💡 9. Sınıf Matematik: Reel Sayıların Köklü Gösterimleri ve İşlemleri Çözümlü Örnekler

Köklü sayılar, üslü sayıların farklı bir gösterim biçimidir. Bir sayının kesirli üssü, o sayının köklü ifadesine karşılık gelir. Genel kural şöyledir: \( a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} \). 1. \( 5^3 \) ifadesini köklü olarak yazmak için üssü \( 3/1 \) şeklinde düşünebiliriz. Bu durumda \( n=1 \) ve \( m=3 \) olur. Ancak \( \sqrt[1]{a} \) gösterimi yerine doğrudan \( a \) olarak yazılır. Bu nedenle \( 5^3 \) zaten tam sayıdır ve köklü gösterimi \( \sqrt[1]{5^3} \) şeklinde olsa da genellikle bu şekilde yazılmaz. Eğer \( 5^{3/1} \) şeklinde düşünülürse, bu \( \sqrt[1]{5^3} \) olur ki bu da \( 5^3 \) demektir. Ancak soruda kastedilen muhtemelen kesirli üslerdir. Eğer \( 5^3 \) olarak bırakılırsa köklü gösterimi olmaz. Eğer \( 5^{3/1} \) olarak düşünülürse, bu \( \sqrt[1]{5^3} \) olur. 2. \( x^{1/2} \) ifadesinde \( m=1 \) ve \( n=2 \) dir. Bu durumda: * \( x^{1/2} = \sqrt[2]{x^1} \) Karekök gösteriminde kökün derecesi (2) yazılmadığı için bu ifade \( \sqrt{x} \) şeklinde gösterilir. 👉 Karekök*, derecesi 2 olan köktür. 3. \( (a+b)^{2/3} \) ifadesinde tabanımız \( (a+b) \), üssümüz \( 2/3 \) tür. Burada \( m=2 \) ve \( n=3 \) tür. * \( (a+b)^{2/3} = \sqrt[3]{(a+b)^2} \) * Bu ifade, \( (a+b) \) sayısının küp köküdür ve kök içindeki kuvveti 2'dir. Özetle: * \( 5^3 \) : Bu zaten bir tam sayıdır, köklü gösterimi \( \sqrt[1]{5^3} \) olur ama bu gösterim kullanılmaz. * \( x^{1/2} = \sqrt{x} \) * \( (a+b)^{2/3} = \sqrt[3]{(a+b)^2} \)

Köklü ifadelerin değerini hesaplarken, kökün derecesini göz önünde bulundurarak, kök içindeki sayının o dereceye kadar kuvvetini alabileceğimiz bir tam sayı ararız. 1. \( \sqrt{36} \) : Bu bir karekök olduğu için, hangi sayının karesinin 36 olduğunu bulmalıyız. * \( 6 \times 6 = 36 \) olduğundan, \( 6^2 = 36 \) dır. * Dolayısıyla, \( \sqrt{36} = 6 \) olur. ✅ 2. \( \sqrt[3]{27} \) : Bu bir küp köküdür. Hangi sayının küpünün 27 olduğunu bulmalıyız. * \( 3 \times 3 \times 3 = 27 \) olduğundan, \( 3^3 = 27 \) dir. * Dolayısıyla, \( \sqrt[3]{27} = 3 \) olur. 💡 3. \( \sqrt[4]{16} \) : Bu dördüncü dereceden bir köktür. Hangi sayının dördüncü kuvvetinin 16 olduğunu bulmalıyız. * \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \) olduğundan, \( 2^4 = 16 \) dır. * Dolayısıyla, \( \sqrt[4]{16} = 2 \) olur.

Bir köklü ifadeyi sadeleştirmek için, kök içindeki sayının tam kare çarpanlarını dışarı çıkarmamız gerekir. 1. Kök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırın: \( 72 \) sayısını çarpanlarına ayıralım. Amacımız, çarpanlardan birinin tam kare olmasıdır. * \( 72 = 2 \times 36 \) * Burada \( 36 \) sayısı bir tam karedir, çünkü \( 36 = 6^2 \) dir. 2. Tam kare çarpanı kök dışına çıkarın: Kural gereği, \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) dir. * \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} \) * \( \sqrt{72} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \) 3. Tam kareyi hesaplayın: \( \sqrt{36} = 6 \) dır. * \( \sqrt{72} = 6 \times \sqrt{2} \) * Bu ifade genellikle \( 6\sqrt{2} \) şeklinde yazılır. Sonuç olarak, \( \sqrt{72} \) ifadesinin sadeleştirilmiş hali \( 6\sqrt{2} \) dir. 👉 Bu işlemde, kök içindeki sayının en büyük tam kare çarpanını bulmak önemlidir.

