💡 9. Sınıf Matematik: Standart sapma ve ortalama mutlak sapma Çözümlü Örnekler

Bu notların ortalamasını bulmak için tüm notları toplayıp öğrenci sayısına böleriz.

• Toplam not: \( 70 + 80 + 90 + 60 + 100 = 400 \)
• Öğrenci sayısı: 5
• Ortalama: \( \frac{400}{5} = 80 \)

Sınıfın matematik not ortalaması 80'dir. ✅

Ortalama mutlak sapmayı hesaplamak için aşağıdaki adımları izleriz:

• Adım 1: Ortalamayı Bulma (Önceki örnekten ortalama 80'dir.)
• Adım 2: Her Bir Verinin Ortalamadan Farkının Mutlak Değerini Bulma
  • \( |70 - 80| = |-10| = 10 \)
  • \( |80 - 80| = |0| = 0 \)
  • \( |90 - 80| = |10| = 10 \)
  • \( |60 - 80| = |-20| = 20 \)
  • \( |100 - 80| = |20| = 20 \)
• Adım 3: Bulunan Farkların Mutlak Değerlerinin Ortalamasını Alma
  • Toplam fark: \( 10 + 0 + 10 + 20 + 20 = 60 \)
  • Ortalama mutlak sapma: \( \frac{60}{5} = 12 \)

Bu notların ortalama mutlak sapması 12'dir. 👉 Bu değer, notların ortalamadan ortalama ne kadar saptığını gösterir.

Standart sapmayı hesaplamak için adımları takip edelim:

• Adım 1: Ortalamayı Bulma
  • Toplam: \( 10 + 20 + 30 + 40 = 100 \)
  • Veri sayısı: 4
  • Ortalama: \( \frac{100}{4} = 25 \)
• Adım 2: Her Bir Verinin Ortalamadan Farkının Karesini Alma
  • \( (10 - 25)^2 = (-15)^2 = 225 \)
  • \( (20 - 25)^2 = (-5)^2 = 25 \)
  • \( (30 - 25)^2 = (5)^2 = 25 \)
  • \( (40 - 25)^2 = (15)^2 = 225 \)
• Adım 3: Karelerin Ortalamasını Bulma (Varyans)
  • Toplam kare fark: \( 225 + 25 + 25 + 225 = 500 \)
  • Varyans: \( \frac{500}{4} = 125 \)
• Adım 4: Varyansın Karekökünü Alma (Standart Sapma)
  • Standart Sapma: \( \sqrt{125} \)

\( \sqrt{125} \) yaklaşık olarak \( 11.18 \) eder. Bu veri grubunun standart sapması \( \sqrt{125} \)'tir. 📈

Manavın elma fiyatlarındaki değişkenliği anlamak için ortalama ve ortalama mutlak sapmayı hesaplayalım:

• Adım 1: Ortalama Fiyatı Hesaplama
  • Toplam fiyat: \( 3 + 4 + 3 + 5 + 4 + 3 + 4 = 26 \) TL
  • Satılan elma sayısı: 7
  • Ortalama fiyat: \( \frac{26}{7} \approx 3.71 \) TL
• Adım 2: Ortalama Mutlak Sapmayı Hesaplama
  • Her bir fiyatın ortalamadan farkının mutlak değeri:
    • \( |3 - 3.71| \approx 0.71 \)
    • \( |4 - 3.71| \approx 0.29 \)
    • \( |3 - 3.71| \approx 0.71 \)
    • \( |5 - 3.71| \approx 1.29 \)
    • \( |4 - 3.71| \approx 0.29 \)
    • \( |3 - 3.71| \approx 0.71 \)
    • \( |4 - 3.71| \approx 0.29 \)
  • Toplam mutlak fark: \( 0.71 + 0.29 + 0.71 + 1.29 + 0.29 + 0.71 + 0.29 \approx 4.29 \)
  • Ortalama mutlak sapma: \( \frac{4.29}{7} \approx 0.61 \) TL

Yorum: Elmaların ortalama fiyatı yaklaşık 3.71 TL'dir. Ortalama mutlak sapma ise yaklaşık 0.61 TL'dir. Bu, elma fiyatlarının ortalamadan genellikle 0.61 TL civarında saptığını gösterir. Fiyatlar arasındaki değişkenlik orta düzeydedir. 💰

Hangi markanın daha tutarlı olduğunu bulmak için her iki markanın da standart sapmasını hesaplamamız gerekiyor.

