🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Sayılar ve üçgenler tekrar testleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Sayılar ve üçgenler tekrar testleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir doğal sayının 3 fazlasının 2 katı, aynı sayının 7 katından 1 eksiktir. Bu sayıyı bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- Adım 1: Bilinmeyen sayıyı bir değişkenle temsil edelim. Sayımız \( x \) olsun.
- Adım 2: Soruda verilen ilk ifadeyi matematiksel olarak yazalım: "Bir doğal sayının 3 fazlasının 2 katı" ifadesi \( 2(x+3) \) şeklinde gösterilir.
- Adım 3: Soruda verilen ikinci ifadeyi matematiksel olarak yazalım: "Aynı sayının 7 katından 1 eksik" ifadesi \( 7x - 1 \) şeklinde gösterilir.
- Adım 4: Bu iki ifade birbirine eşit olduğu için denklemi kuralım: \( 2(x+3) = 7x - 1 \)
- Adım 5: Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım:
- Parantezi dağıtalım: \( 2x + 6 = 7x - 1 \)
- \( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \( 6 + 1 = 7x - 2x \)
- Sadeleştirelim: \( 7 = 5x \)
- Her iki tarafı 5'e bölelim: \( x = \frac{7}{5} \)
- Sonuç: Bulduğumuz sayı \( \frac{7}{5} \) 'tir. Ancak soruda "doğal sayı" denildiği için bu soruda bir hata olabilir veya sorunun kurgusu farklı olabilir. Eğer "bir sayının" denilseydi cevap \( \frac{7}{5} \) olurdu. Eğer soruda bir tam sayı kastediliyorsa, sorunun yeniden gözden geçirilmesi gerekebilir. 💡
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \( m(\angle A) = 45^\circ \) ve \( m(\angle B) = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre \( m(\angle C) \) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Üçgenin iç açıları toplamı özelliğini kullanarak bu soruyu kolayca çözebiliriz:
- Adım 1: Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir. Yani, \( m(\angle A) + m(\angle B) + m(\angle C) = 180^\circ \).
- Adım 2: Soruda verilen açı değerlerini denklemde yerine koyalım: \( 45^\circ + 60^\circ + m(\angle C) = 180^\circ \).
- Adım 3: Bilinen açıları toplayalım: \( 105^\circ + m(\angle C) = 180^\circ \).
- Adım 4: \( m(\angle C) \) 'yi bulmak için \( 105^\circ \) 'i denklemin diğer tarafına atalım: \( m(\angle C) = 180^\circ - 105^\circ \).
- Adım 5: Çıkarma işlemini yapalım: \( m(\angle C) = 75^\circ \).
- Sonuç: Bu ABC üçgeninde \( C \) açısının ölçüsü \( 75^\circ \) 'dir. ✅
Örnek 3:
Bir marangoz, elindeki \( 240 \) cm uzunluğundaki bir tahta parçasını, kenar uzunlukları tam sayı olan bir ikizkenar üçgen şeklinde kesmek istiyor. Bu üçgenin çevresi \( 240 \) cm olacağına göre, bu üçgenin kenar uzunlukları kaçar cm olabilir? 📏
Çözüm:
Bu problemde üçgen eşitsizliği ve verilen bilgileri kullanacağız:
- Adım 1: Üçgenin kenar uzunlukları tam sayı ve ikizkenar üçgen olduğu belirtilmiş. İkizkenar üçgenin eşit kenarlarına \( a \) ve farklı kenarına \( b \) diyelim.
- Adım 2: Üçgenin çevresi \( 240 \) cm olarak verilmiş. Bu durumda, \( a + a + b = 240 \) yani \( 2a + b = 240 \) olur.
- Adım 3: Üçgen eşitsizliğini hatırlayalım: Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır.
- \( a + a > b \Rightarrow 2a > b \)
- \( a + b > a \Rightarrow b > 0 \) (Bu zaten kenar uzunluğu olduğu için sağlanır.)
