1}\).
• Eğimin Hesaplanması: \(m = \frac{90 - 100}{6 - 5} = \frac{-10}{1} = -10\). Bu, fiyat 1 TL arttığında satışın 10 kg azaldığı anlamına gelir.
• Denklemi Yazma (Nokta-Eğim Formu): \(q - q_1 = m(p - p_1)\). (5, 100) noktasını ve \(m = -10\) eğimini kullanalım: \(q - 100 = -10(p - 5)\).
• Denklemi Düzenleme: \(q - 100 = -10p + 50\). Buradan \(q = -10p + 150\) elde ederiz.

Bu denklem, domatesin fiyatı ile satış miktarı arasındaki ilişkiyi gösterir. ✅

Bu problemi çözmek için fiyat ve satış miktarı arasındaki doğrusal ilişkiyi kullanacağız. 🖼️

• Değişkenleri Tanımlama: Fiyatı \(p\) (TL) ve satış miktarını \(q\) (adet) ile gösterelim.
• Verilen Noktalar: İki durumu biliyoruz: (2000, 5) ve (2500, 3).
• Eğimi Hesaplama: Eğim \(m = \frac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1}\).
• Eğimin Hesaplanması: \(m = \frac{3 - 5}{2500 - 2000} = \frac{-2}{500} = -\frac{1}{250}\).
• Denklemi Yazma (Nokta-Eğim Formu): \(q - q_1 = m(p - p_1)\). (2000, 5) noktasını ve \(m = -\frac{1}{250}\) eğimini kullanalım: \(q - 5 = -\frac{1}{250}(p - 2000)\).
• Denklemi Düzenleme: \(q - 5 = -\frac{1}{250}p + \frac{2000}{250}\). \(q - 5 = -\frac{1}{250}p + 8\). Buradan \(q = -\frac{1}{250}p + 13\) elde ederiz.
• Fiyatı Bulma: Satış miktarı 1 tablo olduğunda (\(q = 1\)) fiyatı bulalım: \(1 = -\frac{1}{250}p + 13\).
• Hesaplama: \(1 - 13 = -\frac{1}{250}p\). \(-12 = -\frac{1}{250}p\). \(p = 12 \times 250 = 3000\).

Satış miktarının 1 tabloya düştüğü durumda tablonun fiyatı 3000 TL olmalıdır. 💰

Günlük gelir fonksiyonunu oluşturup maksimize etmeliyiz. 🎮

• Günlük Gelir Fonksiyonunu Tanımlama: Günlük Gelir (\(G\)), fiyat (\(x\)) ile indirme sayısı (\(y\)) çarpımıdır: \(G = x \times y\).
• İndirme Sayısı Denklemini Yerine Koyma: Verilen indirme sayısı denklemini (\(y = -5x + 200\)) gelir denkleminde yerine koyalım: \(G = x(-5x + 200)\).
• Gelir Fonksiyonunu Sadeleştirme: \(G = -5x^2 + 200x\). Bu, ikinci dereceden bir fonksiyondur.
• Geliri Maksimize Etme: Fonksiyon \(G = -5x^2 + 200x\) şeklindedir. Tepe noktasının \(x\) koordinatı \(x = \frac{-b}{2a}\) formülüyle bulunur. Burada \(a = -5\) ve \(b = 200\)'dir.
• Fiyatı Hesaplama: \(x = \frac{-200}{2 \times (-5)} = \frac{-200}{-10} = 20\).
• Sonuç: Geliştiricinin günlük gelirini maksimize etmek için eşyanın fiyatı 20 TL olmalıdır.

Bu fiyatla elde edilecek maksimum günlük gelir \(G = -5(20)^2 + 200(20) = -5(400) + 4000 = -2000 + 4000 = 2000\) TL olur. 💸

Günlük gelir fonksiyonunu oluşturup maksimize etmeliyiz. 🚌

• Değişkenleri Tanımlama: Bilet fiyatını \(p\) (TL) ve yolcu sayısını \(y\) (kişi) ile gösterelim.
• Verilen Noktalar: İki durumu biliyoruz: (100, 60) ve (110, 55).
• Eğimi Hesaplama: Eğim \(m = \frac{y_2 - y_1}{p_2 - p_1}\).
• Eğimin Hesaplanması: \(m = \frac{55 - 60}{110 - 100} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2}\).
• Yolcu Sayısı Denklemini Yazma: \(y - y_1 = m(p - p_1)\). (100, 60) noktasını ve \(m = -\frac{1}{2}\) eğimini kullanalım: \(y - 60 = -\frac{1}{2}(p - 100)\).
• Yolcu Sayısı Denklemini Düzenleme: \(y - 60 = -\frac{1}{2}p + 50\). Buradan \(y = -\frac{1}{2}p + 110\) elde ederiz.
• Günlük Gelir Fonksiyonunu Tanımlama: Günlük Gelir (\(G\)), bilet fiyatı (\(p\)) ile yolcu sayısı (\(y\)) çarpımıdır: \(G = p \times y\).
• Gelir Fonksiyonunu Sadeleştirme: \(G = p(-\frac{1}{2}p + 110) = -\frac{1}{2}p^2 + 110p\). Bu, ikinci dereceden bir fonksiyondur.
• Geliri Maksimize Etme: Fonksiyon \(G = -\frac{1}{2}p^2 + 110p\) şeklindedir. Tepe noktasının \(p\) koordinatı \(p = \frac{-b}{2a}\) formülüyle bulunur. Burada \(a = -\frac{1}{2}\) ve \(b = 110\)'dur.
• Fiyatı Hesaplama: \(p = \frac{-110}{2 \times (-\frac{1}{2})} = \frac{-110}{-1} = 110\).

Firma, bilet gelirini maksimize etmek için bilet fiyatını 110 TL olarak belirlemelidir. 🎟️

Bu problemi çözmek için fiyat ve satış miktarı arasındaki doğrusal ilişkiyi kullanacağız. ✍️

• Değişkenleri Tanımlama: Fiyatı \(p\) (TL) ve satış miktarını \(q\) (adet) ile gösterelim.
• Verilen Noktalar: İki durumu biliyoruz: (20, 150) ve (25, 125).
• Eğimi Hesaplama: Eğim \(m = \frac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1}\).
• Eğimin Hesaplanması: \(m = \frac{125 - 150}{25 - 20} = \frac{-25}{5} = -5\). Bu, fiyat 1 TL arttığında satışın 5 adet azaldığı anlamına gelir.
• Denklemi Yazma (Nokta-Eğim Formu): \(q - q_1 = m(p - p_1)\). (20, 150) noktasını ve \(m = -5\) eğimini kullanalım: \(q - 150 = -5(p - 20)\).
• Denklemi Düzenleme: \(q - 150 = -5p + 100\). Buradan \(q = -5p + 250\) elde ederiz.
• Satış Miktarını Hesaplama: Fiyat 30 TL olduğunda (\(p = 30\)) satış miktarını bulalım: \(q = -5(30) + 250\).
• Hesaplama: \(q = -150 + 250 = 100\).

Defterin fiyatı 30 TL olduğunda 100 adet defter satılır. 💯