A Markası İçin Standart Sapma Hesaplaması:

• Ortalama: \( \frac{100+102+99+101+103}{5} = \frac{505}{5} = 101 \) gram
• Farkların Kareleri:
  • \( (100-101)^2 = (-1)^2 = 1 \)
  • \( (102-101)^2 = (1)^2 = 1 \)
  • \( (99-101)^2 = (-2)^2 = 4 \)
  • \( (101-101)^2 = (0)^2 = 0 \)
  • \( (103-101)^2 = (2)^2 = 4 \)
• Karelerin Ortalaması (Varyans): \( \frac{1+1+4+0+4}{5} = \frac{10}{5} = 2 \)
• Standart Sapma (A): \( \sqrt{2} \approx 1.41 \) gram

B Markası İçin Standart Sapma Hesaplaması:

• Ortalama: \( \frac{98+105+95+102+99}{5} = \frac{500}{5} = 100 \) gram
• Farkların Kareleri:
  • \( (98-100)^2 = (-2)^2 = 4 \)
  • \( (105-100)^2 = (5)^2 = 25 \)
  • \( (95-100)^2 = (-5)^2 = 25 \)
  • \( (102-100)^2 = (2)^2 = 4 \)
  • \( (99-100)^2 = (-1)^2 = 1 \)
• Karelerin Ortalaması (Varyans): \( \frac{4+25+25+4+1}{5} = \frac{59}{5} = 11.8 \)
• Standart Sapma (B): \( \sqrt{11.8} \approx 3.44 \) gram

Sonuç: A markası cipslerin standart sapması (yaklaşık 1.41 gram), B markası cipslerin standart sapmasından (yaklaşık 3.44 gram) daha düşüktür. Bu nedenle, A markası cipslerin ağırlıkları daha tutarlıdır. 📦

Eğer bir veri grubundaki tüm elemanlar birbirine eşitse, bu demektir ki her bir eleman ortalamaya eşittir.

Örneğin, veri grubu 5, 5, 5, 5 olsun.

• Ortalama: \( \frac{5+5+5+5}{4} = \frac{20}{4} = 5 \)
• Her bir elemanın ortalamadan farkı: \( 5 - 5 = 0 \)
• Farkların kareleri: \( 0^2 = 0 \)
• Karelerin ortalaması (Varyans): \( \frac{0+0+0+0}{4} = 0 \)
• Standart Sapma: \( \sqrt{0} = 0 \)

Bu nedenle, bir veri grubundaki tüm elemanlar birbirine eşitse, standart sapma 0'dır. Bu, verilerin hiç dağılmadığı anlamına gelir. 💯

Sporcunun performansındaki dalgalanmayı anlamak için ortalama mutlak sapmayı hesaplayalım:

• Adım 1: Ortalama Basket Sayısını Hesaplama
  • Toplam basket sayısı: \( 15+18+12+20+16+14+17+19+13+16 = 160 \)
  • Antrenman seansı sayısı: 10
  • Ortalama basket sayısı: \( \frac{160}{10} = 16 \)
• Adım 2: Ortalama Mutlak Sapmayı Hesaplama
  • Her bir sayının ortalamadan farkının mutlak değeri:
    • \( |15 - 16| = 1 \)
    • \( |18 - 16| = 2 \)
    • \( |12 - 16| = 4 \)
    • \( |20 - 16| = 4 \)
    • \( |16 - 16| = 0 \)
    • \( |14 - 16| = 2 \)
    • \( |17 - 16| = 1 \)
    • \( |19 - 16| = 3 \)
    • \( |13 - 16| = 3 \)
    • \( |16 - 16| = 0 \)
  • Toplam mutlak fark: \( 1+2+4+4+0+2+1+3+3+0 = 20 \)
  • Ortalama mutlak sapma: \( \frac{20}{10} = 2 \)

