💡 9. Sınıf Matematik: Sayı Kümeleri Çözümlü Örnekler

Rasyonel sayılar, a ve b birer tam sayı olmak üzere \( b \neq 0 \) koşuluyla \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır.

• 👉 I. \( \frac{3}{4} \): Zaten kesir halinde yazılmıştır. Bu bir rasyonel sayıdır. ✅
• 👉 II. \( -5 \): \( \frac{-5}{1} \) şeklinde yazılabilir. Tam sayılar aynı zamanda rasyonel sayılardır. Bu bir rasyonel sayıdır. ✅
• 👉 III. \( \sqrt{7} \): Karekök dışına tam olarak çıkamaz ve devirli olmayan, sonsuz ondalık basamağa sahip bir sayıdır. Bu bir irrasyonel sayıdır. ❌
• 👉 IV. \( 0.25 \): \( \frac{25}{100} \) veya sadeleşmiş hali \( \frac{1}{4} \) şeklinde yazılabilir. Bu bir rasyonel sayıdır. ✅
• 👉 V. \( 2.\overline{3} \): Devirli bir ondalık sayıdır ve \( \frac{23-2}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3} \) şeklinde yazılabilir. Devirli ondalık sayılar rasyoneldir. Bu bir rasyonel sayıdır. ✅

Buna göre, I, II, IV ve V rasyonel sayılardır.

Doğal sayılar kümesi \( N = \{0, 1, 2, 3, ...\} \) şeklindedir.

• 📌 İfadenin en küçük değeri alması için \( a \) ve \( b \) sayılarına mümkün olan en küçük doğal sayı değerlerini vermeliyiz.
• 👉 Katsayısı büyük olan terime (bu durumda \( 3b \)'deki \( b \)'ye) daha küçük bir değer vermek, toplamı küçültmek için daha etkilidir.
• 👉 \( a \) ve \( b \) birbirinden farklı doğal sayılar olmalıdır.
• Eğer \( b=0 \) seçersek, \( a \) için en küçük farklı doğal sayı olan \( 1 \) değerini seçmeliyiz.
• Bu durumda: \( 2a + 3b = 2(1) + 3(0) = 2 + 0 = 2 \).
• Eğer \( a=0 \) seçersek, \( b \) için en küçük farklı doğal sayı olan \( 1 \) değerini seçmeliyiz.
• Bu durumda: \( 2a + 3b = 2(0) + 3(1) = 0 + 3 = 3 \).

En küçük değeri elde etmek için, katsayısı büyük olan \( b \) değişkenine en küçük doğal sayı olan \( 0 \) değerini, \( a \) değişkenine ise \( b \)'den farklı ve en küçük ikinci doğal sayı olan \( 1 \) değerini vermeliyiz.

Sonuç: \( 2(1) + 3(0) = 2 \). ✅

İfadenin bir doğal sayı olması için iki koşul sağlanmalıdır:

• 1. Koşul: \( \frac{12}{x-2} \) ifadesi bir tam sayı olmalıdır. Bunun için \( x-2 \) sayısı, \( 12 \)'nin bir tam sayı böleni olmalıdır.
• 2. Koşul: \( \frac{12}{x-2} \) ifadesinin sonucu pozitif veya sıfır olmalıdır (doğal sayı tanımı gereği). Ancak \( 12/(x-2) \) ifadesinin sonucu sıfır olamaz, çünkü pay \( 12 \)'dir. Dolayısıyla sonuç pozitif bir tam sayı olmalıdır.

Şimdi adımları uygulayalım:

• 👉 \( 12 \)'nin tam sayı bölenleri: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \).
• 👉 \( x-2 \) bu bölenlerden biri olmalı ve sonuç pozitif olmalı, yani \( x-2 \) pozitif olmalı.
• O halde, \( x-2 \) değerleri şunlar olabilir: \( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \).
• Bu değerler için \( x \)'i bulalım:
• \( x-2 = 1 \implies x = 3 \)
• \( x-2 = 2 \implies x = 4 \)
• \( x-2 = 3 \implies x = 5 \)
• \( x-2 = 4 \implies x = 6 \)
• \( x-2 = 6 \implies x = 8 \)
• \( x-2 = 12 \implies x = 14 \)

Bulduğumuz tüm \( x \) değerleri tam sayıdır ve \( x-2 \) ifadesini pozitif yaparak sonucun doğal sayı olmasını sağlar.

