🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Pisagor Ve Öklid Çözümlü Örnekler
9. Sınıf Matematik: Pisagor Ve Öklid Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde, B açısı 90 derecedir.
AB kenarının uzunluğu 6 cm ve BC kenarının uzunluğu 8 cm olduğuna göre, AC kenarının (hipotenüsün) uzunluğu kaç cm'dir? 📏
AB kenarının uzunluğu 6 cm ve BC kenarının uzunluğu 8 cm olduğuna göre, AC kenarının (hipotenüsün) uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. 💡
Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.
Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler.
- 👉 Adım 1: Dik kenarların uzunluklarını belirleyelim.
- AB = 6 cm
- BC = 8 cm
- 👉 Adım 2: Pisagor Teoremi formülünü yazalım.
- \[ (\text{dik kenar 1})^2 + (\text{dik kenar 2})^2 = (\text{hipotenüs})^2 \]
- Bu durumda: \( (\text{AB})^2 + (\text{BC})^2 = (\text{AC})^2 \)
- 👉 Adım 3: Bilinen değerleri formülde yerine koyalım.
- \( 6^2 + 8^2 = (\text{AC})^2 \)
- \( 36 + 64 = (\text{AC})^2 \)
- \( 100 = (\text{AC})^2 \)
- 👉 Adım 4: Hipotenüsün uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
- \( \text{AC} = \sqrt{100} \)
- \( \text{AC} = 10 \) cm
Örnek 2:
Bir KLM dik üçgeninde, L açısı 90 derecedir.
KM kenarının (hipotenüsün) uzunluğu 13 cm ve LM kenarının uzunluğu 5 cm olduğuna göre, KL kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
KM kenarının (hipotenüsün) uzunluğu 13 cm ve LM kenarının uzunluğu 5 cm olduğuna göre, KL kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu problemde de Pisagor Teoremi'ni kullanarak bilinmeyen dik kenarı bulacağız. 📌
- 👉 Adım 1: Bilinen kenar uzunluklarını belirleyelim.
- KM (hipotenüs) = 13 cm
- LM (dik kenar) = 5 cm
- KL (diğer dik kenar) = x (bilinmeyen)
- 👉 Adım 2: Pisagor Teoremi formülünü uygulayalım.
- \( (\text{KL})^2 + (\text{LM})^2 = (\text{KM})^2 \)
- \( x^2 + 5^2 = 13^2 \)
- 👉 Adım 3: Denklemi çözerek x değerini bulalım.
- \( x^2 + 25 = 169 \)
- \( x^2 = 169 - 25 \)
- \( x^2 = 144 \)
- 👉 Adım 4: x'i bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
- \( x = \sqrt{144} \)
- \( x = 12 \) cm
Örnek 3:
Bir PRS dik üçgeninde, R açısı 90 derecedir.
PR kenarı 4 cm ve RS kenarı 4 cm olduğuna göre, PS kenarının (hipotenüsün) uzunluğu kaç cm'dir? 📐
PR kenarı 4 cm ve RS kenarı 4 cm olduğuna göre, PS kenarının (hipotenüsün) uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu bir ikizkenar dik üçgen örneğidir. Pisagor Teoremi'ni uygulayarak hipotenüsü bulabiliriz. 💡
- 👉 Adım 1: Dik kenarların uzunluklarını yazalım.
- PR = 4 cm
- RS = 4 cm
- 👉 Adım 2: Pisagor Teoremi'ni kullanalım.
- \( (\text{PR})^2 + (\text{RS})^2 = (\text{PS})^2 \)
- \( 4^2 + 4^2 = (\text{PS})^2 \)
- 👉 Adım 3: İşlemleri yapalım.
- \( 16 + 16 = (\text{PS})^2 \)
- \( 32 = (\text{PS})^2 \)
- 👉 Adım 4: PS'yi bulmak için karekök alalım.
- \( \text{PS} = \sqrt{32} \)
- \( \text{PS} = \sqrt{16 \cdot 2} \)
- \( \text{PS} = 4\sqrt{2} \) cm
Örnek 4:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90 derecedir.
