🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor Ve Öklit Teoremleri Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor Ve Öklit Teoremleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor teoremini kullanacağız. 📐
Pisagor Teoremi:
- Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.
- Formülü: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
Verilenler:
- Dik kenar 1 (\( a \)) = 6 cm
- Dik kenar 2 (\( b \)) = 8 cm
Çözüm Adımları:
- Teoremi uygulayalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 100 = c^2 \)
- Hipotenüs \( c \) 'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( c = 10 \) cm
Cevap: Hipotenüs uzunluğu 10 cm'dir. ✅
Örnek 2:
Dik kenarlarından biri 5 birim ve hipotenüsü 13 birim olan bir dik üçgenin diğer dik kenar uzunluğu kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Yine Pisagor teoremini kullanarak bu soruyu çözebiliriz. 💡
Pisagor Teoremi:
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Verilenler:
- Dik kenar 1 (\( a \)) = 5 birim
- Hipotenüs (\( c \)) = 13 birim
Çözüm Adımları:
- Teoremde bilinen değerleri yerine koyalım: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \)
- \( b^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 169 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \)
- Diğer dik kenar \( b \) 'yi bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{144} \)
- Sonuç: \( b = 12 \) birim
Cevap: Diğer dik kenar 12 birimdir. 👍
Örnek 3:
Bir duvara 5 metre uzunluğunda bir merdiven dayalıdır. Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği 4 metredir. Merdivenin duvara temas ettiği noktanın, merdivenin yere değdiği noktaya olan uzaklığı (merdivenin tabanı ile duvar arasındaki yatay mesafe) kaç metredir? 🪜
Çözüm:
Bu durumu bir dik üçgen modeliyle düşünebiliriz. Merdivenin uzunluğu hipotenüs, yerden yüksekliği bir dik kenar ve taban ile duvar arasındaki mesafe diğer dik kenar olacaktır. 🏞️
Pisagor Teoremi:
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Verilenler:
- Merdiven uzunluğu (hipotenüs, \( c \)) = 5 m
- Yerden yükseklik (dik kenar, \( a \)) = 4 m
Çözüm Adımları:
- Teoremde verilenleri yerine koyalım: \( 4^2 + b^2 = 5^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 16 + b^2 = 25 \)
- \( b^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 25 - 16 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 9 \)
- Yatay mesafeyi \( b \) bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{9} \)
- Sonuç: \( b = 3 \) m
Cevap: Merdivenin tabanı ile duvar arasındaki yatay mesafe 3 metredir. 🚶
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, \( \angle C = 90^\circ \) 'dir. \( |AC| = 9 \) cm ve \( |BC| = 12 \) cm olduğuna göre, \( |AB| \) (hipotenüs) kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu soruda da klasik Pisagor teoremini kullanacağız. 🌟
Pisagor Teoremi:
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Verilenler:
- Dik kenar \( |BC| \) (\( a \)) = 12 cm
- Dik kenar \( |AC| \) (\( b \)) = 9 cm
Çözüm Adımları:
- Teoremde verilen değerleri yerine koyalım: \( 12^2 + 9^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 144 + 81 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 225 = c^2 \)
- Hipotenüs \( c \) 'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{225} \)
- Sonuç: \( c = 15 \) cm
Cevap: Hipotenüs \( |AB| \) uzunluğu 15 cm'dir. ✨
Örnek 5:
Bir parkta, bir ağacın gövdesinden çıkan bir ip, yere dik olarak yerleştirilmiş 3 metre yüksekliğindeki bir direğin tepesine bağlanmıştır. İpin uzunluğu 5 metredir. Direğin toprağa değdiği noktanın, ağacın gövdesine olan yatay uzaklığı kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu problem, bir dik üçgen oluşturduğumuzu varsayarak çözülebilir. İpin uzunluğu hipotenüs, direğin yüksekliği bir dik kenar ve ağaç gövdesi ile direk arasındaki yatay uzaklık diğer dik kenar olacaktır. 📏
Pisagor Teoremi:
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Verilenler:
- İpin uzunluğu (hipotenüs, \( c \)) = 5 m
- Direğin yüksekliği (dik kenar, \( a \)) = 3 m
Çözüm Adımları:
- Teoremde bilinen değerleri yerine koyalım: \( 3^2 + b^2 = 5^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 9 + b^2 = 25 \)
- \( b^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 25 - 9 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 16 \)
- Yatay mesafeyi \( b \) bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{16} \)
- Sonuç: \( b = 4 \) m
Cevap: Ağacın gövdesi ile direk arasındaki yatay uzaklık 4 metredir. 🚶
Örnek 6:
Bir inşaat işçisi, 12 metre uzunluğundaki bir kalas ile bir duvarın üzerine çıkmak istiyor. Kalasın alt ucunu duvardan 5 metre uzağa koyduğunda, kalasın üst ucunun duvar üzerindeki yüksekliği ne kadar olur? 🏗️
Çözüm:
Bu senaryo, bir dik üçgen oluşturur. Kalasın uzunluğu hipotenüs, duvardan uzaklık bir dik kenar ve kalasın duvar üzerindeki yüksekliği diğer dik kenar olacaktır. 📐
Pisagor Teoremi:
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Verilenler:
- Kalasın uzunluğu (hipotenüs, \( c \)) = 12 m
- Kalasın alt ucunun duvardan uzaklığı (dik kenar, \( b \)) = 5 m
Çözüm Adımları:
- Teoremde verilenleri yerine koyalım: \( a^2 + 5^2 = 12^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( a^2 + 25 = 144 \)
- \( a^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( a^2 = 144 - 25 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( a^2 = 119 \)
- Yüksekliği \( a \) bulmak için karekök alalım: \( a = \sqrt{119} \)
- Yaklaşık değer: \( a \approx 10.91 \) m
Cevap: Kalasın üst ucunun duvar üzerindeki yüksekliği yaklaşık \( \sqrt{119} \) veya \( 10.91 \) metredir. ⬆️
Örnek 7:
Bir ABC dik üçgeninde \( \angle B = 90^\circ \) 'dir. \( |AB| = 7 \) cm ve \( |BC| = 24 \) cm ise, \( |AC| \) kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruda da Pisagor teoremini uygulayacağız. 💡
Pisagor Teoremi:
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Verilenler:
- Dik kenar \( |AB| \) (\( a \)) = 7 cm
- Dik kenar \( |BC| \) (\( b \)) = 24 cm
Çözüm Adımları:
- Teoremde verilen değerleri yerine koyalım: \( 7^2 + 24^2 = c^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 49 + 576 = c^2 \)
- Toplamı bulalım: \( 625 = c^2 \)
- Hipotenüs \( c \) 'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{625} \)
- Sonuç: \( c = 25 \) cm
Cevap: Hipotenüs \( |AC| \) uzunluğu 25 cm'dir. ✅
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde, hipotenüs \( |AB| = 17 \) cm'dir. Dik kenarlardan biri \( |AC| = 8 \) cm olduğuna göre, diğer dik kenar \( |BC| \) kaç cm'dir? Bu üçgenin alanını da hesaplayınız. 📐
Çözüm:
Önce Pisagor teoremi ile eksik dik kenarı bulacağız, sonra da üçgenin alanını hesaplayacağız. 🧠
Pisagor Teoremi:
- \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Verilenler:
- Hipotenüs (\( c \)) = 17 cm
- Dik kenar (\( a \)) = 8 cm
Çözüm Adımları (Dik Kenarı Bulma):
- Teoremde verilenleri yerine koyalım: \( 8^2 + b^2 = 17^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 64 + b^2 = 289 \)
- \( b^2 \) 'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 289 - 64 \)
- Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 225 \)
- Diğer dik kenar \( b \) 'yi bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{225} \)
- Sonuç: \( b = 15 \) cm. Yani \( |BC| = 15 \) cm'dir.
Üçgenin Alanı:
- Dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
- Alan = \( \frac{1}{2} \times a \times b \)
Çözüm Adımları (Alan Hesaplama):
- Bulduğumuz dik kenarları formülde yerine koyalım: Alan = \( \frac{1}{2} \times 8 \times 15 \)
- Çarpma işlemini yapalım: Alan = \( \frac{1}{2} \times 120 \)
- Sonuç: Alan = 60 cm²
Cevap: Diğer dik kenar \( |BC| \) 15 cm'dir ve üçgenin alanı 60 cm²'dir. 🏆
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-ve-oklit-teoremleri/sorular