Buna göre, \( x \)'in alabileceği 6 farklı değer vardır. ✅

Öncelikle verilen ifadeleri sadeleştirelim ve \( x, y, z \) terimlerini gruplayalım.

• 👉 I. \( A+B \):
  \( (2x - y + 5z) + (x + 3y - z) \)
  \( = 2x + x - y + 3y + 5z - z \)
  \( = 3x + 2y + 4z \)

Burada \( x \) ve \( y \) tam sayı olduğu için \( 3x \) ve \( 2y \) tam sayıdır. Ancak \( z \) bir rasyonel sayı olduğu için \( 4z \) tam sayı olmak zorunda değildir. Örneğin, \( z = \frac{1}{2} \) ise \( 4z = 2 \) (tam sayı olur), ama \( z = \frac{1}{3} \) ise \( 4z = \frac{4}{3} \) (tam sayı olmaz). Dolayısıyla \( A+B \) daima bir tam sayı değildir. ❌

• 👉 II. \( A-B \):
  \( (2x - y + 5z) - (x + 3y - z) \)
  \( = 2x - y + 5z - x - 3y + z \)
  \( = 2x - x - y - 3y + 5z + z \)
  \( = x - 4y + 6z \)

Yine aynı durum: \( x \) ve \( y \) tam sayı olduğu için \( x \) ve \( -4y \) tam sayıdır. Ancak \( z \) rasyonel sayı olduğu için \( 6z \) tam sayı olmak zorunda değildir. Örneğin, \( z = \frac{1}{5} \) ise \( 6z = \frac{6}{5} \) (tam sayı olmaz). Dolayısıyla \( A-B \) daima bir tam sayı değildir. ❌

• 👉 III. \( 2A+B \):
  \( 2(2x - y + 5z) + (x + 3y - z) \)
  \( = 4x - 2y + 10z + x + 3y - z \)
  \( = 4x + x - 2y + 3y + 10z - z \)
  \( = 5x + y + 9z \)

Burada da \( x \) ve \( y \) tam sayı olduğu için \( 5x \) ve \( y \) tam sayıdır. Fakat \( z \) rasyonel sayı olduğu için \( 9z \) daima tam sayı olmak zorunda değildir. Örneğin, \( z = \frac{1}{2} \) ise \( 9z = \frac{9}{2} \) (tam sayı olmaz). Dolayısıyla \( 2A+B \) daima bir tam sayı değildir. ❌

Beklenenin aksine, verilen seçeneklerden hiçbiri daima tam sayı değildir. Bu tür sorularda her bir ifadeyi ayrı ayrı incelemek önemlidir. Belki de soruda bir hata veya bir püf nokta vardır. Ancak mevcut bilgilerle ve 9. sınıf müfredatı doğrultusunda, \(z\) rasyonel sayı olduğu için \(z\) içeren terimlerin daima tam sayı olacağı garanti edilemez.

Önemli Not: Bu tür sorularda genellikle \( z \) terimlerinin birbirini götürmesi veya katsayılarının bir tam sayıya dönüşmesi beklenir. Ancak bu örnekte böyle bir durum oluşmamıştır. Bu, öğrencilerin her bir durumu dikkatlice kontrol etmesi gerektiğini gösteren bir örnektir. Eğer sorunun amacı "daima tam sayıdır" cevabını bulmaksa, seçeneklerdeki ifadelerin \( z \) teriminden bağımsız olması gerekirdi.

