📄 9. Sınıf Matematik: Sayma Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bu soruda hem tekrar eden rakamlar (0 ve 2) hem de çift sayı olma şartı vardır. Çift sayı olması için birler basamağı 0 veya 2 olabilir. Bu durumu iki ayrı durumda incelemeliyiz:

Durum 1: Birler basamağı 0 ise
Sayı: _ _ _ 0
Binler basamağı 8 veya 2 olabilir (0 olamaz). 2 seçenek.
Kalan rakamlar (8, 2 ve 0'dan biri) ve diğer rakamlar kullanılarak ortadaki iki basamak doldurulur. Rakamlar tekrar etmediği için kalan 3 rakam 3! = 6 şekilde dizilebilir.
Ancak, binler basamağına 2 koyup, 0'ı ortada kullanırsak ve birler basamağı 0 olursa, bir tekrar durumu oluşur. Bu durumu daha dikkatli ele alalım.

Birler basamağı 0 olduğunda: _ _ _ 0
Kalan rakamlar: 8, 0, 2. Yüzler, onlar, binler basamağı için 3! = 6 farklı diziliş vardır.
Örnekler: 8200, 8020, 2800, 2080, 0820 (bu 3 basamaklı), 0280 (bu 3 basamaklı).
Dolayısıyla, binler basamağı 0 olamayacağı için bu 6 dizilişten kaç tanesi 4 basamaklıdır?
Kalan rakamlar (8, 0, 2) ile oluşturulabilecek 3 basamaklı sayılar: 820, 802, 280, 208, 082 (bu 2 basamaklı), 028 (bu 2 basamaklı).
Demek ki, 8, 0, 2 rakamlarıyla 3! = 6 farklı sıralama yapılırsa, başa 0 gelme durumu (082, 028) 2 tanedir. Bunlar 4 basamaklı sayıyı oluşturmaz.
Bu yüzden, birler basamağı 0 ise, kalan 3 rakam (8, 0, 2) ile 3! = 6 farklı diziliş olur. Ancak binler basamağı 0 olamaz. Kalan 3 rakamın 3! = 6 farklı dizilişi vardır. Bunlardan 0 ile başlayanlar 2 tanedir (028, 082). Dolayısıyla 4 basamaklı sayı sayısı 6 - 2 = 4 tanedir. (8200, 8020, 2800, 2080)

Durum 2: Birler basamağı 2 ise
Sayı: _ _ _ 2
Kalan rakamlar: 8, 0, 0.
Binler basamağı 8 olabilir. Geriye 0, 0 kalır. Ortadaki iki basamak 00 şeklinde olur. Sayı: 8002. (1 sayı)
Binler basamağı 0 olamaz. Bu durumda bu 4 basamaklı sayıyı oluşturmaz.
Şimdi tekrar ele alalım: 8020 sayısının rakamları: 8, 0, 2, 0.

Doğru Yaklaşım: Tekrarlı Permütasyon ile
Toplam 4 rakam var: 8, 0, 2, 0. Tekrar eden rakam: 0 (2 tane).
Toplam 4 basamaklı farklı sayılar: \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 tane.
Bu 12 sayı içinde çift sayılar nelerdir?
Birler basamağı 0 olanlar:
Sayı: _ _ _ 0
Kalan rakamlar: 8, 2, 0. Bunların dizilişi: 3! = 6. Ancak başa 0 gelemez. 0 ile başlayan 2 durum vardır (082, 028). Dolayısıyla 4 basamaklı sayı: 6 - 2 = 4 tane.
(8200, 8020, 2800, 2080)

Birler basamağı 2 olanlar:
Sayı: _ _ _ 2
Kalan rakamlar: 8, 0, 0. Tekrar eden rakam: 0 (2 tane).
Bu 3 rakamı (_ _ _) diziliş sayısı: \frac{3!}{2!} = \frac{6}{2} = 3 tane.
Bu dizilişler: 800, 080, 008. Bunlardan 4 basamaklı sayı oluşturacak olanlar (başa 0 gelmeyenler): Sadece 800.
Dolayısıyla, birler basamağı 2 olan tek bir sayı vardır: 8002.

Toplam çift sayı adedi = (Birler basamağı 0 olanlar) + (Birler basamağı 2 olanlar)
Toplam çift sayı = 4 + 1 = 5.

Cevap: 5 farklı çift doğal sayı yazılabilir.

💡 Çözüm Adımları:

Bu problemde iki aşamalı bir seçim söz konusudur ve çarpma kuralı uygulanır.

Adım 1: 2 kişilik temsilci heyetinin seçilmesi
5 kişilik bir gruptan 2 kişilik bir heyet seçilecektir. Sıralama önemli olmadığı için kombinasyon kullanılır.
Seçim sayısı = C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 farklı şekilde seçilebilir.

Adım 2: Kalan öğrencilerden 1 kişilik başkan seçilmesi
2 kişilik heyet seçildikten sonra geriye 5 - 2 = 3 öğrenci kalır.
Bu 3 öğrenciden 1 kişilik başkan seçilecektir. Sıralama önemli olmadığı için (zaten tek kişi seçiliyor) C(3, 1) şeklinde düşünebiliriz veya doğrudan 3 farklı kişi olduğu için 3 seçenek olduğunu söyleyebiliriz.
Seçim sayısı = C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3 farklı şekilde seçilebilir.

Toplam Farklı Seçim Sayısı
İki adımda yapılan seçimlerin toplam sayısını bulmak için çarpma kuralı uygulanır:
Toplam Seçim = (Temsilci Heyeti Seçim Sayısı) \times (Başkan Seçim Sayısı)
Toplam Seçim = 10 \times 3 = 30 farklı şekilde yapılabilir.

Cevap: Bu seçimler 30 farklı şekilde yapılabilir.

💡 Çözüm Adımları:

Bu soruda iki kısım bulunmaktadır:

Kısım 1: Kaç farklı renk karışımı elde edilebilir?
Burada 4 farklı renkten 2 tanesi seçilecektir. Renklerin karışımı söz konusu olduğu için hangi rengin önce seçildiği önemli değildir. Yani sıralama önemsizdir. Bu nedenle kombinasyon kullanılır.
Karışım sayısı = C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 farklı renk karışımı elde edilebilir.

Kısım 2: Bu 2 renk yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Burada seçilen 2 rengin kendi aralarındaki sıralanışı sorulmaktadır. Örneğin, mavi ve kırmızı renkleri seçildiğinde, mavi-kırmızı veya kırmızı-mavi şeklinde iki farklı sıralama vardır. Seçilen 2 rengin sıralaması önemli olduğu için permütasyon kullanılır.
Seçilen 2 rengin sıralanışı = P(2, 2) = 2! = 2 \times 1 = 2 farklı şekilde sıralanabilir.

Alternatif olarak, bu iki kısmı birleştirerek de düşünebiliriz:
Önce 4 renkten 2'li permütasyonunu alırsak, hem seçimi hem de sıralamayı aynı anda yapmış oluruz.
Sıralı seçim sayısı = P(4, 2) = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \times 3 = 12 farklı sıralı renk ikilisi elde edilir.
Bu 12 sıralı ikilinin her biri, aynı zamanda 6 farklı karışımın her birinin iki farklı sıralanışını temsil eder (12 / 2 = 6).

Cevap: 6 farklı renk karışımı elde edilebilir ve seçilen bu 2 renk yan yana 2 farklı şekilde sıralanabilir.