- Adım 4: \( 2a + b = 240 \) denkleminden \( b = 240 - 2a \) elde ederiz. Bu ifadeyi \( 2a > b \) eşitsizliğinde yerine koyalım: \( 2a > 240 - 2a \) \( 4a > 240 \) \( a > 60 \)
- Adım 5: Ayrıca, \( b \) kenar uzunluğu da pozitif olmalı. \( b = 240 - 2a > 0 \) olduğundan, \( 240 > 2a \) ve \( 120 > a \) olur.
- Adım 6: Şimdi \( a \) için olası tam sayı değerlerini belirleyelim. \( a > 60 \) ve \( a < 120 \) olmalı. Yani \( a \) değeri \( 61, 62, \ldots, 119 \) arasında tam sayılar olabilir.
- Adım 7: Bu \( a \) değerlerinden birini seçerek \( b \) değerini bulabiliriz. Örneğin:
- Eğer \( a = 61 \) ise, \( b = 240 - 2(61) = 240 - 122 = 118 \) olur. Kenar uzunlukları \( (61, 61, 118) \). Kontrol: \( 61+61 > 118 \) ( \( 122 > 118 \) ) ve \( 61+118 > 61 \) (sağlanır).
- Eğer \( a = 100 \) ise, \( b = 240 - 2(100) = 240 - 200 = 40 \) olur. Kenar uzunlukları \( (100, 100, 40) \). Kontrol: \( 100+100 > 40 \) ( \( 200 > 40 \) ) ve \( 100+40 > 100 \) (sağlanır).
- Eğer \( a = 119 \) ise, \( b = 240 - 2(119) = 240 - 238 = 2 \) olur. Kenar uzunlukları \( (119, 119, 2) \). Kontrol: \( 119+119 > 2 \) ( \( 238 > 2 \) ) ve \( 119+2 > 119 \) (sağlanır).
- Sonuç: Bu üçgenin kenar uzunlukları, \( a \) değeri \( 61 \) ile \( 119 \) arasındaki herhangi bir tam sayı olmak üzere \( (a, a, 240-2a) \) şeklinde olabilir. Örneğin \( (61, 61, 118) \) veya \( (100, 100, 40) \) gibi. 📌
Örnek 4:
Bir çiftçi, tarlasının bir köşesine ikizkenar üçgen şeklinde bir süs havuzu yapmak istiyor. Havuzun çevresi \( 30 \) metre ve eşit kenarlarından biri \( 12 \) metre olacak. Buna göre havuzun taban kenarının uzunluğu kaç metre olur? 💧
Çözüm:
Bu, ikizkenar üçgenin temel özelliklerini kullanarak çözebileceğimiz basit bir problemdir:
- Adım 1: İkizkenar üçgenin iki kenarı birbirine eşittir. Soruda eşit kenarlarından birinin \( 12 \) metre olduğu belirtilmiş.
- Adım 2: Bu durumda, ikizkenar üçgenin eşit kenarları \( 12 \) metre ve \( 12 \) metredir.
- Adım 3: Üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Çevre \( 30 \) metre olarak verilmiş.
- Adım 4: Çevre formülünü yazalım: \( \text{Eşit Kenar 1} + \text{Eşit Kenar 2} + \text{Taban Kenarı} = \text{Çevre} \).
- Adım 5: Bilinen değerleri yerine koyalım: \( 12 \, \text{m} + 12 \, \text{m} + \text{Taban Kenarı} = 30 \, \text{m} \).
- Adım 6: Eşit kenarları toplayalım: \( 24 \, \text{m} + \text{Taban Kenarı} = 30 \, \text{m} \).
- Adım 7: Taban kenarını bulmak için \( 24 \) metreyi denklemin diğer tarafına atalım: \( \text{Taban Kenarı} = 30 \, \text{m} - 24 \, \text{m} \).
- Adım 8: Çıkarma işlemini yapalım: \( \text{Taban Kenarı} = 6 \, \text{m} \).