Bir sayıyı kök içine alırken, kökün derecesini göz önünde bulundururuz. Eğer sayının önünde bir katsayı varsa, bu katsayı kökün derecesi kadar kuvveti alınarak kök içine girer. 1. Katsayıyı kökün derecesi kadar kuvveti alınarak kök içine alın: * İfade \( 3\sqrt{5} \) şeklindedir. Burada \( \sqrt{5} \) karekök olduğu için kökün derecesi 2'dir. * Katsayı olan \( 3 \) ü kök içine alırken karesini alırız: \( 3^2 = 9 \). 2. Katsayıyı kök içindeki sayıyla çarpın: * \( 3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \times 5} \) * \( 3\sqrt{5} = \sqrt{9 \times 5} \) * \( 3\sqrt{5} = \sqrt{45} \) Sonuç olarak, \( 3\sqrt{5} \) ifadesinin kök içine alınmış hali \( \sqrt{45} \) dir. 💡 Bu işlem, köklü ifadeleri toplama veya çıkarma gibi işlemlerde aynı köke getirmek için kullanılır.

Köklü ifadeleri toplamak veya çıkarmak için, kök içindeki sayıların aynı olması gerekir. Eğer aynı değilse, önce sadeleştirme işlemi yaparak aynı köke getirmeye çalışırız. 1. Her bir köklü ifadeyi sadeleştirin: * \( \sqrt{18} \): \( 18 = 9 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \) olur. * \( \sqrt{50} \): \( 50 = 25 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) olur. 2. Sadeleştirilmiş ifadeleri toplayın: Şimdi ifadelerimiz \( 3\sqrt{2} \) ve \( 5\sqrt{2} \) oldu. Kök içleri aynı olduğu için katsayıları toplayabiliriz. * \( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} \) * \( (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) Sonuç olarak, \( \sqrt{18} + \sqrt{50} = 8\sqrt{2} \) dir. 👉 Bu tür sorularda ilk adım her zaman kökleri sadeleştirmektir.

İki köklü ifadeyi çarpmak için, köklerin derecelerinin aynı olması gerekir. Karekökler için bu durum zaten geçerlidir. 1. Kökleri tek bir kök altında çarpın: Kural gereği, \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \) dir. * \( \sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} \) * \( \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} \) 2. Sonucu hesaplayın: \( \sqrt{36} \) nın değerini bulalım. * Hangi sayının karesi 36'dır? \( 6^2 = 36 \). * Dolayısıyla, \( \sqrt{36} = 6 \) dır. Sonuç olarak, \( \sqrt{3} \times \sqrt{12} = 6 \) dır. 💡 Çarpma işleminden sonra elde edilen sayının tam kare olup olmadığını kontrol etmek önemlidir.

Bu problemde, karenin çevresini hesaplamak için öncelikle kenar uzunluğunu sadeleştirmeli, ardından çevre formülünü uygulamalıyız. 1. Karenin kenar uzunluğunu sadeleştirin: * Kenar uzunluğu \( \sqrt{200} \) cm olarak verilmiş. * \( 200 \) sayısını tam kare çarpanlarına ayırarak sadeleştirelim: \( 200 = 100 \times 2 \). Burada \( 100 \) tam karedir (\( 10^2 \)). * \( \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) cm. * Yani, karenin bir kenar uzunluğu \( 10\sqrt{2} \) cm'dir. 2. Karenin çevresini hesaplayın: Karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katıdır. * Çevre = \( 4 \times \text{kenar uzunluğu} \) * Çevre = \( 4 \times 10\sqrt{2} \) cm * Çevre = \( 40\sqrt{2} \) cm. 3. Çevreyi metreye çevirin: Soruda çevre metre olarak istenmiş. 1 metre = 100 cm'dir. Bu nedenle cm'yi metreye çevirmek için 100'e bölmeliyiz. * Çevre (metre) = \( \frac{40\sqrt{2}}{100} \) metre * Sadeleştirme yaparsak: \( \frac{40\sqrt{2}}{100} = \frac{4\sqrt{2}}{10} = \frac{2\sqrt{2}}{5} \) metre. Sonuç olarak, bahçenin çevresi \( \frac{2\sqrt{2}}{5} \) metredir. 👉 Sorularda verilen birimleri (cm, metre vb.) dikkate almayı unutmayın.

Bu problemde, büyük bir uzunluktan eşit uzunlukta parçalar ayırmak için bölme işlemi yapmamız gerekmektedir. 1. Verilen uzunlukları sadeleştirin: * Toplam tahta uzunluğu: \( \sqrt{75} \) metre. * \( 75 = 25 \times 3 \) olduğundan, \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \) metre. * Her bir parça uzunluğu: \( \sqrt{3} \) metre. Bu ifade zaten en sade haldedir. 2. Bölme işlemini yapın: Kaç parça elde edileceğini bulmak için toplam uzunluğu, bir parça uzunluğuna böleriz. * Parça sayısı = \( \frac{\text{Toplam uzunluk}}{\text{Bir parça uzunluğu}} \) * Parça sayısı = \( \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \) 3. İşlemi gerçekleştirin: Kök içleri aynı olduğu için \( \sqrt{3} \) terimleri birbirini götürür. * Parça sayısı = \( 5 \) Sonuç olarak, marangoz tahta parçasını \( 5 \) eşit parçaya ayırabilir. 💡 Günlük hayatta uzunlukları karşılaştırırken veya bölerken köklü ifadelerle karşılaşabiliriz.