💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor Ve Öklit Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız.
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
Formülümüz: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Burada \( a \) ve \( b \) dik kenar uzunlukları, \( c \) ise hipotenüs uzunluğudur.
Verilen kenar uzunlukları: \( a = 6 \) birim ve \( b = 8 \) birimdir.
Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

• \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
• \( 36 + 64 = c^2 \)
• \( 100 = c^2 \)
• \( c = \sqrt{100} \)
• \( c = 10 \)

Sonuç olarak, hipotenüs uzunluğu 10 birimdir. ✅

Yine Pisagor Teoremi'ni kullanacağız: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Bu sefer hipotenüs \( c = 13 \) birim ve bir dik kenar (örneğin \( a \)) \( 5 \) birim verilmiş.
Diğer dik kenarı \( b \) bulmak istiyoruz.
Değerleri formülde yerine koyalım:

• \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
• \( 25 + b^2 = 169 \)
• \( b^2 = 169 - 25 \)
• \( b^2 = 144 \)
• \( b = \sqrt{144} \)
• \( b = 12 \)

Diğer dik kenar uzunluğu 12 birimdir. 👍

Üçgenin çevresini bulmak için tüm kenar uzunluklarını bilmemiz gerekiyor.
AC ve BC dik kenarları verilmiş. Hipotenüs AB'yi bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

• \( 7^2 + 24^2 = AB^2 \)
• \( 49 + 576 = AB^2 \)
• \( 625 = AB^2 \)
• \( AB = \sqrt{625} \)
• \( AB = 25 \) cm

Şimdi çevreyi hesaplayabiliriz: Çevre = AC + BC + AB

• Çevre = \( 7 + 24 + 25 \)
• Çevre = \( 56 \) cm

Üçgenin çevresi 56 cm'dir. 🥳

Bu soruda da Pisagor Teoremi'ni uygulayacağız: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Hipotenüs \( c = 15 \) birim ve bir dik kenar \( b = 9 \) birim olarak verilmiş. Diğer dik kenarı \( a \) bulacağız.
Formülü şu şekilde düzenleyebiliriz: \( a^2 = c^2 - b^2 \)
Değerleri yerine koyalım:

• \( a^2 = 15^2 - 9^2 \)
• \( a^2 = 225 - 81 \)
• \( a^2 = 144 \)
• \( a = \sqrt{144} \)
• \( a = 12 \)

Diğer dik kenar uzunluğu 12 birimdir. ✨

Bu soruda Pisagor Teoremi ve temel mesafe hesaplamalarını kullanacağız.
Verilenler:

• Dik üçgen ABC, \( \angle C = 90^\circ \)
• AC = 8 metre
• BC = 6 metre

Birinci Yol: A'dan C'ye doğrudan
Bu yol, dik üçgenin AC kenarıdır. Dolayısıyla yürünecek mesafe 8 metredir. 🛣️
İkinci Yol: A'dan B'ye, sonra B'den C'ye
Bu yolun toplam uzunluğunu bulmak için önce A'dan B'ye olan mesafeyi (hipotenüs) hesaplamalıyız.
Pisagor Teoremi: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

• \( 8^2 + 6^2 = AB^2 \)
• \( 64 + 36 = AB^2 \)
• \( 100 = AB^2 \)
• \( AB = \sqrt{100} \)
• \( AB = 10 \) metre

Şimdi ikinci yolun toplam uzunluğunu hesaplayalım: AB + BC

• Toplam Mesafe = \( 10 + 6 \)
• Toplam Mesafe = \( 16 \) metre

Sonuç olarak:

• Birinci yolu kullanırsa 8 metre yürür.
• İkinci yolu kullanırsa toplam 16 metre yürür.

Bu, kestirme yolların bazen daha uzun olabileceğini gösterir! 💡

Bu problem, bir dik üçgen oluşturduğumuz için Pisagor Teoremi ile çözülebilir.
Dik üçgenin dik kenarları şunlardır:

• Duvarın yüksekliği (bir dik kenar): \( a = 5 \) metre
• Merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığı (diğer dik kenar): \( b = 3 \) metre
• Merdivenin uzunluğu (hipotenüs): \( c \)

Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Değerleri yerine koyalım:

• \( 5^2 + 3^2 = c^2 \)
• \( 25 + 9 = c^2 \)
• \( 34 = c^2 \)
• \( c = \sqrt{34} \)

Merdivenin uzunluğu yaklaşık olarak \( \sqrt{34} \) metre olmalıdır. Bu da yaklaşık 5.83 metreye denk gelir. 👷‍♂️

Bu soruda, dikdörtgenin köşegeninin oluşturduğu dik üçgeni kullanarak Pisagor Teoremi'ni uygulayacağız.
Dikdörtgenin kenarları dik üçgenin dik kenarları, köşegeni ise hipotenüs olur.
Verilenler:

• Köşegen (hipotenüs): \( c = 40 \) inç
• Genişlik (bir dik kenar): \( a = 35 \) inç
• Yükseklik (diğer dik kenar): \( b \)

Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Yüksekliği bulmak için formülü düzenleyelim: \( b^2 = c^2 - a^2 \)
Değerleri yerine koyalım:

• \( b^2 = 40^2 - 35^2 \)
• \( b^2 = 1600 - 1225 \)
• \( b^2 = 375 \)
• \( b = \sqrt{375} \)

Televizyonun yüksekliği \( \sqrt{375} \) inçtir. Bu da yaklaşık 19.36 inçtir. 🖥️

Bu soruda hem Pisagor Teoremi'ni hem de Öklit'in Yükseklik Teoremi'ni kullanabiliriz. Ancak 9. sınıf müfredatı gereği, Öklit'in alan bağıntısını kullanarak daha basit bir çözüm üreteceğiz.
Önce Pisagor Teoremi ile AB (hipotenüs) uzunluğunu bulalım:
\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

• \( 6^2 + 8^2 = AB^2 \)
• \( 36 + 64 = AB^2 \)
• \( 100 = AB^2 \)
• \( AB = 10 \) birim

Şimdi, üçgenin alanını iki farklı yolla hesaplayabiliriz:
1. Dik kenarları kullanarak: Alan = \( \frac{1}{2} \times AC \times BC \)
Alan = \( \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = \frac{1}{2} \times 48 = 24 \) birim kare.
2. Hipotenüs ve hipotenüse ait yükseklik (CD) kullanarak: Alan = \( \frac{1}{2} \times AB \times CD \)
Alan = \( \frac{1}{2} \times 10 \times CD \)
Her iki alan hesaplaması birbirine eşit olmalıdır:

• \( 24 = \frac{1}{2} \times 10 \times CD \)
• \( 24 = 5 \times CD \)
• \( CD = \frac{24}{5} \)
• \( CD = 4.8 \) birim

C noktasından AB kenarına indirilen dikmenin uzunluğu 4.8 birimdir. 🏆