Yorum: Sporcunun ortalama basket sayısı 16'dır. Ortalama mutlak sapma ise 2'dir. Bu, sporcunun attığı basket sayısının ortalamadan genellikle 2 sayı civarında saptığını gösterir. Performansındaki günlük dalgalanma orta düzeydedir. 🌟

Bir veri setinin standart sapmasının 0 olması, veri setindeki tüm elemanların birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, verilerde hiçbir değişkenlik veya yayılma yoktur; tüm veriler ortalamanın tam üzerindedir (veya ortalamaya eşittir).

Bu durum, verilerin son derece homojen ve tutarlı olduğunu gösterir.

Örnek Veri Seti:

Diyelim ki bir öğrencinin 5 farklı dersten aldığı notlar şunlardır: 85, 85, 85, 85, 85.

Bu veri setinin standart sapmasını hesaplayalım:

• Adım 1: Ortalamayı Bulma
  • Toplam not: \( 85 \times 5 = 425 \)
  • Ders sayısı: 5
  • Ortalama: \( \frac{425}{5} = 85 \)
• Adım 2: Farkların Karelerini Alma
  • Her bir not ortalamaya eşit olduğu için fark 0'dır: \( (85 - 85)^2 = 0^2 = 0 \)
  • Tüm notlar için bu durum geçerlidir.
• Adım 3: Karelerin Ortalamasını Bulma (Varyans)
  • Toplam kare fark: \( 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)
  • Varyans: \( \frac{0}{5} = 0 \)
• Adım 4: Varyansın Karekökünü Alma (Standart Sapma)
  • Standart Sapma: \( \sqrt{0} = 0 \)

Görüldüğü gibi, tüm notların aynı olması durumunda standart sapma 0 olmuştur. ✅

Kargo şirketinin teslimat performansındaki tutarlılığı değerlendirmek için ortalama ve standart sapmayı hesaplayalım:

• Adım 1: Ortalama Teslimat Süresini Hesaplama
  • Toplam süre: \( 45 + 50 + 48 + 55 + 47 + 52 = 297 \) dakika
  • Gönderi sayısı: 6
  • Ortalama süre: \( \frac{297}{6} = 49.5 \) dakika
• Adım 2: Standart Sapmayı Hesaplama
  • Her bir sürenin ortalamadan farkının karesi:
    • \( (45 - 49.5)^2 = (-4.5)^2 = 20.25 \)
    • \( (50 - 49.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25 \)
    • \( (48 - 49.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25 \)
    • \( (55 - 49.5)^2 = (5.5)^2 = 30.25 \)
    • \( (47 - 49.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25 \)
    • \( (52 - 49.5)^2 = (2.5)^2 = 6.25 \)
  • Toplam kare fark: \( 20.25 + 0.25 + 2.25 + 30.25 + 6.25 + 6.25 = 65.5 \)
  • Varyans: \( \frac{65.5}{6} \approx 10.92 \)
  • Standart Sapma: \( \sqrt{10.92} \approx 3.30 \) dakika

Değerlendirme: Ortalama teslimat süresi 49.5 dakikadır. Standart sapma ise yaklaşık 3.30 dakikadır. Bu, teslimat sürelerinin ortalamadan genellikle 3.30 dakika civarında saptığını gösterir. Standart sapma değeri, teslimat sürelerinde orta düzeyde bir tutarlılık olduğunu belirtir. 📦