💡 9. Sınıf Matematik: Pisagordan temel olasılığa kadar Çözümlü Örnekler

Dik üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiyi bulmak için Pisagor Teoremi uygulanır.

• Pisagor Teoremi formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
• Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \( 5^2 + 12^2 = x^2 \)
• Karelerini hesaplayalım: \( 25 + 144 = x^2 \)
• Toplamı bulalım: \( 169 = x^2 \)
• Her iki tarafın karekökünü alalım: \( \sqrt{169} = x \) ise \( x = 13 \) birim bulunur.
• 💡 İpucu: Bu üçgen \( 5-12-13 \) özel dik üçgenidir.

Bu soruda bir \( 30-60-90 \) özel dik üçgeni oluşmaktadır.

• Merdivenin uzunluğu hipotenüstür ve \( 10 \) metredir.
• \( 30-60-90 \) üçgeni kuralına göre; \( 30 \) derecelik açının karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısına eşittir.
• Yükseklik \( = 10 \div 2 \)
• Yükseklik \( = 5 \) metre olarak hesaplanır.
• ✅ Merdivenin binaya değdiği noktanın yerden yüksekliği \( 5 \) metredir.

Trigonometrik oranları bulmak için bir dik üçgen modelleyelim:

• \( \sin a = \frac{karsi}{hipotenus} = \frac{3}{5} \)
• Bu durumda karşı dik kenar \( 3 \), hipotenüs \( 5 \) birimdir.
• Komşu dik kenarı bulmak için Pisagor yaparsak: \( 3^2 + b^2 = 5^2 \)
• \( 9 + b^2 = 25 \) ise \( b^2 = 16 \) ve \( b = 4 \) bulunur. (Bu bir \( 3-4-5 \) üçgenidir).
• \( \tan a = \frac{karsi}{komsu} \) formülünü kullanalım.
• \( \tan a = \frac{3}{4} \) olarak bulunur.

Öncelikle üçgen şeklindeki parkın alanını hesaplamalıyız.

• Üçgenin Alan Formülü: Alan \( = \frac{taban \times yukseklik}{2} \)
• Alan \( = \frac{40 \times 30}{2} \)
• Alan \( = \frac{1200}{2} = 600 \) metrekare.
• Toplam maliyeti bulmak için alan ile birim fiyatı çarpalım:
• Maliyet \( = 600 \times 20 \)
• Maliyet \( = 12000 \) TL.
• 💰 Toplamda \( 12000 \) TL ödeme yapılacaktır.

Verileri analiz edelim:

• Aritmetik Ortalama: Verilerin toplamının veri sayısına bölünmesidir.
• Toplam \( = 70 + 85 + 90 + 70 + 100 = 415 \)
• Ortalama \( = 415 \div 5 = 83 \)
• Tepe Değer (Mod): Veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır.
• Verilere baktığımızda \( 70 \) puanı iki kez tekrar etmiş, diğerleri birer kez yazılmıştır.
• Mod \( = 70 \)
• ✅ Ortalama \( 83 \), Mod \( 70 \)'tir.

Veri analizinde yayılma ölçülerinden biri olan açıklığı bulmak oldukça basittir.

• Açıklık (Ranj): Bir veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.
• En büyük değer \( = 55 \)
• En küçük değer \( = 12 \)
• Açıklık \( = 55 - 12 \)
• Açıklık \( = 43 \) olarak bulunur.

Olasılık hesaplamak için istenen durum sayısını tüm durumların sayısına oranlarız.

• Tüm durumlar (Zarın yüzleri): \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) yani \( s(E) = 6 \)
• İstenen durumlar (Asal sayılar): \( \{2, 3, 5\} \) yani \( s(A) = 3 \)
• Olasılık \( P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} \)
• \( P(A) = \frac{3}{6} \)
• Sadeleştirme yaparsak: \( P(A) = \frac{1}{2} \) veya %50 bulunur.

Bir olayın olmama olasılığını bulmak için "1 - olma olasılığı" yöntemini veya doğrudan diğer renklerin sayısını kullanabiliriz.

• Toplam bilye sayısı: \( 4 + 6 + 5 = 15 \)
• Mavi olmayan bilyelerin sayısı (Kırmızı + Sarı): \( 4 + 5 = 9 \)
• Olasılık \( = \frac{Mavi Olmayanlar}{Toplam Bilye} \)
• Olasılık \( = \frac{9}{15} \)
• Her iki tarafı \( 3 \) ile sadeleştirelim:
• Sonuç \( = \frac{3}{5} \) olarak bulunur.
• ✨ Bu değer yüzde olarak ifade edilirse %60'a karşılık gelir.