- Sonuç: Havuzun taban kenarının uzunluğu \( 6 \) metredir. 🏞️
Örnek 5:
Bir üçgenin kenar uzunlukları \( x \), \( x+2 \) ve \( x+4 \) cm'dir. Bu üçgenin çevresi \( 48 \) cm olduğuna göre, \( x \) değeri kaçtır? 📏
Çözüm:
Bu soruyu, üçgenin çevresi tanımını kullanarak çözebiliriz:
- Adım 1: Bir üçgenin çevresi, üç kenarının uzunlukları toplamına eşittir.
- Adım 2: Soruda verilen kenar uzunlukları \( x \), \( x+2 \) ve \( x+4 \) cm'dir.
- Adım 3: Çevrenin \( 48 \) cm olduğu bilgisi verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak bir denklem oluşturalım: \( x + (x+2) + (x+4) = 48 \).
- Adım 4: Denklemi sadeleştirelim. Benzer terimleri bir araya toplayalım: \( (x+x+x) + (2+4) = 48 \).
- Adım 5: Sadeleştirilmiş denklem \( 3x + 6 = 48 \) olur.
- Adım 6: \( x \) değerini bulmak için denklemi çözelim. Önce sabit terimi diğer tarafa atalım: \( 3x = 48 - 6 \).
- Adım 7: Çıkarma işlemini yapalım: \( 3x = 42 \).
- Adım 8: Her iki tarafı \( 3 \) 'e bölelim: \( x = \frac{42}{3} \).
- Adım 9: Bölme işlemini yapalım: \( x = 14 \).
- Sonuç: Bu üçgenin \( x \) değeri \( 14 \) cm'dir. Kenar uzunlukları \( 14 \) cm, \( 16 \) cm ve \( 18 \) cm'dir. (Kontrol: \( 14+16+18 = 48 \)) 👍
Örnek 6:
Bir üçgenin iç açıları \( 2x \), \( 3x \) ve \( 4x \) derece olarak verilmiştir. Buna göre bu üçgenin en uzun kenarının karşısındaki açının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu, üçgenin iç açıları toplamı ve kenar-açı ilişkisini kullanarak çözeceğiz:
- Adım 1: Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı \( 180^\circ \) dir.
- Adım 2: Soruda verilen açıları toplayıp \( 180^\circ \) 'ye eşitleyelim: \( 2x + 3x + 4x = 180^\circ \).
- Adım 3: Denklemi sadeleştirelim: \( 9x = 180^\circ \).
- Adım 4: \( x \) değerini bulmak için her iki tarafı \( 9 \) 'a bölelim: \( x = \frac{180^\circ}{9} \).
- Adım 5: Bölme işlemini yapalım: \( x = 20^\circ \).
- Adım 6: Şimdi üçgenin açılarını hesaplayalım:
- Birinci açı: \( 2x = 2 \times 20^\circ = 40^\circ \)
- İkinci açı: \( 3x = 3 \times 20^\circ = 60^\circ \)
- Üçüncü açı: \( 4x = 4 \times 20^\circ = 80^\circ \)
- Adım 7: Üçgenin açıları \( 40^\circ \), \( 60^\circ \) ve \( 80^\circ \) 'dir.
- Adım 8: Bir üçgende en uzun kenarın karşısındaki açı en büyüktür. Açıları karşılaştırdığımızda en büyük açı \( 80^\circ \) 'dir.
- Sonuç: Bu üçgenin en uzun kenarının karşısındaki açının ölçüsü \( 80^\circ \) 'dir. ⭐
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken ikizkenar bir üçgen şeklinde bir alan oluşturuyor. Bu üçgenin taban kenarı \( 10 \) metre ve eşit kenarlarından her biri \( 13 \) metredir. Mühendisin bu üçgen alana kaç metrekare çimento dökmesi gerektiğini hesaplamak için hangi bilgiye ihtiyacı vardır? 🏗️
Çözüm:
Bu problemde, bir üçgenin alanını hesaplamak için gereken temel bilgiyi sorguluyoruz:
- Adım 1: Üçgenin kenar uzunlukları verilmiş: Taban \( 10 \) m, eşit kenarlar \( 13 \) m.