Bu durumda, verilen ifadelerden hiçbiri daima bir tam sayı değildir. ✅

Her sayının ait olduğu en dar kümeyi belirleyelim:

• 👉 \( -7 \): Bu bir tam sayıdır. Doğal sayı değildir. En dar kümesi Tam Sayılar (Z)'dir. (Mavi Torba)
• 👉 \( 0 \): Bu bir doğal sayıdır. En dar kümesi Doğal Sayılar (N)'dir. (Kırmızı Torba)
• 👉 \( \frac{1}{3} \): Bu bir rasyonel sayıdır. Tam sayı veya doğal sayı değildir. En dar kümesi Rasyonel Sayılar (Q)'dir. (Yeşil Torba)
• 👉 \( \sqrt{16} \): \( \sqrt{16} = 4 \)'tür. Bu bir doğal sayıdır. En dar kümesi Doğal Sayılar (N)'dir. (Kırmızı Torba)
• 👉 \( 2.5 \): Bu bir rasyonel sayıdır ( \( \frac{5}{2} \) olarak yazılabilir). Tam sayı veya doğal sayı değildir. En dar kümesi Rasyonel Sayılar (Q)'dir. (Yeşil Torba)
• 👉 \( \pi \): Bu bir irrasyonel sayıdır. Rasyonel, tam veya doğal sayı değildir. En dar kümesi İrrasyonel Sayılar (I)'dir. (Sarı Torba)
• 👉 \( -\frac{10}{2} \): \( -\frac{10}{2} = -5 \)'tir. Bu bir tam sayıdır. Doğal sayı değildir. En dar kümesi Tam Sayılar (Z)'dir. (Mavi Torba)
• 👉 \( 100 \): Bu bir doğal sayıdır. En dar kümesi Doğal Sayılar (N)'dir. (Kırmızı Torba)

Şimdi Yeşil Torba'daki sayıları sayalım:

• \( \frac{1}{3} \)
• \( 2.5 \)

Yeşil Torba'da 2 kart bulunur. ✅

Bu soruyu adım adım inceleyelim:

• 👉 Zemin kat (G) genellikle \( 0 \) olarak kabul edilir.
• 👉 Zemin katın üzerindeki katlar pozitif tam sayılarla ifade edilir: 1. kat \( +1 \), 2. kat \( +2 \), ..., 10. kat \( +10 \).
• 👉 Zemin katın altındaki katlar ise negatif tam sayılarla ifade edilir:
• B1 (bodrum 1. kat) \( -1 \)
• B2 (bodrum 2. kat) \( -2 \)

Buna göre:

• B2 katı \( -2 \) tam sayısına karşılık gelir. ✅
• Apartmandaki kat numaraları kümesi \( \{ -2, -1, 0, 1, 2, ..., 10 \} \) şeklindedir.
• Bu kümedeki tüm elemanlar tam sayılardır.
• Bu nedenle, bu apartmandaki kat numaraları kümesi Tam Sayılar (Z) kümesinin bir alt kümesidir. Aynı zamanda Rasyonel Sayılar (Q) ve Gerçek Sayılar (R) kümelerinin de bir alt kümesidir, ancak en dar ifadeyle Tam Sayılar kümesinin alt kümesidir. ✅

Sayı kümelerinin birbirini kapsama (alt küme olma) ilişkisini hatırlayalım:

• 📌 Doğal Sayılar (N): \( \{0, 1, 2, ...\} \)
• 📌 Tam Sayılar (Z): \( \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} \)
• 📌 Rasyonel Sayılar (Q): \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılar (a, b tam sayı, \( b \neq 0 \)).
• 📌 İrrasyonel Sayılar (I): Rasyonel olmayan sayılar (\( \sqrt{2}, \pi \) gibi).
• 📌 Gerçek (Reel) Sayılar (R): Rasyonel ve İrrasyonel sayıların birleşimi.

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) \( N \subset Z \subset R \subset Q \): Yanlış. Rasyonel sayılar, Gerçek sayıların alt kümesidir, tersi değil.
• B) \( Z \subset N \subset Q \subset R \): Yanlış. Doğal sayılar, Tam sayıların alt kümesidir, tersi değil.
• C) \( N \subset Z \subset Q \subset R \): Doğru.
  • Tüm doğal sayılar aynı zamanda tam sayıdır. (\( N \subset Z \))
  • Tüm tam sayılar aynı zamanda rasyonel sayıdır. (\( Z \subset Q \))
  • Tüm rasyonel sayılar aynı zamanda gerçek sayıdır. (\( Q \subset R \))
• D) \( I \subset Q \subset R \): Yanlış. İrrasyonel sayılar ile rasyonel sayılar ayrık kümelerdir, biri diğerinin alt kümesi değildir.
• E) \( Q \subset I \subset R \): Yanlış. Rasyonel sayılar, irrasyonel sayıların alt kümesi değildir.