A köşesinden BC hipotenüsüne indirilen dikme ayağına H diyelim.
BH uzunluğu 2 cm ve HC uzunluğu 8 cm olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? 📏
A köşesinden BC hipotenüsüne indirilen dikme ayağına H diyelim.
BH uzunluğu 2 cm ve HC uzunluğu 8 cm olduğuna göre, AH yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu soru, Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nın doğrudan bir uygulamasıdır. 📌
- 👉 Adım 1: Öklid'in Yükseklik Bağıntısı formülünü hatırlayalım.
- Bir dik üçgende dik açıdan hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
- Formül: \( h^2 = p \cdot k \)
- Burada \( \text{AH} = h \), \( \text{BH} = p \), \( \text{HC} = k \).
- 👉 Adım 2: Bilinen değerleri formülde yerine koyalım.
- \( (\text{AH})^2 = \text{BH} \cdot \text{HC} \)
- \( (\text{AH})^2 = 2 \cdot 8 \)
- 👉 Adım 3: Denklemi çözelim.
- \( (\text{AH})^2 = 16 \)
- 👉 Adım 4: AH'yi bulmak için karekök alalım.
- \( \text{AH} = \sqrt{16} \)
- \( \text{AH} = 4 \) cm
Örnek 5:
Bir DEF dik üçgeninde, E açısı 90 derecedir.
E köşesinden DF hipotenüsüne indirilen dikme ayağına K diyelim.
DK uzunluğu 3 cm ve KF uzunluğu 9 cm'dir.
DE kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
E köşesinden DF hipotenüsüne indirilen dikme ayağına K diyelim.
DK uzunluğu 3 cm ve KF uzunluğu 9 cm'dir.
DE kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu problemde Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı'nı kullanacağız. 💡
- 👉 Adım 1: Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı formülünü hatırlayalım.
- Bir dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçası ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
- Formül: \( (\text{dik kenar})^2 = (\text{kendi parçası}) \cdot (\text{hipotenüsün tamamı}) \)
- Burada DE kenarını arıyoruz. Hipotenüs üzerindeki kendi parçası DK'dir. Hipotenüsün tamamı DF'dir.
- 👉 Adım 2: Gerekli uzunlukları hesaplayalım.
- DK = 3 cm
- KF = 9 cm
- DF (hipotenüsün tamamı) = DK + KF = \( 3 + 9 = 12 \) cm
- 👉 Adım 3: Formülü uygulayalım.
- \( (\text{DE})^2 = \text{DK} \cdot \text{DF} \)
- \( (\text{DE})^2 = 3 \cdot 12 \)
- 👉 Adım 4: Denklemi çözerek DE'yi bulalım.
- \( (\text{DE})^2 = 36 \)
- \( \text{DE} = \sqrt{36} \)
- \( \text{DE} = 6 \) cm
Örnek 6:
Bir PQR dik üçgeninde, Q açısı 90 derecedir.
Q köşesinden PR hipotenüsüne indirilen dikme ayağına S diyelim.
PQ kenarının uzunluğu 10 cm ve PS uzunluğu 5 cm'dir.
SQ yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Q köşesinden PR hipotenüsüne indirilen dikme ayağına S diyelim.
PQ kenarının uzunluğu 10 cm ve PS uzunluğu 5 cm'dir.
SQ yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu problemde hem Pisagor Teoremi'ni hem de Öklid Bağıntısı'nı kullanabiliriz. İlk olarak Pisagor ile bir adım atalım. 💡
(Alternatif olarak, Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı ile PR'nin tamamını bulup, sonra Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı da kullanabilirdik.)
- 👉 Adım 1: PQS dik üçgenini inceleyelim.
- PQS üçgeninde S açısı 90 derecedir (QS, PR'ye dik olduğu için).
- PQ (hipotenüs) = 10 cm
- PS (dik kenar) = 5 cm
- SQ (diğer dik kenar) = x (bilinmeyen)
- 👉 Adım 2: PQS üçgeninde Pisagor Teoremi'ni uygulayalım.