- Adım 2: Bir üçgenin alan formülü genellikle \( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \) şeklindedir.
- Adım 3: Soruda taban uzunluğu \( 10 \) m olarak verilmiş.
- Adım 4: Alanı hesaplamak için bu tabana ait yüksekliği bilmemiz gerekmektedir.
- Adım 5: İkizkenar üçgende, tabana indirilen yükseklik aynı zamanda tabanı iki eşit parçaya böler ve bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgenin hipotenüsü \( 13 \) m (eşit kenar), bir dik kenarı \( 5 \) m (tabanın yarısı) ve diğer dik kenarı da üçgenin yüksekliği olacaktır. Pisagor teoremi ile bu yükseklik bulunabilir ( \( 13^2 = 5^2 + h^2 \Rightarrow 169 = 25 + h^2 \Rightarrow h^2 = 144 \Rightarrow h = 12 \) m).
- Adım 6: Yüksekliği bulduğumuza göre, alanı hesaplayabiliriz: \( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 10 \, \text{m} \times 12 \, \text{m} = 60 \, \text{m}^2 \).
- Sonuç: İnşaat mühendisinin çimento dökmesi gereken alan \( 60 \) metrekaredir. Alanı hesaplamak için taban uzunluğu ve bu tabana ait yükseklik bilgisine ihtiyaç vardır. Bu soruda bu bilgiler dolaylı olarak verilmiş olsa da, genel olarak alan hesaplaması için bu iki temel unsura bakılır. 💡
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde, \( m(\angle A) = 50^\circ \) ve \( m(\angle B) = 70^\circ \) ise, \( m(\angle C) \) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Bu soruyu, üçgenin iç açıları toplamı özelliğini kullanarak çözeceğiz:
- Adım 1: Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olmalıdır.
- Adım 2: Verilen açıları toplayalım: \( m(\angle A) + m(\angle B) = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ \).
- Adım 3: Üçüncü açıyı bulmak için toplam açıdan bilinen açıların toplamını çıkaralım: \( m(\angle C) = 180^\circ - 120^\circ \).
- Adım 4: Çıkarma işlemini yapalım: \( m(\angle C) = 60^\circ \).
- Sonuç: \( C \) açısının ölçüsü \( 60^\circ \) 'dir. ✅
Örnek 9:
Bir bisiklet tamircisi, bir bisikletin ön tekerleğini tamir ederken, tekerleğin merkezinden çıkan iki telin oluşturduğu açının \( 120^\circ \) olduğunu fark ediyor. Bu iki telin birleştiği noktadan tekerleğin dışına doğru uzanan üçüncü bir tel, bu \( 120^\circ \) 'lik açıyı ortadan ikiye ayırıyor. Bu üçüncü telin tekerleğin dışına doğru oluşturduğu açı kaç derecedir? 🚴
Çözüm:
Bu problemde, açının ortalanması (açıortay) kavramını kullanacağız:
- Adım 1: Soruda verilen ana açı \( 120^\circ \) 'dir.
- Adım 2: Üçüncü bir telin bu \( 120^\circ \) 'lik açıyı ortadan ikiye ayırdığı belirtiliyor.
- Adım 3: Bir açıyı ortadan ikiye ayırmak, açıyı iki eşit parçaya bölmek anlamına gelir.
- Adım 4: Bu durumda, \( 120^\circ \) 'lik açıyı \( 2 \) 'ye bölmeliyiz: \( \frac{120^\circ}{2} \).
- Adım 5: Bölme işlemini yapalım: \( 60^\circ \).
- Sonuç: Bu üçüncü telin tekerleğin dışına doğru oluşturduğu açı \( 60^\circ \) 'dir. Bu, bisikletin tekerleğinin merkezindeki açıların bir parçasıdır. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-sayilar-ve-ucgenler-tekrar-testleri/sorular