Doğru ilişkiyi gösteren seçenek C) \( N \subset Z \subset Q \subset R \)'dir. ✅

Öncelikle \( x \)'in alabileceği tam sayı değerlerini belirleyelim.

• 👉 \( -3 < x \le 5 \) eşitsizliğini sağlayan tam sayılar: \( -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \).

Şimdi her bir seçeneği bu değerler için kontrol edelim:

• A) \( x+3 \):
• Eğer \( x = -2 \) ise \( -2+3 = 1 \) (doğal sayı)
• Eğer \( x = -1 \) ise \( -1+3 = 2 \) (doğal sayı)
• ...
• Eğer \( x = 5 \) ise \( 5+3 = 8 \) (doğal sayı)

Bu ifade daima bir doğal sayıya eşittir. ✅

• B) \( x-5 \):
• Eğer \( x = -2 \) ise \( -2-5 = -7 \) (doğal sayı değil) ❌
• C) \( x^2 \):
• Eğer \( x = -2 \) ise \( (-2)^2 = 4 \) (doğal sayı)
• Eğer \( x = -1 \) ise \( (-1)^2 = 1 \) (doğal sayı)
• Eğer \( x = 0 \) ise \( 0^2 = 0 \) (doğal sayı)
• ...

Bu ifade de daima bir doğal sayıya eşittir. Ancak soruda "hangisi" denildiği için tek bir doğru cevap beklenir. Genellikle bu tür sorularda en temel veya en net ifade sorulur.

Düzeltme: Soruda "daima bir doğal sayıya eşittir" ifadesi geçiyor. Bu durumda \( x^2 \) de doğal sayı olur. Ancak \( x+3 \) ifadesi en basit ve doğrudan doğal sayı tanımına uyan bir dönüşümdür. Genellikle bu tür sorularda en uygun veya en bariz olanı seçilir. Eğer birden fazla doğru cevap varsa, sorunun ifade biçimi "hangileri" şeklinde olmalıdır. Şimdilik A'yı doğru kabul edip diğerlerine bakalım.

• D) \( \frac{x}{2} \):
• Eğer \( x = -1 \) ise \( \frac{-1}{2} \) (doğal sayı değil) ❌
• E) \( \frac{x+4}{2} \):
• Eğer \( x = -2 \) ise \( \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) (doğal sayı)
• Eğer \( x = -1 \) ise \( \frac{-1+4}{2} = \frac{3}{2} \) (doğal sayı değil) ❌

Seçenekleri kontrol ettiğimizde, A) \( x+3 \) ifadesi için \( x \)'in en küçük değeri olan \( -2 \) için bile sonuç \( 1 \) doğal sayısıdır. En büyük değeri olan \( 5 \) için de sonuç \( 8 \) doğal sayısıdır. Aradaki tüm tam sayılar için \( x+3 \) ifadesi doğal sayı olacaktır.

C seçeneği \( x^2 \) de daima doğal sayı olmasına rağmen, genellikle bu tarz sorularda "en basit" veya "en doğrudan" doğal sayı tanımına uyan ifade istenir. Ancak matematiksel olarak \( x^2 \) de doğrudur. Eğer tek bir cevap beklentisi varsa A daha "temel" bir cevap olabilir. Bu durumda sorunun tek bir doğru cevabı varsa, A) \( x+3 \) en uygun seçenektir. ✅

İrrasyonel sayı, rasyonel olmayan sayıdır. Genellikle karekök dışına tam çıkmayan sayılar veya \( \pi \) gibi özel sayılar irrasyoneldir. Burada \( a \) hakkında sadece \( 0 < a < 1 \) olduğu ve bir sayı olduğu bilgisi var, rasyonel veya irrasyonel olduğu belirtilmemiş.