- \( (\text{PS})^2 + (\text{SQ})^2 = (\text{PQ})^2 \)
- \( 5^2 + x^2 = 10^2 \)
- 👉 Adım 3: Denklemi çözerek x değerini (SQ'yu) bulalım.
- \( 25 + x^2 = 100 \)
- \( x^2 = 100 - 25 \)
- \( x^2 = 75 \)
- \( x = \sqrt{75} \)
- \( x = \sqrt{25 \cdot 3} \)
- \( x = 5\sqrt{3} \) cm
(Alternatif olarak, Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı ile PR'nin tamamını bulup, sonra Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı da kullanabilirdik.)
Örnek 7:
Bir parkta, yerden 12 metre yükseklikteki bir banka, 13 metre uzunluğunda bir kaydırak monte edilmiştir. 🎢
Kaydırağın alt ucu (yere değen kısmı) bankanın tam altından ne kadar uzağa yerleştirilmiştir?
(Kaydırağın yerle yaptığı açının 90 derece olmadığını, bankanın yere dik olduğunu varsayınız.)
Kaydırağın alt ucu (yere değen kısmı) bankanın tam altından ne kadar uzağa yerleştirilmiştir?
(Kaydırağın yerle yaptığı açının 90 derece olmadığını, bankanın yere dik olduğunu varsayınız.)
Çözüm:
Bu bir günlük hayattan Pisagor Teoremi uygulamasıdır. Banka, kaydırak ve yer arasında bir dik üçgen oluşur. 📐
- 👉 Adım 1: Oluşan dik üçgenin kenarlarını belirleyelim.
- Bankanın yüksekliği = Dik kenar 1 = 12 metre
- Kaydırağın uzunluğu = Hipotenüs = 13 metre
- Kaydırağın alt ucunun bankadan uzaklığı = Dik kenar 2 = x (bilinmeyen)
- 👉 Adım 2: Pisagor Teoremi formülünü uygulayalım.
- \( (\text{dik kenar 1})^2 + (\text{dik kenar 2})^2 = (\text{hipotenüs})^2 \)
- \( 12^2 + x^2 = 13^2 \)
- 👉 Adım 3: Denklemi çözerek x değerini bulalım.
- \( 144 + x^2 = 169 \)
- \( x^2 = 169 - 144 \)
- \( x^2 = 25 \)
- 👉 Adım 4: x'i bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
- \( x = \sqrt{25} \)
- \( x = 5 \) metre
Örnek 8:
Bir inşaat işçisi, yerden 4 metre yükseklikteki bir pencereye merdiven dayamıştır. 👷♂️
Merdivenin alt ucu duvardan 3 metre uzaklıkta olduğuna göre, merdivenin uzunluğu kaç metredir?
Merdivenin alt ucu duvardan 3 metre uzaklıkta olduğuna göre, merdivenin uzunluğu kaç metredir?
Çözüm:
Bu da günlük hayatta sıkça karşılaşılan bir Pisagor Teoremi uygulamasıdır. Duvar, yer ve merdiven bir dik üçgen oluşturur. 🏗️
- 👉 Adım 1: Oluşan dik üçgenin kenarlarını belirleyelim.
- Pencerenin yerden yüksekliği (duvarın dik kenarı) = 4 metre
- Merdivenin alt ucunun duvardan uzaklığı (yerdeki dik kenar) = 3 metre
- Merdivenin uzunluğu = Hipotenüs = x (bilinmeyen)
- 👉 Adım 2: Pisagor Teoremi formülünü uygulayalım.
- \( (\text{dik kenar 1})^2 + (\text{dik kenar 2})^2 = (\text{hipotenüs})^2 \)
- \( 4^2 + 3^2 = x^2 \)
- 👉 Adım 3: Denklemi çözerek x değerini bulalım.
- \( 16 + 9 = x^2 \)
- \( 25 = x^2 \)
- 👉 Adım 4: x'i bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım.
- \( x = \sqrt{25} \)
- \( x = 5 \) metre
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/9-sinif-matematik-pisagor-ve-oklid/sorular