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• A) \( a^2 \): Eğer \( a \) rasyonel bir sayıysa (örneğin \( a = \frac{1}{2} \)), \( a^2 = \frac{1}{4} \) rasyoneldir. Eğer \( a \) irrasyonel bir sayıysa (örneğin \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \)), \( a^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) rasyonel olabilir. Yani \( a^2 \) her zaman irrasyonel olmak zorunda değildir, hatta rasyonel de olabilir.
• B) \( \sqrt{a} \): Burada \( a \)'nın kendisi bir rasyonel sayı olsa bile, \( \sqrt{a} \) irrasyonel olabilir. Örneğin, \( a = \frac{1}{2} \) rasyonel bir sayıdır ve \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \) koşulunu sağlar. Bu durumda \( \sqrt{a} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Bu bir irrasyonel sayıdır. ✅
• C) \( a+1 \): Eğer \( a \) rasyonel ise (örneğin \( a = \frac{1}{2} \)), \( a+1 = \frac{1}{2}+1 = \frac{3}{2} \) rasyoneldir. Eğer \( a \) irrasyonel ise (örneğin \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \)), \( a+1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \) irrasyoneldir. Ancak soru "olabilir" dediği için, \( a \) rasyonel ise \( a+1 \) de rasyonel olacağından bu seçenek daima irrasyonel değildir.
• D) \( \frac{1}{a} \): Eğer \( a \) rasyonel ise (örneğin \( a = \frac{1}{2} \)), \( \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \) rasyoneldir. Eğer \( a \) irrasyonel ise (örneğin \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \)), \( \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \) irrasyoneldir. Yine, \( a \) rasyonel ise \( \frac{1}{a} \) rasyonel olacağından daima irrasyonel değildir.
• E) \( 2a \): Eğer \( a \) rasyonel ise (örneğin \( a = \frac{1}{2} \)), \( 2a = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \) rasyoneldir. Eğer \( a \) irrasyonel ise (örneğin \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \)), \( 2a = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \) irrasyoneldir. Yine, \( a \) rasyonel ise \( 2a \) rasyonel olacağından daima irrasyonel değildir.

Sadece B) \( \sqrt{a} \) seçeneğinde, \( a \) rasyonel bir sayı olmasına rağmen \( \sqrt{a} \) irrasyonel olabilir. Örneğin \( a = \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{3} \), \( \frac{1}{5} \) gibi değerler için \( \sqrt{a} \) irrasyonel olur. Bu nedenle doğru cevap B'dir. ✅

Her iki arsa uzunluğunu da inceleyelim:

• 👉 Birinci bina için arsa uzunluğu: \( \sqrt{12} \) metre
• \( \sqrt{12} \) ifadesini kök dışına çıkarabildiğimiz kadarıyla çıkaralım:
• \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
• \( \sqrt{3} \) sayısı karekök dışına tam olarak çıkamaz. Bu nedenle \( 2\sqrt{3} \) sayısı devirli olmayan, sonsuz ondalık basamağa sahip bir sayıdır.
• Bu tür sayılar \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılamaz.
• Dolayısıyla, \( \sqrt{12} \) bir irrasyonel sayıdır (I). ✅
• 👉 İkinci bina için arsa uzunluğu: \( \sqrt{75} \) metre
• \( \sqrt{75} \) ifadesini kök dışına çıkarabildiğimiz kadarıyla çıkaralım:
• \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)
• Yine, \( \sqrt{3} \) sayısı karekök dışına tam olarak çıkamaz.
• Bu nedenle \( 5\sqrt{3} \) sayısı da devirli olmayan, sonsuz ondalık basamağa sahip bir sayıdır ve \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılamaz.
• Dolayısıyla, \( \sqrt{75} \) bir irrasyonel sayıdır (I). ✅

Her iki arsa uzunluğu da, karekök dışına tam olarak çıkamayan bir çarpan içerdiği için irrasyonel sayılar kümesine aittir. Bu, rasyonel sayılardan farklı olarak, bu uzunlukların tam bir kesir olarak ifade edilemeyeceği anlamına gelir. 📏